クラップス - 確率

これは3-4-5倍のオッズとして知られており、今ではかなり一般的です。以下の表は、パスとオッズを組み合わせた場合のすべての可能な結果を、フルオッズで示しています。


パスラインベットあたりの標準偏差は4.915632です。

シューター1人あたりの平均ロール回数は8.525510回です。2回から200回ロールする確率については、クラップスの生存確率のページをご覧ください。

獲得した 100 ポイントのうち、平均して 6 または 8 で 41.67 ポイント、5 または 9 で 33.33 ポイント、4 または 10 で 25.00 ポイントとなります。平均して、6 または 8 で 18.94 ポイント、5 または 9 で 13.33 ポイント、4 または 10 で 8.33 ポイント獲得すると予想できます。

まあ、誰でもミスをする可能性はありますが、クラップスは数学的に分析しやすいゲームなので、私のオッズは正しいと確信しています。はい、ギャンブルは私のフルタイムの自営業です。ここ数年、アトランティックシティには何度も行きましたが、2ヶ月前にラスベガスに引っ越しました。そのため、もうアトランティックシティにはあまり足を運ぶことはないでしょう。私はできる限り、ランダムシミュレーションよりも組み合わせ的なアプローチを好みます。いずれにせよ、Visual C++を使って独自のソフトウェアを開発しています。乱数にはメルセンヌツイスターを使用しています。

親切なお言葉ありがとうございます。回答は以下のとおりです。

1. ハウスエッジを、未決着ベット（タイは含まない）あたりの期待損失と定義すると、ドントパスのハウスエッジは1.40%となり、パスラインベットの1.41%をわずかに下回ります。プレイヤーがドントパス側により多くの金額を賭けることができる場合（これは実際のカジノでは可能ですが、インターネットカジノではそうではありません）、許容されるオッズの倍率が大きいほど、総合的なハウスエッジはドントパス側に有利になります。

2. プレイヤーがカムアウトロール中にオッズを賭け続けると仮定すると、カムベットを追加してもハウスエッジは変わりません。カムベットはオッズを裏付けています。しかし、プレイヤーがオッズを賭け続けない場合（これがデフォルトのルールです）、カムベットを追加することでハウスエッジはわずかに上昇します。

You’re welcome, thanks for the kind words. The probability of throwing the dice n times without a 7, and then throwing a 7, is (5/6)ⁿ*(1/6). The probability of throwing n non-sevens, without specifying the next throw would be (5/6)ⁿ. So the probability of throwing the dice at least four times without a seven would be (5/6)⁴=625/1296=0.4823.

パス/カム ベットの可能な結果とそれに関連する確率は次のとおりです。

• カムアウトロールでプレイヤーが勝つ率: 22.22%
• カムアウトロールでプレイヤーが負ける確率: 11.11%
• プレイヤーがポイントで勝利する確率: 27.07%
• プレイヤーがポイントで負ける: 39.60%

したがって、プレイヤーは 3.7 回のロールのうち 1 回でポイントを獲得することになります。

いい質問ですね。群衆に逆らうよりも、群衆に同調する方が明らかに楽しいです。問題は、なぜ群衆がパスラインを好むのかということです。もしかしたら、それは単なる伝統なのかもしれません。もしかしたら、人々が最初にプライベートゲームでクラップスをプレイし始めた頃は、ドントパスという選択肢すらなかったのかもしれません。

いい質問ですね。100ドルの賭けではなく、ユニット単位で考えてみましょう。パスまたはカムには常に賭けることになります。どのロールでも、4にパスまたはカムが賭けられている確率は3/9です。これは、以前のロールを振り返って7の前に4が出てくる確率です。同様に、5に賭ける確率は4/10、6に賭ける確率は5/11です。つまり、平均的な全体の賭け金は1+pr(4)+pr(5)+pr(6)+pr(8)+pr(9)+pr(10) = 1+3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758ユニットとなります。この平均値は、ゲーム開始時、つまりゲームに参加している最中には当てはまりません。すべてのポイントナンバーと7が少なくとも1回はロールされた後にのみ適用されます。

ハード4ベットの勝率は1/9です。つまり、4回連続で勝つ確率は(1/9) ⁴ = 6561分の1です。

いい質問ですね。質問の意味がわからない方のために説明すると、特に指示がない限り、カムアウト ベットのオッズはカムアウト ロールでは有効ではありません。つまり、カムアウト ロールでプレイヤーが 7 を出した場合、カムベットはすべて負けとなり、カムベットのオッズは返金されます。同様に、カムベットのプレイヤーのポイントがカムアウト ロールで出た場合、カムベットは勝ちますが、オッズはプッシュになります。答えは、ハウス エッジをどのように定義するかによって異なります。ハウス エッジを合計ベット額に対する予想損失と定義する場合、オッズをオフにしても問題ありません。これは、プレイヤーは依然としてオッズを賭けており、プッシュとして返金されたとしても、それは依然としてベットとしてカウントされるためです。ただし、ハウス エッジを解決済みのベット額に対する予想損失と定義する場合、カムアウト ロールでオッズをオフにすると、確かにハウス エッジが増加します。この影響を調べるために、コンピューター シミュレーションを作成しました。プレイヤーが5倍のオッズを取ると仮定し、カムアウトロールのオッズをオフにすると、解決済みのベット総額に対する損失の割合は0.326%から0.377%に増加します。つまり、0.051%の増加です。したがって、解決済みのベットのリターンを最大化したい場合は、カムアウトロールのオッズをオンにしたままにしておくことをお勧めします。

単なる偶然です、保証します。クラップスのハウスエッジは正確には7/495で、これは定義上、有理数です。実際、私はすべてのカジノゲームのハウスエッジは有理数であるべきだと主張します。なぜなら、すべてのゲームには起こり得る結果の数が限られているため、ハウスエッジは完全分数になるからです。2は完全な平方数ではないため、2の平方根は定義上無理数です。したがって、2つの数は等しくなれません。具体的に言うと、100ドルのパスラインベットのハウスエッジは1.41414141…となります。2の平方根は1.4142135623731…です。

お褒めいただきありがとうございます。マッチプレイをお勧めします。スロットでプレイした100ドルは、おそらく専用のマシンでプレイしたものでしょう。経験から言うと、これらのフリープレイスロットは非常にケチで、払い戻し率は約25%に設定されています。マッチプレイは1ドルあたり約48セントです。クラップスではドントパスに賭けることをお勧めします。ブラックジャックよりもドントパスを推奨する理由は、ブラックジャックは勝率が低いため、マッチプレイの価値が下がるからです。詳しくは、2001年10月30日のコラムをご覧ください。

いい質問ですね。彼らの計算を裏付けるために、12のフィールドベットで配当が3対1のケースを想定した以下の表を作成しました。右下のセルには、22ドルの賭け金に対して25セントの損失が見込まれています。つまり、ハウスエッジは確かに0.25/22 = 1.136%です。

全体のハウス エッジが各個別の賭けのハウス エッジよりも小さく見える理由は、プレース ベットのハウス エッジが一般に、解決された賭けごとの予想プレイヤー損失として測定されるためです。

しかし、この場合、プレイヤーはプレースベットを1ロールのみ保持します。これにより、プレースベットのハウスエッジは、5と9では4.00%から1.11%に、6と8では1.52%から0.46%に大幅に減少します。

私が、ベットが解決されたかどうかに応じてプレースベットのハウスエッジを測定する際に一貫性がないと考える純粋主義者の方は、クラップスの付録 2 を参照してください。そこでは、すべてのクラップスのベットがロールごとに測定されています (タイを含む)。

まず、ある事象の確率が p の場合、その事象が発生するまでに必要な試行回数の期待値は 1/p です。シューター 1 人あたりの期待ロール回数を x とします。任意のラウンドが 1 回のロール (2、3、7、11、または 12) で終了する確率は 1/3 です。プレイヤーがカムアウト ロールで 4 または 10 を出した場合、4 または 7 を出す確率は (6+3)/36 = 1/4 であるため、追加のロールの期待値は 4 です。同様に、プレイヤーがカムアウト ロールで 5 または 9 を出した場合、追加のロールの期待値は 3.6 で、6 または 8 の場合は 36/11 です。ポイントが投げられたと仮定すると、それが 4 または 10 である確率は 3/12、5 または 9 である確率は 4/12、6 または 8 である確率は 5/12 です。したがって、1ラウンドあたりの期待投球回数は1+(2/3)*((3/12)*4 + (4/12)*3.6 + (5/12)*(36/11)) = 3.375758となります。次に、プレイヤーが7アウトになる確率は(2/3)*((3/12)*(2/3) + (4/12)*(3/5) + (5/12)*(6/11)) = 0.39596となります。プレイヤーが7アウトにならない確率は1 - 0.39596 = 0.60404となります。つまり…

x = 3.375758 + 0.60404*x
0.39596*x = 3.375758
x = 8.52551

適切な戦略を講じれば100%を超える配当が得られるビデオポーカーゲームもまだ存在します。ラスベガスのフィエスタ・ランチョとスロッツ・ア・ファンで、基本戦略が有利なブラックジャックを見たこともあります。スポーツベッティングのセクションでも述べているように、NFLのホームゲームでアンダードッグにポイントスプレッドに賭けることも、歴史的に有利に働いています。つまり、クラップスの100倍オッズは今でも最高の賭けの一つではありますが、最高というわけではありません。確かに、0.014%というのは、100ドル賭けるごとに平均1.4セントの損失になるということです。

これは非常に悪い判断であり、ディーラーのアドバイスもまずいという点に同意します。6または8が出た場合、ドントパスまたはドントカムベットにおけるプレイヤーのエッジは(6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9.09%となります。「ノーアクション」を取ることは、ハウスエッジが1.36%のベットと交換するのと同じです。つまり、この判断はプレイヤーに10.45%の損失をもたらします。これを推奨するディーラーには、恥を知れと言いたいです。

次の表は、ハウス エッジが 5.56% であることを示しています。

ローベット

合計	組み合わせ	確率	支払う	戻る
ハード 6,8	2	0.055556	2	0.111111
ソフト 6,8	8	0.222222	1	0.222222
7	6	0.166667	1	0.166667
その他すべて	20	0.555556	-1	-0.555556
合計	36	1		-0.055556

7が少ないほど、パスラインベットのオッズが有利になります。以下の表は、7の割合に応じたハウスエッジを示しています。ただし、他のすべての数字の確率は公平な確率に比例すると仮定しています。

7つの確率によるクラップスのハウスエッジ

7つの確率	パスハウスエッジ	ハウスエッジをパスしない
15.000%	-0.666%	3.499%
15.333%	-0.202%	3.024%
15.667%	0.237%	2.574%
16.000%	0.652%	2.148%
16.333%	1.044%	1.744%
16.667%	1.414%	1.364%
17.000%	1.762%	1.005%
17.333%	2.089%	0.667%
17.667%	2.395%	0.349%
18.000%	2.682%	0.051%
18.333%	2.949%	-0.227%

クラップスの賭けの組み合わせについて、よく質問を受けます。通常はお答えしませんが、「偉大で力強い魔法使い」と呼んでいただければ、回答を得られる可能性が格段に高まります。あなたの間違いは、両方の賭けが常に決着するわけではないということです。6か8のどちらかに当たった場合、もう一方の賭け金は減額されます。賭け金が減るため、期待損失も減ります。つまり、計算は正しいのですが、全く異なるものを比較していることになります。

あなたは間違ってはいませんが、サイコロだけではクラップスの結果を決定することはできません。サイコロの代わりにカードを使用するさまざまな方法がありますが、それでもオッズは変わりません。異なる1つの方法としては2つの別々のデッキを使用することで、それを行うと削除の効果はありません。もう1つの方法は、1から6までの数字と7枚目の「ダブル」カードを備えた7枚のカードデッキを用意することです。最初に引いたカードがダブルカードになることはありません。そうであれば、それは元に戻されてプロセスは最初から繰り返されます。ダブルカードが2番目に引かれた場合、最初に引かれた数字が何であれそれはカウントされます。カジノがどのようにそれを行うかにかかわらず、2つのサイコロが使用された場合とオッズが異なる場合の確固たる証拠を見たことがありません。ですから、あなたはルールから何かしらを省略していると思います。

はい、UNLVの学生クラブの男子学生たちが高級テレビを買うために1,000ドルを5,000ドルに増やそうとしていたという録画がありました。彼らは、この目標を素早く達成する最善の方法について私にアドバイスを求めてきました。私はゴールデンナゲットのゲームしかプレイできませんでした。ナゲットのクラップスはオッズが10倍なので、この目標を達成できるチャンスがあると思いました。私の戦略は、毎回のカムアウトロールで、最小(資金/11、(5000-資金)/21)を賭け、都合の良い四捨五入で最大オッズを取ることでした。こうすることで、4勝や10勝でも5,000ドルを超えることはなく、常にフルオッズを取るのに十分な資金があり、5,000ドルに達する資金がない場合は最大額のリスクを負うことになります。

最初の賭けでは、この計算式ではパスラインに90.91ドルを賭けることになりますが、私は切り上げて100ドルにしました。その後、6か8が出ました。2回目のロールでシューターは7を出し、つまり2回のロールで1ドル全額を失いました。どうやらこの話はテレビではあまり面白くなかったようで、結局放送されませんでした。

聞かれると予想される2つの質問は、(1) なぜドントパスではなくパスに賭けさせたのか、(2) なぜラインに91ドル、オッズに910ドルを賭け、自分のポケットマネーから1ドルを追加しなかったのか、です。最初の質問への回答として、手っ取り早く大金を狙うならパスラインの方が有利だと思います。ドントパスの方が全体的なハウスエッジは少ないですが、5,000ドルの目標を達成するにはより多くのロールが必要になり、ハウスエッジにより多くのお金がさらされると考えました。2つ目の質問への回答として、9倍のオッズと10倍のオッズに大差はなく、少なくとも最初は黒チップだけに賭けた方がテレビ映りが良いと思いました。

私のブラックジャックのセクションで示したように、ブラックジャックの2対1の配当は2.27%、3枚カードでのダブルは0.23%です。その他のルールは標準的です。これらを考慮すると、ブラックジャックのハウスエッジはプレイヤーにとって2.1%のアドバンテージとなります。クラップスで4または10で勝つ確率は(6/36)×(3/9) = 5.56%です。4または10が出るたびに1ユニット追加されるため、5.56%のアドバンテージとなります。通常、カムベットのハウスエッジは1.41%なので、このルールではプレイヤーのエッジは合計4.15%となります。つまり、クラップスの方がプレイする価値のあるゲームだったという点に同意します。

クラップレス・クラップスにバイベットがあることは知りませんでした。以下の表は、賞金の四捨五入がないと仮定した場合の、プレースベットとバイベットのハウスエッジを示しています。例えば、2か12に30ドルのバイベットをした場合、賞金は6*30-1=179ドルになります。つまり、期待リターンは[(1/7)*179+(6/7)*-30]/30=-0.0048となり、非常に近い値になります。

Crapless Crapspassで賭け金を賭ける、Crapless Crapsでオッズを買う

ベット	支払う	おそらく勝利	ハウスエッジ
2位、12位	11対2	0.142857	0.071429
3,11位	11対4	0.25	0.0625
2個、12個購入（当選時のみ手数料がかかります）	119対20	0.142857	0.007143
3,11 を購入（勝った場合のみ手数料がかかります）	59対20	0.25	0.0125
2個、12個購入（常に手数料がかかります）	119対21	0.142857	0.047619
3,11 で購入（手数料は常に発生）	59対21	0.25	0.047619

ディーラーをこのように制限するのは非常に厳しいです。2ドルの賭けではハウスエッジは29.02%に上昇し、5ドルの賭けでは41.94%になります。

ファイアベットの分析から、シューターが6点すべてを獲得する確率は0.000162435であることがわかります。つまり、シューター1人あたりのプロモーションの価値は$4,000 × 0.000162435 = 0.649739となります。

次に問われるのは、シューター1人あたりの期待損失はいくらかということです。パスラインベットのハウスエッジは7/495 = 1.414141%です。難しいのは、シューターが平均して何回パスラインベットをするかということです。

シューターがとれる状態は 4 つあります。それぞれの状態を、そのシューターの将来のパス ライン ベットの予想数として定義しましょう。

• A = カムアウトロール
• B = 4点または10点獲得
• C = 5または9のポイントを獲得
• D = 6または8のポイントを獲得

以下は、各状態が次の状態に至る確率を示す式です。

A = 1 + (12/36)*A + (6/36)*B + (8/36)*C + (10/36)*D
B = (1/3)*A
C = (2/5)*A
D = (5/11)*A

少し代数計算すると、シューター 1 人あたりのパス ライン ベットの数は A = 2.525510 になります。

したがって、5 ドルのシューター 1 台あたりの予想損失は、5 ドル * 2.525510 * 0.0141414 = 0.178571 となります。

シューターが賭ける予想金額は、$5*2.525510=$12.627551 です。

最後に、期待収益は期待勝利額を期待賭け金で割ったもので、(0.649739-0.178571)/12.627551 = 3.73127%となります。つまり、ハウスエッジは-3.73%となります。

はい、ダブルが出る確率はそれぞれ1/36です。ただし、これはハズレが出る確率と比較する必要があります。ハードフォーの場合、ハズレは8回（1-6、2-5、3-4、1-3がそれぞれ2回ずつ）あるので、当選確率は1/9です。ハードシックスの場合、ハズレは10回（1-6、2-5、3-4、1-5、2-4がそれぞれ2回ずつ）あるので、当選確率は1/11です。ハードシックスの方が当選確率が低いため、配当は高くなります。

クラップレス・クラップスでも、この2つの賭け方を提供しています。2が出る確率は1通り、7が出る確率は6通りあるため、2のプレースベットで勝つ確率は1/7です。12の場合も同様の確率です。バカラの質問で説明したように、何かの確率がpの場合、公平なオッズは(1/p)-1対1です。この場合、公平なオッズは6対1になります。ハウスエッジは(ta)/(t+1)と表すことができます。ここで、tは真のオッズ、aは実際のオッズです。クラップレス・クラップスでは、2と12のプレースベットは11対2の配当となります。この式を用いると、2と12のハウスエッジは(6-5.5)/(6+1) = 0.5/7 = 7.14%となります。

クラップレス クラップスでは、3 と 11 は 11 対 4 で支払われます。同じ式を使用すると、t=3、a=2.75 なので、ハウス エッジは 0.25/4 = 6.25% になります。

ハウスエッジ（クラップスでは正しくプレイすれば非常に低い）を無視すると、1,000ドルを失う確率と500ドルを獲得する確率は2/3です。5回中4回勝つ確率は、5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9%となります。

7が出る確率は1/6、12が出る確率は1/36です。7か12が出た場合、7が出る確率は(1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7です。つまり、6か12が出た場合、最初の6回で毎回6が出る確率は(6/7) ⁶ = 39.66%です。

質問を「12が出る前に6が5つ出る確率は？」と言い換えると、答えは(6/7) ⁵ = 46.27%です。4つ出る場合は(6/7) ⁴ = 53.98%です。つまり、12が出る前に7が出る確率が50/50になるような数字は存在しません。もしあなたが良い賭けを探しているなら、12が出る前に7が4つ出るか、7が5つ出る前に12が出るかのどちらかを提案しましょう。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

カムアウトロールでは、この時点で 3 つの結果が考えられます。

1. セブンアウト。
2. すでに述べた点を繰り返す (4 ～ 9)。
3. カムアウトロールで 10 を出し、それを達成する。

2番目と3番目の確率のみを定量化する必要があります。シューターは最終的にポイントを獲得し、その後最終的にポイントを獲得するか、7アウトを獲得します。ポイントが確立され、その後ポイントを獲得する確率は4対9です。

(3/24)×(3/9) + (4/24)×(4/10) + (5/24)×(5/11) + (5/24)×(5/11) + (4/24)×(4/10) = 0.364394。

10 ポイントを確立してからそれを達成する確率は、(3/24)*(1/3) = 0.041667 です。

7点アウトになる前に10点を取る確率をpとします。もしプレイヤーが他の点を取った場合は、元の状態に戻ります。つまり…

p = 0.364394 × p + 0.041667
p × (1-0.364394) = 0.041667
p = 0.041667/(1-0.364394)
p = 0.065554

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

ポイントが確定した場合、シューターがポイントを獲得する確率は、pr(ポイントが4または10) × pr(4または10を獲得) + pr(ポイントが5または9) × pr(5または9を獲得) + pr(ポイントが6または8) × pr(6または8を獲得) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061 となります。

ある事象の確率がpの場合、失敗までにその事象が発生する期待回数はp/(1-p)です。したがって、シューター1人あたりの期待得点は0.406061/(1-0.406061) = 0.683673となります。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

この質問はTwoPlusTwo.comで出題され、 BruceZ氏によって正解されました。以下の解答はBruceZ氏と同じ方法で、BruceZ氏には敬意を表すべきでしょう。難しい解答ですので、ご注意ください。

1. まず、合計2が出るまでの期待される回数を考えてみましょう。2が出る確率は1/36なので、最初の2が出るまで平均36回振る必要があります。

2. 次に、2と3の両方が出るのに必要なサイコロの期待回数を考えてみましょう。2が出るまでには平均36回振る必要があることは既に分かっています。2が出るのを待っている間に3が出れば、3が出るまで追加でサイコロを振る必要はありません。しかし、そうでない場合は、3が出るまでにさらにサイコロを振る必要があります。

   3が出る確率は1/18なので、2が先に出た場合、3が出るまで平均18回追加でサイコロを振る必要があります。2が出る可能性は1通り、3が出る可能性は2通りあるので、2が先に出る確率は1/(1+2) = 1/3です。

   つまり、3が出るのに18回追加で振る必要がある確率は1/3です。したがって、2と3の両方が出るのに必要な期待値は36+(1/3)×18 = 42となります。

3. 次に、4が出るまであと何回サイコロを振る必要があるかを考えてみましょう。2と3を振った時点でまだ4が出ていない場合、4が出るまでには平均してあと12回サイコロを振る必要があります。これは、4が出る確率が1/12だからです。

   2と3を達成する前に4を達成する確率はどれくらいでしょうか？まず、AとBが互いに排他的でない場合の一般的な確率の法則を確認しましょう。

   pr(A または B) = pr(A) + pr(B) - pr(A および B)

   pr(A and B) を減算するのは、その偶然性が pr(A) + pr(B) に二重にカウントされているからです。つまり、

   pr(4 が 2 または 3 の前) = pr(4 が 2 の前) + pr(4 が 3 の前) - pr(4 が 2 と 3 の前) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   2と3が出るまでの過程で4が出ない確率は1.0 - 0.85 = 0.15です。つまり、12回追加で振る必要がある確率は15%です。したがって、2、3、4が出るまでの期待値は42 + 0.15 * 12 = 43.8となります。

4. 次に、5が出るまであと何回サイコロを振る必要があるかを考えてみましょう。2～4を振った時点でまだ5が出ていない場合、5が出る確率は4/36 = 1/9なので、平均してあと9回サイコロを振る必要があります。

   2、3、4を達成する前に5を獲得する確率はどれくらいでしょうか？一般的なルールは次のとおりです。

   pr (A または B または C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A および B) - pr(A および C) - pr(B および C) + pr(A および B および C)

   つまり、pr(5が2または3または4より前) = pr(5が2より前)+pr(5が3より前)+pr(5が4より前)-pr(5が2と3より前)-pr(5が2と4より前)-pr(5が3と4より前)+pr(5が2、3、4より前) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90 です。2から4までの過程で4が出ない確率は、1 - 83/90 = 7/90 です。つまり、7.2回追加で振る必要がある確率は7.78%です。したがって、2、3、4、5が出るのに必要なロール回数の期待値は、43.8 + (7/90)*9 = 44.5となります。

5. 同じ論理を、合計6から12まで繰り返します。最後の数字が毎回ほぼ倍増するため、次の数字が出る確率を求めるために必要な計算回数は、12に達するまでに1,023回になります。

   pr(A or B or C or ... or Z)の一般的なルールは次のとおりです。

   pr(A または B または C または ... または Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (AとB) - pr(AとC) - ... - pr(YとZ) 2つのイベントのすべての組み合わせの確率を引きます
   + pr (AとBとC) + pr(AとBとD) + ... + pr(XとYとZ) 3つのイベントのすべての組み合わせの確率を加算します
   - pr (AとBとCとD) - pr(AとBとCとE) - ... - pr(WとXとYとZ) 4つのイベントのすべての組み合わせの確率を引きます

   これを繰り返しながら、奇数事象には確率を加算し、偶数事象には確率を減算することを忘れないようにしてください。起こり得る事象の数が多い場合は、当然ながらこの作業は面倒になり、スプレッドシートやコンピュータプログラムが実質的に必要になります。

以下の表は、各ステップにおける期待値を示しています。例えば、2が出る場合は36、2と3が出る場合は42です。右下のセルには、11個の合計目をすべて出すために必要なロールの期待値が61.217385であることを示しています。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

61回投げた場合、7が出る期待値は61×(1/6) = 10.17です。あなたは14個でした。7がちょうど14個出る確率は7.96%、14個以上出る確率は12.77%です。つまり、特に異常はありません。また、すべての投げでカイ二乗検定も行いました。このような小さなサンプルでカイ二乗検定を行うのは適切ではないことは承知しているので、結果は鵜呑みにしないでください。結果は以下の通りです。

右下のセルはカイ二乗検定で8.70を示しています。自由度10でこの値以上になる確率は56.09%です。これらの結果はベル曲線のピークに近いため、カジノはカイ二乗検定を容易に通過します。

答えは219.149467です。

これを解くには2つの方法が考えられます。1つ目はマルコフ連鎖を使う方法です。次の表は、128通りの可能な状態から任意の状態に必要な期待ロール数を示しています。

簡単に言うと、任意の状態からの期待ロールは、ポイントを獲得するか失うまでの期待ロール数 (5.063636) に、プレーヤーが次の状態に進む場合の期待ロール数を加えた数を、その状態で進まない確率で割ったものです。

もう1つの方法は積分法を用いるものです。まず、起こり得る結果それぞれについて、期待される出目を計算します。次に、各事象の確率と平均出目の内積を取り、パスラインベットを成立させる平均出目を求めます。右下隅に示されているように、平均出目は3.375758 = 557/165です。

そこから、任意のポイントが勝つ間の予想されるロールを取得できます。

• 4ポイント間のロール勝利 = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = 約121.527273。
• 5ポイント間のロールの勝ち = (4/36)*(4/10)*4.6*(557/165) = 1671/21 = 約75.954545。
• 6ポイント間のロール勝利 = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = 約53.472。

10、9、8 ポイントの勝者の予想ロールは、それぞれ 4、5、6 ポイントの勝者の場合と同じです。

4点差の勝者が離散的に発生するのではなく、平均が6684/55の指数分布に従うとしましょう。このような確率変数がx単位時間発生しない確率は、exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684)となります。

x 単位時間内に少なくとも 1 回発生する確率は、1-exp(-55x/6684) です。

6 つのポイントすべてを連続変数として表すと、6 つのポイントすべてが x 単位時間内に発生する確率は (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 になります。

6 つのイベントのうち少なくとも 1 つが x 単位時間内に発生しない確率は、1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 です。

上記を 0 から無限大まで積分すると、6 つのイベントすべてが発生する予想時間を取得できます。

この積分計算機を使用すると、答えは 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = 約 219.1494672902 になります。

なぜこれが機能するのかを説明するのは難しいので、その部分は信じてください。

この恐ろしいルールにより、ハウスエッジは 1.41% から 33.26% に増加します。

まず、完全にランダムなロールを想定して、各合計の予想合計を表示する列をテーブルに追加しましょう。

データの分析方法を聞かれなかったので、いくつか方法を試してみます。

カイ二乗検定のカイ二乗統計量は21.43009で、自由度は10です。データがこの値、あるいはそれ以上に歪んでいる確率は1.83%です。

目標とおっしゃっていた内側の数字だけを見ると、達成された合計は12,802でしたが、期待値は25,227 × (2/3) = 12613.5でした。この内側の数字の超過は、期待値を2.52標準偏差上回っています。このような超過数、あるいはそれ以上の超過数が発生する確率は0.59%です。

7が足りないことに気づかずにはいられませんでした。25,227回のロールで7が出る期待値は25,227 × (1/6) = 4204.5です。シューターは3,963回出ました。これは期待値から4.08標準偏差離れています。このような不足の確率は0.0000225、つまり44,392分の1です。

しかし、過去のデータを見て、何か怪しい点を見つけるのはたいてい簡単です。とはいえ、7を避けることは、サイコロインフルエンサーにとって本質的な目標です。

シューターがサイコロに影響を与えることができるかどうかをテストする科学的な方法は、データが収集される前に目標を述べることです。