ケリー基準

概要

ケリー基準とは、アドバンテージギャンブラーのリスクと報酬の両方のバランスをとるベットサイジングテクニックです。同原則は収益性が期待される投資にも有効です。平均的な運のバンクロールと固定のベットサイズを持つギャンブラー/投資家の場合、1回のベット後に予想されるバンクロールの成長は以下の通りです：

例えば、カジノがクラップスでプロモーションを実行して2が3対1を支払い、12が4対1を支払ったとします。3、4、9、10、11は依然として1対1を支払い、他の全ての合計は負けます。2または12の確率はそれぞれ1/36であり、偶数のお金の勝ちの確率は14/36であり、負けの確率は20/36です。また、プレイヤーが全てのベットで自分のバンクロールの1％を賭けた場合のベットごとの予想バンクロール成長は次のようになります：

(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.

この製品はケリーベッティングによって最大化されます。ベットのサイズが常に現在のバンクロールに比例しているケリーベッティングの場合、バンクロールを2倍にするために必要な予想されるベット数を最小限に抑えます。

ケリーのベット金額は、平均的な運のあるギャンブラーにとって、予想されるバンクロールの成長を最大化するための最適な金額です。ケリーより多くの賭けをすると、賭けごとに期待される利益が大きくなりますが、ボラティリティが大きいと、ケリーの正確な賭けのサイズと比較して、長期的なバンクロールの成長が低下します。ケリーを2倍に賭けると、予想される成長はゼロになります。ケリーの2倍を超えると、予想されるバンクロールの低下が発生します。より一般的に見られるのは、ケリーの全額より少ない賭けです。これは期待される成長を低下させますが、バンクロールのボラティリティも低下させます。たとえば、ケリーの半分の金額を賭けると、バンクロールのボラティリティは50％減少しますが、成長は25％しか減少しません。

結果が2つしかない単純な賭けの場合の最も適したケリーベットのメリットは「1対1」で支払う金額で割ったものです。複数の可能な結果を伴う賭けの場合の最適なケリーベットは、賭け後のバンクロールの対数を最大化するものです。ただし、複数の結果を伴う賭けの場合それを判断するのは難しい場合があります。ほとんどのギャンブラーは、アドバンテージ/分散を近似値として使用します。これは非常に優れた推定量です。例えばベットに2％のアドバンテージがあり分散が4の場合、「フルケリー」を使用するギャンブラーは、そのイベントでバンクロールの0.02 / 4 = 0.5％を賭けます。平方偏差は標準偏差の2乗であり、 ゲームの比較ガイドの多くのゲームに記載されていることを忘れないでください。

それでは3つの例を見てみましょう。

 

例1：カードカウンターは、指定されたカウントで1％のアドバンテージを認識します。私のゲーム比較ガイドから、ブラックジャックの標準偏差は1.15であることがわかります（これはルールとカウントの両方によって異なる可能性があります）。標準偏差が1.15の場合の平方偏差は1.152 = 1.3225です。賭けるバンクロールの部分は0.01 / 1.3225 = 0.76％です。

例2：町のカジノがビデオポーカーで5倍のポイントプロモーションを提供しています。通常、スロットクラブはフリープレイで1％の2/9が支払われます。したがって、5Xでは、スロットクラブは1.11％を支払います。最高のゲームは99.54％のリターンで9/6ジャックスオアベターです。スロットクラブがポイントした後のリターンは99.54％+ 1.11％= 100.65％、つまり0.65％のアドバンテージです。ゲーム比較ガイドには、9/6ジャックスオアベターの標準偏差が4.42であることが示されているため、平方偏差は19.5364です。賭けるバンクロールの部分は0.0065 / 19.5364 = 0.033％です。ちなみに、この正確なプロモーションは、私がこれを書いているときに、2007年9月2日と3日にウィンで行われています。

例3：スポーツベットは20％の確率で勝って9対2を支払います。メリットは0.2×4.5 + 0.8×-1 = 0.1です。最適なケリーベット金は0.1 / 4.5 = 2.22％です。

以下は例3の正確な計算です。ベット前に1のバンクロールを使用してxを最適なケリーベットとします。ベット後のバンクロールの予想ログは...

f(x) = 0.2 × log(1+4.5x) + 0.8 × log(1-x)

f(x)を最大化するには、導関数を取ってゼロに設定します。

f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) - 0.8 / (1-x) = 0

0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)

0.9 - 0.9x = 0.8 + 3.6 x

4.5x = 0.1

x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%

ビデオポーカーのように、考えられる結果が複数ある場合、計算は非常に面倒になります。方法は同じですが、xの解を得るのは困難です。私の意見では、このような場合にxを解く最も簡単な方法は、（x）が非常に高くなるまで、より高い手法とより低い手法（「価格は正しい」の時計ゲームなど）を使用して、(x)をゼロに近くする様々な値を試すことです。

私は100％以上のリターンを持つ2つの一般的なビデオポーカーゲームこれを行いました。100.76％のリターンを持つ「フルペイデュースワイルド」の場合、最適なベットサイズはバンクロールの0.0345％です。「10/7ダブルボーナス」の場合、100.17％のリターンで最適なベットサイズはバンクロールの0.0062637％です。私が聞いた経験談では、ビデオポーカーでそれを作るにはあなたがプレイするロイヤル金額の3〜5倍のバンクロールが必要であると聞きました。フルペイデュースをワイルドにプレイする場合、正確な金額は3.66ロイヤルです。 10/7ダブルボーナスの場合は19.96ロイヤルです。

シミュレーション

ケリーベットの数を最小限に抑えてバンクロールを2倍にするという私の声明を証明するために、私は2％のアドバンテージと2％のケリーの賭けサイズで51％の勝率で均等なお金の賭けを想定しました。様々なベットサイズでバンクロールを2倍にするための平均的な必要ベット数は次の通りです。ベットに勝った場合には賭け手はバンクロールを2倍以上にすることになり、バンクロールを正確に2倍にするために必要なものだけにベットます。

ケリー Vs. 最適なビデオポーカー戦略

私の 2007年9月20日の「ウィザードに尋ねる」コラム にて、ケリーベットが最適なビデオポーカー戦略をプレイしない場合があることを提案しました。私の理由はそこで説明されています。

ケリーに関するリンク

 

このページのドイツ翻訳 。

Fortune’s Formula by William Poundstone。私の レビューを読む。

 

勝者のカジノギャンブル

特にブラックジャックに関連するケリーの良い情報源は Blackjack Attack by Don Schlesingerです。

SBRForum.comには、「ケリー基準の定量的紹介」の記事、 パートI と パートII、 ケリー計算機などのケリーに関する優れた資料があります。

 Wikipediaでのケリー定義。

作成者： Michael Shackleford