選手プロップ分析におけるよくある誤解

ギャンブラーの誤謬：独立性の誤解

ギャンブラーの誤謬とは、過去の独立した出来事が将来の確率に影響を与えるという誤った信念です。プロップベッティングでは、これは以下のように現れます。

「プレイヤーAは5試合連続でポイント合計を下回っています。今夜はポイント合計を上回る予定です！」

なぜこれが間違っているのか

各試合が独立したイベントである場合（多くのプロップでは妥当な仮定です）、今夜のオーバーの確率は過去の結果によって変わりません。正式には以下のようになります。

条件付き確率は、独立した事象の無条件確率に等しくなります。過去の結果は今夜の予測情報を提供しません。

数学的現実

ある選手が毎試合、ラインをオーバーする確率が50%だとします（フェアプロップ）。5試合連続でアンダーになる確率はどれくらいでしょうか？

これは稀なケース（32回に1回）なので、「そろそろオーバーを打つ頃だ」という印象を与えます。しかし、これは錯覚です。連勝が始まる前の確率は3.125%でした。連勝が始まった今、状況は一変します。

コイン（またはプレイヤー）には記憶がありません。毎回のゲームは50-50の賭けとなります。

過去の結果が重要になる場合

過去の結果は、基礎となる確率の推定値を更新する上で有益です。オーバー確率が50%と予想していた選手が10回連続でアンダーになった場合、次のいずれかが考えられます。

1. 運が悪かった（0.5^10 = 0）。1%の確率）、または
2. 我々の50%の推定は間違っており、真の確率はもっと低い

ベイジアン推論では、オプション 2 に向けて更新する必要があることが示唆されます。ただし、これはギャンブラーの誤謬とは異なります。「彼は当然の報いを受ける」と言っているのではなく、「私たちの確率推定は間違っていた可能性がある」と言っているのです。

実例

選手Aの得点プロップは24.5です。シーズン全体のデータ（n=50試合、28オーバー）に基づいて、当初はオーバーの確率を55%と推定しました。しかし、現在5試合連続でアンダーになっています。

ギャンブラーの誤った反応: 「彼は勝つはずだ! オーバーに大金を賭けよう!」

正しいベイジアンの回答： 「この5試合のサンプルを見ると、私の55%という推定値は高すぎるかもしれない。合計50試合、28オーバー（この5試合後のオーバー23、アンダー27）で、最新の推定値は23/50 = 46%となる。オーバーには賭けるべきではない。」

誤謬は、過去の結果がその逆の可能性を高めると主張します。正しい見解は、過去の結果が真の潜在的確率を推定するのに役立つと主張します。

ホットハンドの誤謬 vs. 本当の連続性

ホット ハンド誤謬は、その逆の誤りです。つまり、最近の成功が、データが保証する以上の将来の成功を予測すると信じることなのです。

「プレイヤーBは過去6試合連続でオーバー。絶好調です！オーバーに賭けましょう！」

研究

古典的な心理学研究（Gilovich, Vallone, & Tversky, 1985）では、バスケットボールのシュートを分析しましたが、連続してシュートを決めることで次のシュート成功率が高まるという証拠は見つかりませんでした。連続してシュートを決めた後と、連続してシュートを外した後の選手のシュート成功率は、同じでした。

これは、「ホット ハンド」が主に錯覚であり、人間はランダムなシーケンスでパターンを見ていることを示唆しています。

でも待ってください。縞模様は本当にあるのでしょうか?

より最近の研究（Miller & Sanjurjo, 2018）では、元の分析に微妙な統計的欠陥があったことが示されました。適切に分析すると、バスケットボールのシュートにおけるホットハンド効果（約2～4パーセントポイントの増加）を示す弱い証拠が見つかります。

つまり、真実は微妙なところがあるのです。

• 最も認識されている「ホットハンド」はパターンとして現れるランダムな変動である
• 真のホットハンド効果は存在するが、小さい（20パーセントではなく2～4パーセントポイント）
• たとえ軽度の不安定さが事実だとしても、最近のパフォーマンスを過大評価するのは誤りである。

数学テスト

縞模様が本物かランダムかはどうすればわかりますか？縞模様が偶然に観測される確率を計算してみましょう。

真の確率が50%の選手は6オーバー連続で得点します。確率：

これはあまり考えられませんが、決して稀なことではありません。100人のプレイヤーがそれぞれ40試合ずつプレーすれば、純粋な偶然で6連勝するプレイヤーが数人いると予想されます。

正しい解釈：この連続記録は、真の確率が50%を超えるという弱い証拠ではあるものの、強力な証拠ではない。推定値を75%と大幅に修正するのではなく、控えめに（おそらく50%から52～54%に）更新する必要がある。

平均回帰（プレビュー）

ホットハンドの誤謬は平均への回帰を説明できません。つまり、極端なパフォーマンスの後には、それほど極端ではないパフォーマンスが続く傾向があるということです。次のセクションでは、この点を数学的に考察します。

平均回帰：数学

平均回帰は統計的な現象であり、心理的なバイアスではありません。極端な観測値の後には、それほど極端ではない観測値が続く傾向があるというのは、数学的な必然です。

なぜ起こるのか

観察されるパフォーマンスには 2 つの要素があります。

極端なパフォーマンス（非常に高い、または非常に低い）が見られる場合、次のようなことが考えられます。

1. 真のスキルはやや極端であり、
2. ランダム変動は同じ方向に極端であった

次回公演では、以下のことを期待しています。

• 変わらない真のスキル
• ランダムな変動が平均に近づく（ランダムの定義による）

したがって、次のパフォーマンスは最初のパフォーマンスほど極端ではなくなる可能性が高くなります。これが平均への回帰です。

回帰式

プレイヤーの最近の平均が X_recent で、長期平均が X_longterm の場合、予想される次のパフォーマンスは次のようになります。

ここで、w は最近のデータに与えられる重みであり、次の要素に依存します。

• 最近のデータのサンプルサイズ（サンプルが大きいほどwが高くなる）
• プレイヤーの一貫性（一貫性が高い → w が高い）
• 変更理由 (怪我からの回復 → w が増加、ランダムな好調期 → w が減少)

重量の大まかな目安：

ここで、n_recent は最近のサンプルのサイズであり、k は長期データをどの程度信頼するかを表す定数 (ほとんどのプレーヤーのプロップでは約 30 ～ 50) です。

実例

選手Cはキャリア200試合で平均6.2リバウンドを記録しています。直近10試合では平均9.5リバウンドを記録しています。今夜の試合はどうなるでしょうか？

単純なアプローチ: 「彼の最近の平均スコアは 9.5 なので、9.5 を予測します。」

適切な回帰アプローチ:

リバウンド数は6.86と予測しており、これは彼の最近の好調期よりもキャリア平均にかなり近い数値です。これは、最近の平均9.5には正のランダム分散が含まれている可能性が高いことを示しています。

どのくらい退行しますか?

回帰の量はサンプルサイズによって異なります。

好調なパフォーマンスが5～10試合しかない場合、キャリアデータを80～90%重視すべきです。しかし、多くのベッターは逆のことをし、直近のデータを過度に重視しています。

サンプルサイズの無視：少数の法則

サンプルサイズの無視とは、サンプルサイズが信頼性に及ぼす影響を考慮していないことです。サンプル数が少ないと不確実性は大きくなりますが、賭けをする人はそれを信頼できるものとして扱うことがよくあります。

数学的現実

からcom/article/expected-value-in-player-prop-betting/">記事2では、標準誤差はサンプルサイズに依存することを思い出してください。

95%信頼区間の幅は約±2 SEです。

重要な洞察： 10試合で7オーバー（70%）の確率が示された場合、95%信頼区間（CI）は[39%, 100%]となります。これは、真の確率が39%から100%の範囲にあることと一致しています。データからはほとんど何も得られません。

実例

2人のプレイヤー:

選手E:過去10試合でオーバー率70% (7勝3敗)

選手F:過去100試合で70%のオーバー率 (70勝30敗)

質問:どの 70% をより信頼すべきでしょうか?

プレイヤーE (n=10):

プレイヤーF（n=100）:

プレイヤーFの70%ははるかに信頼性が高い。プレイヤーEは運が良ければ50%の確率で勝てるプレイヤーである可能性が高い。

最小サンプルサイズルール

分割またはサブセット分析の場合:

• n < 10:完全に無視する、純粋なノイズ
• n = 10-30:証拠が弱いため、慎重に使用してください
• n = 30-50:中程度の証拠、検討する価値がある
• n > 50:強力な証拠、推定に信頼できる

ほとんどのプロップベッターは、5〜10 のゲームサンプルを信頼して、これを常に違反しています。

物語の誤謬：統計よりも物語

物語の誤謬とは、ランダムな現象や統計的な現象について説明的な物語を構築し、その物語を使って未来を予測する傾向のことです。

共通の物語

• 「古巣と対戦するのでモチベーションが上がっている！」
• 「彼らは常に競争に応じてプレーします！」
• 「これは絶対に勝たなければいけない試合だ、彼は頑張るよ！」
• 「彼は契約最終年なので、特に集中するはずだ！」

物語が危険な理由

これらの物語は時には真実かもしれませんが、次のような欠点があります。

1. 反証不可能性：彼のパフォーマンスが良ければ、物語は裏付けられる。そうでなければ、私たちはそれを説明しようとする（「彼はやる気がありすぎて、プレッシャーを感じていた」など）。
2. 後知恵バイアス：事後的に、私たちは結果を「説明する」物語を構築します。これは、その物語に予測力があったことを意味するものではありません。
3. サンプルサイズ = 1:誰かが「競争に応じてプレーした」 1 回を記憶しますが、競争に応じてプレーしなかった 20 回を記憶しません。

テスト

物語に基づいて賭ける前に、次のことを自問してください。

1. これはテスト可能ですか？過去の事例に関するデータを収集できますか？
2. データは何を示唆しているでしょうか？選手たちは実際に、以前のチームに対してより良いパフォーマンスを発揮しているのでしょうか（平均して、十分なサンプル数で）？
3. その影響は価格に織り込まれているだろうか？もしそれが既知の現象なら、ブックメーカーはすでにそれを考慮して調整しているはずだ。

例：「復讐ゲーム」の物語

ナレーション: 「プレイヤー G はいつも、元所属チーム相手に大活躍します!」

検証してみましょう： G選手はトレードされてから元所属チームと4回対戦しました。結果：28点、18点、32点、22点。平均：25点。

キャリア平均: 24 ポイント (n=200 ゲーム)。

分析：

「リベンジゲーム」効果は統計的にゼロと区別できません。この説はデータによって裏付けられていません。

物語が重要になるとき

物語は、データで検証できる構造的変化を指摘するときに役立ちます。

• 「20試合欠場した後、今は健康だ」→出場時間、使用率を確認
• 「新しいコーチは彼のためにもっと多くのプレーを実行」→ 1試合あたりのシュート数、タッチ数をチェック
• 「チームはタンキングしているので、彼の出場時間は増えるだろう」→実際の出場時間の傾向を確認する

ただし、テスト自体としてではなく、何をテストするかを特定するためにナラティブを使用してください。

要約：誤解とその解決策

誤謬に強い賭けのプロセスを構築する

これらの誤りを体系的に回避するには、一貫した分析プロセスを構築します。

1. 標準化されたフレームワークを使用する

記事 1 ～ 4 の完全なフレームワークを基にして、すべてのプロップに対して同じ手順を実行します。

1. 第1条の手法（オッズ変換、ホールド計算）を使用して市場情報を抽出する
2. 過去のデータを収集し、信頼区間を計算する（記事2 ）
3. サンプルサイズに応じて重み付けし、平均に回帰を適用する（記事2 ）
4. 文脈的調整は慎重に適用する（第2条）
5. 期待値を計算する（第2回）
6. ケリー基準を用いたサイズベット（第3条）
7. 同じ試合の複数のプロップに賭ける場合は相関関係を考慮する（第4条）

「感情」や「直感」に基づいてプロセスから逸脱しないでください。

2. 意思決定記録をつける

それぞれの賭けについて、次のことを記録します。

• 確率の推定と推論
• 検討したデータ
• 無視したデータとその理由
• 結果と実際のプレーヤーのパフォーマンス

四半期ごとにレビュー: パターンに陥っていませんか? 最近の試合を過剰に重視していませんか? 統計を恣意的に選んでいませんか?

3. キャリブレーションを計算する

50 回以上の賭けをしたら、調整をテストします。

• 確率を 55% と見積もった場合、プロップは ~55% の確率でヒットするのでしょうか?
• 確率を 65% と見積もった場合、プロップは ~65% の確率でヒットするのでしょうか?

調整が不十分な場合（60% と見積もったが、実際は 50% だった場合）、過信や確証バイアスといった誤りに陥っている可能性があります。

4. 基本料金を使用する

常にベースレート（キャリア平均、シーズン平均）から出発し、そこから逸脱するには強力な証拠が必要です。大規模なサンプルによるキャリアデータを上回るには、最近のデータに基づいて立証責任を負います。

5. 不確実性を受け入れる

推定値は点数ではなく範囲で表します。

• 悪い例: 「私は正確に57.3%の確率を推定します」
• 良い例: 「確率は 54～60%、最良の推測は 57% と推定します」

この謙虚さは、自信過剰や過剰な賭け金の設定を防ぎます。

6. 反証となる証拠を探す

賭けをする前に、賭けない理由を意識的に探してみてください。もし矛盾する証拠が見つからないなら、それは十分に探していないということです。確証バイアスが働いているのです。