ビンゴの確率：ステーションカジノでのジャンボプログレッシブの分析

アップデート

私が最初のレポートを書いてから、ステーションカジノは10月のどこかで明らかに再度オッズと偶数の分布を変更しました。次の表は、私が取ったカードと私が「L」と呼ぶ別のカードの最近の分布を示しています。

 

9から14オッズの範囲は同じままですが、以前のより均一な分布とは対照的に現在の14オッズに大きく重み付けされています。オッズが高くなるとプログレッシブジャックポットを獲得するのが難しくなるので、このサンプリングに基づいて正の期待値が必要な場合はジャンボボールが54に達するまで待つことをお勧めします。

次の表は、私の合計サンプルを同じサンプルサイズとステファン L. カバレロ（ステーションカジノのエグゼクティブバイスプレジデント兼最高執行責任者）が以前に説明した同じカードの描画方法を想定した場合のそれぞれの合計の確率と比較しています。

 

これは私の結果が期待していたものと一致していないことを明らかにします。期待値と比較したこの分布の歪度に関する統計的検定では5自由度のカイ2乗統計量330.71が得られ、これ以上の歪んだ結果の確率は402,433,741,048,496,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000に1の確率です。これを概観することでパワーボールを8回続けて打つ確率が高くなります。

さらにこれを議論するためにカードの描画方法に変更がありました。次の表は変更の前後の私のサンプルの結果を示しています。サンプル1は8月でサンプル2は10月30日と11月1日に採取されています。

次のグラフは、予想される確率と比較した際の上記2つの確率列の表を比較しています。

 

これが示すのは、サンプル1が期待値とよく一致しなかったもののその偏差がサンプルの偏りによるものである可能性があること（この確率は4844年に1回）です。ただし新しいサンプリングは、疑いの余地なく期待値または古いサンプルのいずれとも一致しません。

新しいカードがステーションカジノの経営陣にどのように引き出されるかについて質問したところ、カードの引き方に変更はないと言われました。それとは反対の私の証拠についてはコメントがなく、私の「否定的な報告」の為のそれ以上の協力は拒否されました。

注：「マイクのサンプル」は、11月1日3時のサンセットステーションでのセッションで収集されました。「Lのサンプル」は、ボルダーステーションの10月30日の午前9時と午前11時のセッションで収集されました。

以下は私が行った最初の研究ですが、すでにそれらは時代遅れになっています。

 

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以下は、次のラスベガスのカジノで販売されているプログレッシブビンゴカードが完全にランダムに作成されていないという私の証拠です。

 

• パレスステーション
• サンタフェステーション
• テキサスステーション
• ボルダーステーション
• サンセットステーション
• フィエスタランチョ
• フィエスタヘンダーソン
• サムズタウン

ラスベガスのステーションカジノでは、ジャンボビンゴと呼ばれるリンクされたビンゴプログレッシブが行われています。プログレッシブメーターは100,000ドルから始まり、プレイヤーが勝つには47回のコールで全カバー（カード上の24の数字全て）を得る必要があります。最初の週に5つのビンゴパーラーのいずれにもヒットしなかった場合、プログレッシブ（ジャンボボールと呼ばれる）を獲得するための呼び出し数は1から48に増加します。同様に、ジャンボボールは誰かが勝利するまで毎週1ずつ増加します。

あなたの時間を節約するために言いますが、呼び出される最初の37の番号の2から74までは全て偶数です。ジャンボビンゴカードは全ての偶数に対して便利に事前にマークされており、ゲームが始まると発信者はすべて偶数のカードに基づいて誰かが勝ったかどうかを尋ねます。次に、誰も勝ちカードを要求しなかった後、発信者は偶数番号のボールを無視してランダムにボールを引きます。ジャンボボールがコールされるまでに誰もカバーオールを受け取らなかった場合のコールの数に関係なく、最初の人がカバーオールを獲得するための賞金が1199ドルであると誰も主張しない場合は52コール以内にカバーオールに対して5000ドルの慰め賞金があります。そしてその他のビンゴと同じように、複数のプレイヤーが同時に勝った場合には賞金は分割されます

フィエスタのカジノは小規模で非常によく似たゲームを持っています。プログレッシブは25,000ドルから始まり、慰め賞金はそれよりも少なくなります。全ての偶数が事前に呼び出されるという点でも同じで、サムズタウンでは事前に呼び出された奇数によってゲームが逆転します。

次の表は、フェアカードのカードの奇数の合計に応じた確率分布を示しています。私のフェアカードの定義としては5つの「B」番号が1から15までランダムに選択され、5つの「I」番号が16から30までランダムに選択されるというものです。同じ結果を達成する別の方法は、数字が選択されたときにカードを埋める1から75までの数字を描くことで、対応する列がすでに埋められている場合の数字を無視することです。

極端にオッズが少ないカードは、確かに良いスタートを切りほとんどオッズのカードよりも勝つ可能性がはるかに高くなります。ラスベガスアドバイザーの2002年7月号では、カードがランダムに作成されたという仮定に基づいてジャンボビンゴに関する記事を書きましたが、そのコラムのある読者は彼が1500枚のカードを購入してそれら全てのオッズの総数が9から14であったことからも明らかなようにカードはランダムに作成されたものではないと信じていると私に言いました。

全てのカードのオッズが9〜14であるという告発を確認するために、アシスタントのロブフェルドハイムがパレスステーションで259枚のジャンボビンゴカードを集めました。次に各カードのオッズ数を数えましたが、オッズの合計は常に9〜14でした。次の表は、各オッズ数の合計とフェアゲームで期待される合計を示しています。

 

オッズの総数が9から14の間になる確率は0.834524756です。42.858088のサンプルのうち、それは9から14の範囲外にあるはずですがどれもそうではありませんでした。公正なゲームでこれが発生する確率は0.834524756259 = 4.4953 * 10-21で、つまり222,454,364,282,805,000,000分の1になります。

以下は、2002年8月22日の午前11時のセッション後にフィエスタランチョにて取得されたグランデビンゴカードで行われた同じ種類のテスト結果です。

 

9から14の範囲外になると予想される数は14.396346ですが実際にはほぼ0で、この確率は1.46289 * 10-7で6,835,771分の1になります。

次は、サムズタウンからのプログレッシブカードのサンプル結果です。

 

ステーションカジノのスティーブンL.カヴァッラーロとの会話に基づいた結果、サムズタウンでは10から15のオッズや9から14の偶数の範囲を期待していましたが、実際には8つの偶数で1枚のカードを取得して9で1枚しか得ることが出来ませんでした。8から14の偶数を持つカードの確率は0.881703で102がこの範囲に入る確率は2.647786 * 10-6、つまり377,674に1になります。

さらにサンコーストの通常のビンゴカードでも同様のテストを行った結果、129のサンプルでは次の実際の結果と期待される結果が得られました。

 

129枚のカードのうち、9から14の範囲外の数は21で予想される数は21.34630654でした。これらのカードは奇数/偶数テストに簡単に合格していますが、彼らにはオッズや偶数が事前に呼び出されるゲームがなかったので当然の結果だと思います。

次の表は、プレイヤーが全ての50の数字の範囲内でカバーを取得する必要がある場合の公正なゲームで勝つ確率を示しています。

 

下の画像の右のセルは勝率が0.000006053319、つまり165199に1であることを示しています。フェアゲームで勝った場合は、オッズが6のカードで発生する可能性が最も高いです。オッズが9未満のフェアゲームで勝つカードの確率は94.15％です。

私は自分の調査について書くことを計画していることを知った際にスティーブンL.カヴァッラーロ（ステーションカジノのエグゼクティブバイスプレジデント兼最高執行責任者）とジョナサンスウェイン（パレスステーションのバイスプレジデント兼ゼネラルマネージャー）に会うように頼まれました。スティーブンはすぐに出てきて、カードがそれぞれ9から14のオッズを含むように事前に選択されていることを認めました。彼が述べるのは、これは競争の場を平準化して各カードと顧客に勝つ希望を与えるための努力であるそうです。また彼は、最初は範囲がはるかに広く、最初の勝者は最初にカードのオッズが3つしかなかったと述べました。さらにサムズタウンカジノとフィエスタカジノでも同じことをしており、ステーションゲームはネバダゲーミングコントロールボードによって完全に承認されていると彼は言いました。

スティーブン・カヴァッラーロのフォローアップの電話では、コンピューターがランダムに一連の公正な番号によってカードが選択されると私に言いました。合計オッズが9から14の間の場合にはカードがプリントされ、それ以外の場合はその数字のセットが破棄されて次のセットに進みます。次の表は、このカード作成方法での各オッズ数の調整済み確率を示しています。

 

全体としてはミックスから最高のカードを削除した結果、特定のカードがプログレッシブに当たる確率は大幅に低くなります。最悪のカードを削除しても補償されず、カードを事前に選択するというこのポリシーによってジャックポットが大きくなり、同時にカジノはメーターを再シードする頻度を減らす必要があります。最終的な結果としては、進歩的な勝者が少なくなって獲得した賞金の合計も減ります。次の表は、ジャックポットを獲得するために呼び出されたボールの数に応じて、フェアカードとステーションカードの両方が勝つと予想される確率を示しています。

 

比率の列が示すのは、フェアカードとは対照的にステーションカジノカードを使用して勝つことが何倍難しいかです。例えば、ジャックポットを50ボール以下でヒットする必要がある場合での勝利は14.28倍難しくなります。

私の意見としては、全てのビンゴカードは上記の方法で実際にランダムに作成する必要があります。それを除いてカードがランダムに作成されない場合は、カードの作成方法とプレイヤーへの影響に関するルールを開示する必要があると思います。私はあらゆる形態のギャンブルにおいて公平性と開示を強く支持しており、これらのどちらもネバダ州のビンゴには当てはまりません。ビンゴをプレイする方はぜひそれを心に留めておいてください。

スティーブン・カヴァッラーロとジョナサン・スワイムとの出会いとこの問題について開示的になってくれたことに心から感謝します。

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Michael Shackleford, ASA

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作成者： Michael Shackleford