ルーレット - よくある質問

あなたは140ドルを勝ち取る確率が2/38、5ドルを勝ち取る確率が24/38、そして40ドルを失う確率が12/38です。全体の期待収益率は[(2/38)*140 + (24/38)*5 + (12/38)*-40]/40 = -5.26%です。これはダブルゼロルーレットにおけるすべての賭け（0-00-1-2-3の組み合わせを除く、その場合のハウスエッジは7.89%）と同じハウスエッジです。

おっしゃる通り、当選確率は24/38、つまり約63%です。しかし、200ドルのリスクを負って100ドルしか獲得できません。さらに当選確率を上げたいなら、35個の数字に賭けてみてください。当選確率は92%になります。

0-00-1-2-3の組み合わせを避ければ、どの組み合わせの賭けでもハウスエッジは常に1/19、つまり5.26%です。勝率を上げる方法はありますが、賭け金全体に対する勝率は低くなります。

4回のうち3回、任意の数字が出る確率は、38×4×(1/38) ³ ×(37/38) = 1/5932です。しかし、長くプレイしていれば、このような異常な出来事に気づかずにはいられなくなります。これは疑わしいレベルには程遠いものです。実際のカジノでも不正行為は発生します。通常は、カジノのセキュリティに捕まるような、悪徳ディーラーです。オンラインカジノでも不正行為が認められた事例はいくつかありますが、私の知る限り、政府機関が有罪判決を下した例はありません。

私の「ギャンブルの十戒」をご覧ください。6番目の戒律は「ヘッジするな」です。ルーレットに関するご質問ですが、1つずつ賭けた場合、10回すべてを失う確率は(37/38) ¹⁰ =76.59%です。10回すべてを異なる数字に一度に賭けた場合、10回すべてを失う確率は(28/38)=73.68%です。ヘッジ、つまり10個の数字に一度に賭けることで、全損の確率は下がりますが、最大獲得額は26ドルに制限されます。1つずつ賭けた場合、最大350ドルを獲得できる可能性があります。どちらの方法も、期待収益率は94.74%で同じです。

15ドルを獲得する方法は30通り、135ドルを失う方法は6通り、そして45ドルを獲得する方法は2通り（40ドルではなく）あります。この賭けの組み合わせの期待リターンは、((30/38)*15 + (6/38)*-135 + (2/38)*(45))/135 = -.0526、つまり5.26%です。これは、恐ろしい0-00-1-2-3の組み合わせを避ければ、どの賭け、あるいは賭けの組み合わせでもハウスエッジとなります。あなたの観察では、おそらく予想よりも少ない19～24回の出現しか見られなかったでしょう。これが、この方法が勝っているという錯覚の理由です。

ギャンブラーの誤謬を蒸し返しているだけです。公平なホイールでボールが100回連続で奇数に止まったとしても、次のスピンが偶数になる確率は毎回同じで、ダブルゼロホイールでは47.37%です。つまり、賭けずにスピンできるとしても意味がありません。ボールには記憶がないのです。

どちらの手法も使われていると聞いたことがあります。ルーレット盤の動きを計る装置については、存在が知られており、時折使用されているという以外、あまり詳しく知りません。ここネバダ州では、そのような装置は厳重に管理されています。一方、偏向したルーレット盤を利用するという話はよく耳にします。実際に何度も行われています。古いルーレット盤を使用しているカジノが最も狙われやすいと思います。アルゼンチンはまさに格好の標的だと、私は長年言い続けてきました。

最大損失額が255ユニットの場合、最大8回まで賭けることができます。8回連続で負ける確率は(19/37) ⁸ =.004835です。つまり、1ユニット勝つ確率は99.52%、255ユニット負ける確率は0.48%です。

37組の数字ごとに1回、同じ数字が繰り返されると予想されます。つまり、36個の数字があれば、35組の数字が繰り返されます。したがって、期待される繰り返し回数は35/37 = 0.9459となります。

公平なルーレットで勝っている人を見せてください。そうしたら、私はただ運が良くて、おそらく全額を失う人を見せます。ルーレットで巧みに勝つには、偏ったホイールを利用したり、ホイールのクロックを測ったりといったアドバンテージプレーをするしかありません。

カジノは勝つためにそのような戦術に頼る必要はありません。さらに、カジノはプログレッシブベッターを恐れる必要もありません。ほとんどの場合、プログレッシブベッターが勝ちますが、バンクロールの上限に達した少数のベッターは、すべての勝者分を支払い、さらにカジノに利益をもたらします。さらに、意図的にボールを特定のセクションにスピンさせるには、かなりの技術が必要です。私は、それが目立った精度で可能だとは考えていません。

お褒めいただきありがとうございます。まず、イーブンマネーベットの標準偏差は0.998614、シングルナンバーベットの標準偏差は5.762617です。イーブンマネーベットをフラットベットで1回、100回、10000回のスピンで勝ち越す確率は、それぞれ0.473684、0.265023、0.00000007です。シングルナンバーベットをフラットベットで1回、100回、10000回のスピンで勝ち越す確率は、それぞれ0.0263158、0.491567、0.18053280です。あなたは、シングルナンバーベットの方が複数回のスピンで勝ち越す確率が高いため、より良いと主張しようとしているようですが、これは事実です。しかし、大きな損失を被る可能性もはるかに高くなります。1回のセッションを通して、予想される結果は常にベルカーブ上のどこかに収まります。赤や黒のような低ボラティリティの賭けでは、ベルカーブは急峻で、少額の損失から大きく外れることはほとんどありません。一方、シングルナンバーのような高ボラティリティの賭けでは、ベルカーブは広くなり、良い結果も悪い結果も含め、最終的な結果の幅がはるかに広くなります。

彼はただ運が良かっただけだ。何千回も言ってきたように、どんな賭けシステムも時の試練に耐えられるものではない。

マーチンゲールはすべてのゲームにおいて危険な存在で、長期的に見れば決して勝つことはありません。ただし、ハウスエッジが低いという理由によってルーレットよりもバカラで使用することをお勧めします。プレイヤーが8回連続で勝つ確率は286で0.493163 ^ 8 = 1で、シリーズの後半で手を勝ち取るとコミッションのために遅れをとる可能性があることにも注意してください。例えば1ドルの賭けから始めて7回目の手で勝った場合には60.80ドル（64ドル* 95％）を獲得します。しかしこれでは以前の負けの63ドルはカバーできません。

必ずしもそうではありません。3ユニット獲得する確率は12/38、損益ゼロになる確率は12/38、3ユニット失う確率は14/38です。期待値は[(12/38)*3 + (12/38)*0 + (14/38)*-3]/3 = (-6/38)/3 = -2/38 = -5.26%です。これは、恐ろしい5つの数字の組み合わせ（0/00/1/2/3）を避ければ、どのような組み合わせでも当てはまります。1スピンのみプレイし、勝率を最大化したい場合は、35の数字に均等に賭けます。1ユニット獲得する確率は92.11%、35ユニット失う確率は7.89%です。

7500回のスピン？それだけですか？積極的に賭ければ、7500回のスピンで賭け金総額の7.94%の利益を出すことは誰でも可能です。15000回のスピンでも同じことが言えます。ほとんどのシステムは、小さな勝ちをたくさん経験し、大きな負けを少し経験するように設計されています。巨額の資金を必要とするシステムでも、15000回のスピンで簡単に利益を出すことができます。しかし、いずれは損失が発生し、時間の経過に耐えられなくなります。大きな損失は、最初の頃に発生することもあります。システムを真にテストする真の方法は、何十億回もの試行を繰り返すことです。これらのシステムに対する私の意見は、他のすべてのシステムと同じです。つまり、価値がないということです。あなたが試してみることには何の問題もありませんが、それを販売している人たちの懐に10セントでも入れることには問題があります。

注: この質問の続きは次のコラムでご覧ください。

目標と資金は同じですが、オプションBの方が成功確率が高いというのはその通りです。その理由は、オプションBの平均賭け金が少ないため、ハウスエッジの影響を受けにくくなり、勝率が高くなるからです。オプションAの賭け金は常に500ドルです。オプションBの平均賭け金は、(12/37)*125 + (25/37)*(12/37)*(125+187.5)+ (25/37)*(25/37)*(125+187.5+187.5) = 337.29です。

ベガスチャレンジに参加していた時、残り数分で資金が約8,000ドルあり、少なくとも24,000ドルまで増やす必要がありました。そこで、資金を2,000ドルずつ4つの山に分け、それぞれ4つの数字の組み合わせに賭けました。4つの数字の組み合わせはそれぞれ22,000ドルの配当でした。こうすることで、賭け金の全額をハウスエッジにさらす必要がなくなり、勝率を高めることができました。

私は賭けの価値を、勝つ確率ではなく期待収益で測ります。つまり、38個の数字すべてに賭けた場合のハウスエッジは2/38 = 5.26%で、1つの数字に賭けた場合も、任意の数の数字に賭けた場合も同じです。38個の数字すべてに賭けても、純利益が出る確率は0%ですが、そのデメリットは、賭け金全体のわずか5.26%しか失わないことです。もし賭けざるを得ず、変動を最小限に抑えたい場合は、38個の数字すべてに賭けるべきです。具体的な例としては、プロモーションチップを賭けなければならない場合、そこから正確な期待値を引き出すためにギャンブルをしたくないでしょう。つまり、あなたの質問に答えるとすれば、数字の最適な範囲というものは存在しません。すべての範囲の期待値は等しくなります。

まず、この男性はばかであると言わせてください。彼は2つのゼロと5.26％のハウスエッジを持つ通常のアメリカンルーレットホイールに138,000ドルを賭けました。これは7,263ドルの予想損失に相当します。しかしベラージオ、ミラージュ、アラジンまで10分の乗車をした場合、ボールがゼロに落ちた場合に半分の均等な賭け金を返すというヨーロッパの規則に従ってシングルゼロホイールに賭けることができたはずです。彼はとにかく均等なお金の賭けをすることを計画していましたが、完全なヨーロッパのルールを持つこれらのホイールでのハウスエッジはわずか1.35％であり、予想損失はわずか1865ドルでした。

あなたの質問に答えますが、もしマネータイプの賭けを1つだけすることを余儀なくされたならば、私はバカラで1.06％のハウスエッジのバンカーベットを選ぶでしょう。

破産リスクに関する質問は数学的に複雑です。単純な勝ち負けゲームでない限り、コンピューターでランダムシミュレーションを行うことをお勧めします。

アトランティックシティにはシングルゼロのホイールがたくさんあります。ほとんどのカジノで設置されていますが、最低賭け金は25ドルです。

1. いいえ
2. Casino on Netではシングルゼロホイールが使用されています。つまり、16回連続でゼロが出る確率は (25/37) ¹⁶ = 0.1887% です。
3. （25/37） ¹⁷ = 0.1275％。

ダブルゼロ ルーレット ゲームで 10 回のスピンで任意の数字がちょうど 5 回出現する確率は、38 * combin (10,5) * (1/38) ⁵ * (37/38) ⁵ = 359275 分の 1 でほぼ近似できます。

ありがとうございます。ご指摘の通りです。通常のルールでは、6対5ブラックジャックのハウスエッジは1.44%ですが、ダブルゼロルーレットは5.26%です。これは3.7倍も悪いのです。しかし、長年の経験から学んだのは、ハウスエッジがどれほど低くても、プレイヤーに好きなゲームをやめてもらうのはほぼ不可能だということです。ですから、私にできる最善のことは、プレイヤーが好むゲームのプレイ方法をアドバイスすることです。ブラックジャックプレイヤーにとって、3対2のゲームは今でも豊富にあります。6対5でプレイすることは、カジノに何の理由もなく0.8%のアドバンテージを与えることになります。また、ルーレットプレイヤーであれば、シングルゼロルーレットを探すことが重要だと強調しておきます。ですから、矛盾は見当たりません。

ルーレットには通常、最低賭け金が2つあります。例えば、アウトサイドベットは5ドル、インサイドベットは1ドルです。アウトサイドベットとは、イーブンマネーベット、コラムベット、ダースベットのことです。インサイドベットとは、2、3、4、5、6のグループを含む数字へのベットのことです。この場合、アウトサイドベットの最低賭け金は5ドル、インサイドベットの最低賭け金は1ドルです。ただし、インサイドベットには合計で少なくとも5ドルを賭けるか、全く賭けないという条件があります。

私も賛成です。もしそれが可能であれば、ディーラーはプレイヤーと共謀して利益を分け合うのが簡単でしょう。しかし、実際にそのようなことが起こったという話は聞いたことがありません。良いテストとしては、ロールに影響を与えられると主張する人を呼び、100回スピンして、特定のホイールの半分にできるだけ多くスピンを当てさせてみることです。成功回数が多ければ多いほど、その主張の重みは増します。下の表は、50回から70回のスピンが成功する確率を示しています。例えば、60回以上成功する確率は2.8444%です。統計学における一般的な信頼度の閾値は、90%、95%、99%です。ランダムスピンで失敗する確率が90%である90%信頼度テストに勝つには、成功するスピンの数が57以上である必要があります。95%テストに勝つには、成功するスピンの数が59以上、99%テストでは成功するスピンの数が63以上である必要があります。

ルーレットスピンが少なくとも50～70回成功する確率

勝利	確率
70	0.000039
69	0.000092
68	0.000204
67	0.000437
66	0.000895
65	0.001759
64	0.003319
63	0.006016
62	0.010489
61	0.0176
60	0.028444
59	0.044313
58	0.066605
57	0.096674
56	0.135627
55	0.184101
54	0.242059
53	0.30865
52	0.382177
51	0.460205
50	0.539795

そのゲームを探そうとしたのですが、確認した時点でサイトがダウンしていました。しかし、仮にそのようなゲームが存在すると仮定すると、答えは「ノー」です。長期的に見て、どんなシステムもそのゲームに勝つことも負けることも期待できません。あらゆるシステムの期待値はゼロに等しいのです。

最初の数字が何であっても、2番目のスピンのみが一致する確率は(1/37)*(36/37)です。3番目のスピンのみが一致する確率は(36/37)*(1/37)です。どちらのスピンも一致しないが、2番目と3番目のスピンが一致する確率は(36/37)*(1/37)です。2番目と3番目のスピンの両方が一致する確率は(1/37)*(1/37)です。これらをすべて合計すると、3*(1/37)*(36/37)+(1/37)*(1/37) = 7.962%となります。

調べてみるためにアカウント登録しようとしたのですが、アメリカのプレイヤーはブロックされています。最低ベット額は2ポンド、最高ベット額は50ポンドだと言われました。ノーゼロルーレットのようなハウスエッジゼロのゲームでさえ、0%の数字を上回ったり下回ったりするベッティングシステムは存在しません。何をしても、賭ければ賭けるほど、実際のハウスエッジは0%に近づいていきます。

かつて彼に関するテレビ番組を見たことがありますが、彼の行動には感銘を受けました。私が「システム」と定義するのは、マーチンゲール法のような賭けパターンを、ハウスアドバンテージのあるゲーム、例えば公正なルーレットに適用することです。ゴンサロ・ガルシア＝ペラヨが成功したのは、ボールが各数字に落ちる頻度を調査し、偏ったルーレットホイールを見つけ出し、それを利用しようとしたことです。これはシステムではなく、戦略と呼ぶべきでしょう。カジノに勝つための有益な戦略は数多くありますが、利益を生む賭けシステムはゼロです。

いいえ。

温かいお言葉ありがとうございます。以前にもお答えしたことがあると思いますが、ハウスエッジがゼロであっても、長期的に見て勝てるベッティングシステムは存在しません。

この主張を耳にしたのは今回が初めてではなく、私自身も非常に懐疑的です。ディーラーの多くは、ブラックジャックで三塁手が下手だと他のプレイヤーが負けるといった迷信を信じているため、全体としてはそれほど懐疑的とは言えません。私の考えでは、彼らはスピンコントロールに成功した時のことは覚えているものの、失敗した時のことは都合よく忘れているのです。三塁手がディーラーのバストカードを取った時のことは覚えているのに、テーブルを救った時のことは忘れてしまうのと同じです。

もしディーラーが本当にそんなことができたら、共犯者に賭けさせて勝たせ、他のプレイヤーを負けさせて埋め合わせをするのは簡単でしょう。適切なスピン手順に従い、共犯者と公の場で一緒にいない限り、すべて完全に合法的に見えるはずです。しかし、実際にこんなことが起きているという話は聞いたことがありません。信じる人たちは、そんなことをする人たちはただ目立たないようにしているだけだと言うでしょうが、それは価値のない賭けシステムを信じる人たちも同じことを言います。もしあなたが働いているルーレットディーラーが言うほど簡単だったら、結果として不正行為の問題が蔓延するでしょう。

任意の数字がヒットしない確率は (37/38) ²⁰⁰ = 0.48% です。

数字が 38 個ある場合、そのうちの 1 つも当たらない確率は 38 × (37/38) ²⁰⁰ = 18.34% であると誤って言う可能性があります。

これが間違っている理由は、2つの数字が当たらないことを二重にカウントしているからです。そのため、これらの確率を差し引く必要があります。38個の数字のうち、2つの数字の組み合わせは(38,2) = 703通りあります。与えられた2つの数字のうち、当たらないことの確率は(36/38) ²⁰⁰ = 0.000020127です。両方の数字が当たらないことの確率を差し引く必要があります。つまり、次のようになります。

38×(37/38) ²⁰⁰ - 結合(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ = 16.9255%。

しかし、これで3つの数字が当たらない確率は打ち消されました。任意の3つの数字のグループについて、1つの数字が当たらない確率を3回計算しました。そして、3つの数字のうち2つを選ぶ方法ごとに3回引き算し、3つの数字すべてが当たらない確率を0とします。このようなグループはcombin(38,3)=8,436通りあります。これらを足し合わせると、以下のようになります。

38×(37/38) ²⁰⁰ - combin(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + combin(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ = 16.9862%。

しかし、これで4つの数字が当たらない確率を過剰に数えてしまいました。4つの数字の組み合わせ(38,4)=73,815個は、それぞれ元々4つずつ数えられていました。次に、4つの数字のうち2つが当たる組み合わせ(4,2)=6個をそれぞれ減算しました。そして、4つの数字のうち3つが当たる組み合わせ(4,2)=6個をそれぞれ加算しました。つまり、4つの数字の組み合わせはそれぞれ、4 − 6 + 4 = 2回数えられたことになります。この重複分を調整するには、各グループについて減算する必要があります。これらを減算すると、以下のようになります。

38×(37/38) ²⁰⁰ - combin(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + combin(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ - combin(38,4)×(34/38) ²⁰⁰ = 16.9845%。

このプロセスを続けると、37個の数字が外れるまで、足し算と引き算を交互に繰り返していきます。したがって、少なくとも1つの数字が外れない確率は次のようになります。

i=1から37までの合計[(-1) ⁽ⁱ⁺¹⁾ × combin(38,i) × ((38-i)/38) ³⁸ ] = 16.9845715651245%

以下は、このような 200 スピン実験を 126,900,000 回ランダムにシミュレーションした結果です。

少なくとも 1 つの数字がヒットしなかった回数の比率は 0.169833 でした。

残念ながら、無知は大きな影響力を持つことがあります。専門家がゆっくりとした回転でホイールのタイムを測れることに異論はありません。しかし、その点はさておき、ディーラーを変えてもオッズは変わりません。幸運なディーラーや不運なディーラーなど存在しないのです。迷信はなかなか捨てがたいものです。何度も言ってきたように、馬鹿げた信念であればあるほど、根強く信じ続けられる傾向があるのです。

私の用語が正しければ、「ホイールをクロッキングする」とは、ボールの速度、位置、ホイールの速度から判断して、ボールがどこに落ちるかを予測することを意味します。あなたがやっていることは、偏りのあるホイールを悪用しているように聞こえますが、これは別のアドバンテージプレイです。話が逸れているなら、3つ目のアドバンテージプレイは「ディーラーシグネチャー」を悪用することです。これは、ディーラーが非常に安定しているため、ボールとホイールの速度が毎回ほぼ同じである状況です。これにより、プレイヤーはボールの位置と過去の結果に基づいて、ボールがどこに落ちるかを予測できます。

ご質問にお答えすると、期待される当選回数は8672/37=234.38回です。分散は8672×(1/37)×(36/37)=228.04です。標準偏差は分散の平方根で、15.10です。予想よりも278-234.38=43.62回多く当選しました。つまり、(43.62-0.5)/15.10=2.8556標準偏差です。0.5を差し引く理由は説明が難しいですが、連続関数を用いて離散関数を推定する際の調整係数だと言えるでしょう。ガウス近似を用いると、期待される当選回数以上当選する確率は0.21%です。つまり、偏りのあるホイールを見つけた可能性が高いと言えます。しかし、それが単なる幸運だった可能性は 466 分の 1 残っています。

彼がプレイヤーに賭けた場合の数学式の方がより簡単にいきます。私はmathproblems.infoサイトのルーレットで同様の問題を解決しています。問題番号116です。イーブンマネーベットでも、一般式は((q/p)b-1)/((q/p)g-1)で、以下の状況によって異なります：

b = 単位でバンクロールを始める。
p = 引き分けを数えずに賭けに勝つ確率。
q = 引き分けを数えずに賭けに負ける確率。

ここでは、プレイヤーは1200万ドル、つまり200,000ドルの60ユニットから始まって120ユニットに達するかバストになるまでプレイします。したがって、プレイヤーベットの場合の方程式の値は次のようになります：

b = 60
g = 120
p = 0.493175
q = 0.506825

したがって、その答えは((0.506825/0.493175)60-1)/(( 0.506825/0.493175)120-1) = 16.27%です。

5％のコミッションがあるためバンカーの賭けでははるかに複雑になります。その結果、プレイヤーがゴールをオーバーシュートする可能性が明確になり、勝ちベットでプレイヤーが目標を達成する場合に正確に1,200万ドルに達するために必要なものだけを賭けることができるというルールを追加すると、勝利の確率は21.66％と推定されます。

バンクロールが2倍になる確率のより簡単な式は1/[1+(q/p)b].です。

この質問は、私のコンパニオンサイトである Wizard of Vegas のフォーラムにて提起および議論されました。

最初の試行を数えると、平均値は 8.408797、中央値は 8、最頻値は 7 であることがわかります。

2 つの数字が重複しない確率は 37/38 = 97.37% です。

3つの数字が重複しない確率は、(37/38)×(36/38) = 92.24%です。

4つの数字が重複せずに出る確率は、(37/38)×(36/38)×(35/38) = 84.96%です。

このパターンに従うと、8 つの数字が繰り返されない確率は (37/38)×(36/38)×(35/38)×...×(31/38) = 45.35% になります。

したがって、8 つの数字が繰り返される確率は、100% - 45.35% = 54.65% となります。

おそらくほとんどの人は、8つの数字の中で同じ数字が繰り返される確率はそれよりも低いだろうと推測するでしょう。もし数学が苦手な友達を騙すのが厭わないのであれば、少なくとも1つの数字が繰り返されるには8つ以下の数字が必要だという賭けを提案してみましょう。つまり、あなたは8つ以下に賭け、友達は9つ以上に賭けることになります。もし友達が躊躇したら、7つ以上に賭けることを提案しましょう。この場合、勝つ確率は55.59%です。つまり、中央値8をカバーする方が勝つ可能性が高いということです。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

いいえ、彼は正しくありません。アンディのシングルベット戦略の確率は1/38 = 2.6316%です。

試行錯誤の末、私は「ヘイル メアリー」ルーレット戦略を考案しました。この戦略により、30 ドルを 1,000 ドルにする確率が 2.8074% に上がります。

ウィザードのルーレット「ヘイルメリー」戦略:

この戦略では、賭け金は1ドル単位で設定する必要があります。すべての賭け金の計算において、端数は切り捨てとなります。

させて：
b = あなたの資金
g = あなたの目標

1. 2*b >=g の場合、任意のイーブンマネーベットに (gb) を賭けます。
2. それ以外の場合、3*b >=g であれば、任意の列に (gb)/2 を賭けます。
3. それ以外の場合、6*b >=g の場合は、任意の 6 行 (6 つの数字) に (gb)/5 を賭けます。
4. それ以外の場合、9*b >=g の場合は、任意のコーナー（4 つの数字）に (gb)/8 を賭けます。
5. それ以外の場合、12*b >=g の場合は、任意のストリート（3 つの数字）に (gb)/11 を賭けます。
6. それ以外の場合、18*b >=g の場合は、任意のスプリット（2 つの数字）に (gb)/17 を賭けます。
7. それ以外の場合は、任意の 1 つの数字に (gb)/35 を賭けます。

言い換えれば、可能であれば、目標額を超えずに、1回の賭けで常に目標に到達するように努めましょう。複数の方法がある場合は、勝率が最も高い方法を選びましょう。

他のゲームはどうなの？と疑問に思う人もいるかもしれません。ディスカバリーチャンネルのナレーターによると、「カジノで一攫千金を狙うならルーレットが一番だというのは誰もが認めるところだ」とのことです。しかし、私はそうは思いません。一般的なゲームとルールに限っても、クラップスの方が面白いと思います。特に、ドントパスに賭けてオッズに賭けるスタイルが気に入っています。

クラップスにおける私のヘイルメリー戦略（後述）に従うと、30ドルを1,000ドルにする確率は2.9244%です。これは、プレイヤーがポイントに関わらず6倍のオッズを賭けることができると仮定した場合です（3倍、4倍、5倍のオッズが認められている場合）。この成功確率は、ルーレットにおける私のヘイルメリー戦略よりも0.117%高く、アンディ・ブロックの戦略よりも0.2928%高くなります。

アンディは、私の上記の議論は最低ベット額が1ドルという前提に基づいていると反論するかもしれません。ラスベガスのライブディーラーゲームでは、そのような条件はなかなか見つかりません。そう言われるかもしれないと思い、私は両方のゲームを最低ベット額を5ドル、5ドル単位でベットするという前提でプレイしました。その場合、私のヘイルメリー戦略を用いた場合の勝率は、ルーレットでは2.753%、クラップスでは2.891%です。どちらの場合も、アンディ・ブロックの戦略を用いた場合の勝率2.632%を上回っています。

公平に言えば、ディスカバリーチャンネルが上記の狂気じみた暴言を放送することは決してなかったでしょう。きっと大衆に理解できるシンプルなものを探していたのでしょう。アンディは彼らが聞きたいことを教えてくれたに違いありません。彼のアドバイスの基本的な前提は、特定の目標を達成したいのであれば、ハウスエッジに何度も賭けて苦しむよりも、ヒットアンドラン戦略の方がはるかに優れているということです。これは間違いなく真実であり、私が17年間ずっと説き続けてきたことです。

クラップスにおけるウィザードの「ヘイル メリー」戦略。

この戦略では、賭け金は1ドル単位で、勝利金は最も近いドルに切り捨てられることを前提としています。賭け金を計算する際は、目標額を超えてしまうほどの金額を賭けないようにしてください。また、切り捨てられるような金額を賭けることも避けてください。

させて：
b = あなたの資金
g = あなたの目標

1. パスしない場合は、max($1,min(b/7,(gb)/6)) を賭けます。
2. ポイントが出た時に、フルオッズベットできる資金があれば、フルオッズを賭けましょう。そうでなければ、賭けられる金額を賭けましょう。

だから、アンディとディスカバリーチャンネルが喜んでくれることを願っている。彼らの考えが間違っていることを証明するために、何日もシミュレーションを繰り返してきたんだ。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されました。

一般的な式は次のとおりです。

Pr(ボールが 1 に着地) + Pr(ボールが 2 に着地) + Pr(ボールが 3 に着地) - Pr(ボールが 1 と 2 に着地) - Pr(ボールが 1 と 3 に着地) - Pr(ボールが 2 と 3 に着地) + Pr(ボールが 1、2、3 に着地)。

ダブルゼロルーレットでは、スピン回数 n の場合、3*(1-(37/38)^n)-3*(1-(36/38)^n)+(1-(35/38)^n) になります。

次の表は、シングルゼロおよびダブルゼロ ルーレットで 3 から 100 までのさまざまなスピン回数で 3 つの数字すべてが出る確率を示しています。

0と00が当たる確率はそれぞれ1/36です。もしこれらの結果に賭けた場合、通常の35倍の配当が得られるとすれば、ハウスエッジはちょうど0%になります。

他の数字が当たる確率は(34/36)*(1/36) = 2.62%です。これを、従来のダブルゼロルーレットの1/38=2.63%と比較してみてください。1から36までの数字に賭けた場合のハウスエッジは5.56%です。これを、従来のダブルゼロルーレットの5.26%と比較してみてください。このゲームでは、ゼロとダブルゼロだけに賭けることをお勧めします。

これらのルールと支払いについて確認または否定できる方がいらっしゃいましたら、お知らせください。

以下のグラフは、ホイールの結果を順番に表示しています。青い線があなたの結果です。赤い線は、5.26%のハウスエッジを克服するために必要な数字、207.11です。

この分布に対するカイ二乗検定では、統計量は68.1、自由度は37となります。この値以上に歪んだ結果が出る確率は725分の1です。

カイ二乗検定は結果の順序を考慮していないため、この状況に最適な検定法ではないと思いますが、これより良い検定法を知りません。コルモゴロフ・スミルノフ検定を提案する人もいますが、私は適切ではないと思います。他に適切な検定法があれば、ぜひ教えてください。

5番の周りの3つの数字のアークに賭けていた場合、記録したスピン数で10.57%の利益があったと言えます。しかし、7つの数字のアークに賭けた場合、その利益は2.84%に低下します。

分かりやすい英語で答えざるを得ないなら、ホイールにはバイアスがあるという証拠はあるものの、合理的な疑いの余地がないほどの証明ではない、と言いたいところです。しかし、そのバイアスだけでは、ハウスエッジを十分かつ確実に克服するには不十分でしょう。カジノがテーブル間でホイールを交換していないと仮定すると、多額のお金を賭ける前に、より多くのデータを収集する必要があると思います。この回答が曖昧で申し訳ありません。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

平均値を求めるのはずっと簡単なので、まずはそこから始めましょう。ステップごとに見ていきましょう。

• 最初のスピンは間違いなく新しい数字になります。
• 2回目のスピンで新しい数字が出る確率は36/37です。ある事象の確率がpの場合、その事象が発生するまでの期待試行回数は1/pです。この場合、2番目の数字が出るまでの期待試行回数は37/36 = 1.0278です。
• 2つの数字が観測された後、次のスピンで新しい数字が出る確率は35/37です。したがって、2番目の数字の後に3番目の数字が出るまでのスピンの期待値は37/35 = 1.0571です。
• この論理に従うと、すべての数字が表示されるまでの平均スピン数は、1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690 になります。

中央値ははるかに複雑です。ランダムシミュレーションではなく、正確な答えを見つけるには、多くの行列代数を使用する必要があります。同様の問題の解決方法については、他のAsk the Wizardの質問で既に説明しているので、ここでは詳細を改めて説明しません。似たような質問の一例として、 Ask the Wizard #311で説明した、6-6ペアを3回連続でホールインする問題があります。145回のスピンですべての数字が出る確率は0.49161779、146回のスピンでは0.501522154です。したがって、中央値は146です。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

18個の黒の数字を38個の合計数字で割った赤と同じでダブルゼロホイールで47.37％です。

それは本当ですが、大きな問題ではありません。これは20個の赤の後に黒が続く確率と同じだからです。ルーレットのような独立したトライアルのゲームでは、過去は関係ありません。

これはおそらく、全てのベッティングシステムの中で最も人気があるマーチンゲールとして知られていいます。ギャンブラーは太古の昔からそれを思いついて使用してきました。全てのベッティングシステムと同様に、それはハウスのメリットを打ち負かすだけでなく、それをへこませることさえしません。その理由は、ギャンブラーが最終的に悪いロスストリークを持っており、バンクロールが次のダブルを作るのに十分ではないからです。

これは、反マーチンゲールとして知られており同様に価値がありません。あなたのバンクロールが何にも壊されない時間は、あなたがあなたの目標を達成したときの賞金を上回ります。使用するベッティングシステムに関係ない、またはまったく使用しない場合でもプレイすればするほどダブルゼロルーレットでのお金の損失とベット比率は5.26％に近づきます。

[ネタバレ] 答えは 3872789/118098 =~ 32.79301089 スピンです。[/spoiler]

これが私の解決策です（PDF）。

「三分の一の法則」によれば、ルーレットホイール上の数字ごとに 1 回スピンすると、約 3 分の 1 の数字は決して出ないことになります。

1/3というのはかなり不正確な推定値です。もっと正確な推定値は1/e =~ 36.79%です。ダブルゼロルーレットの真の確率は36.30%です。

次の表は、ダブルゼロルーレットを 38 回スピンしたときに 1 ～ 38 個の異なる数字が観測される確率を示しています。

表によると、最も可能性が高いのは24個の異なる数字で、その確率は20.49%です。平均は24.20656478です。

一部のインチキ賭博師は、最初の9つの異なる結果を観察し、それらの数字が他の数字よりも発生する可能性が高いという誤った考えに基づいて賭けるべきだと主張しますが、これは全くの誤りです！ホイールとボールには記憶がありません。公平なホイールでは、すべての数字は等しく発生する可能性があり、過去の出来事は関係ありません。