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選手プロップベッティングにおける期待値
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概要
選手プロップスの数学 - 記事2/5
シリーズナビゲーション:
- 第1回：行の背後にある数学を理解する
- 第2条: 選手プロップベッティングにおける期待値（現在地）
- 第3条：プロップスの差異とバンクロール管理
- 第4回：同一ゲーム・パーレイ：相関関係の数学
- 第5回：選手プロップ分析におけるよくある誤解
期待価値の高い機会を特定するための数学
導入
免責事項：この記事は教育目的のみであり、賭けに関するアドバイスではありません。使用されている例は仮説的かつ説明的なものであり、結果を予測したり利益を保証したりすることはできません。期待値を評価する数学的枠組みを説明することを目的としています。
第1回では、ベッティングラインから情報を抽出する方法、つまりオッズを確率に変換する方法、ブックメーカーのホールドを計算する方法、そして公正な確率を特定する方法を学びました。これにより、市場が何を言っているかを知ることができました。
しかし、市場の動向を知るだけでは十分ではありません。情報に基づいた賭けの判断をするためには、より根本的な問いに答える必要があります。 「この賭けは行う価値があるのか？」
この問いへの答えは、期待値（EV）分析によって得られます。期待値とは、不確実性の下でのあらゆる賭け、投資、あるいは意思決定を評価するための、数学的に厳密な方法です。EVは、多くの反復実験における平均として、賭けた1ドルあたりにどれだけの利益または損失が見込まれるかを示します。
この記事では、以下の内容を取り上げます。
- 期待値の数学的な定義と計算
- 過去のデータから真の確率を推定する方法
- サンプルサイズの要件と信頼区間
- 選手のプロップを評価するための完全なフレームワーク
- EV推定におけるよくある間違い
最後に、プロップベットがプラスの期待値を提供するかどうかを判断する方法を理解し、さらに重要なことに、その判断に内在する制限と不確実性を理解するようになります。
期待値：数学的な定義
期待値は、すべての起こり得る結果の加重平均であり、各結果は発生確率によって重み付けされます。
一般式
複数の結果が考えられる賭けの場合:
合計はすべての可能な結果にわたって取られます。i.
バイナリーベットの公式（勝ちか負けか）
ほとんどの選手のプロップベットは二者択一、つまり勝つか負けるかのどちらかです。これらの賭けの場合、計算式は次のように簡略化されます。
通常、賭け金は 1 ドル（または賭けた 1 ドルごとにすべてを表す）で、負けた場合は賭けた金額のすべてを失うため、次のようになります。
P_lose = 1 - P_win なので、次のように書くことができます。
コンポーネントの理解
- P_win:賭けに勝つ真の確率（市場の予想ではなく、あなたの予想）
- 利益:勝った場合に賭けたドルあたりにどれだけの利益が得られるか（小数オッズで表すと: decimal_odds - 1）
- EV > 0:正の期待値 - 何度も繰り返して利益を期待する
- EV = 0:損益分岐点の賭け - どちらにも優位性なし
- EV < 0:負の期待値 - 何度も繰り返すうちに負けることを期待する
実例1：簡単なEV計算
仮想プロップベットの期待値を計算してみましょう。
賭け
プレイヤーA: 25歳以上。-110のオッズで5ポイント
ステップ1：オッズを小数に変換する
第 1 条から、-110 は次のように変換されることがわかります。
つまり、1 ドルを賭けて勝った場合、1.909 ドル (賭けた 1 ドルと利益 0.909 ドル) が返ってきます。
ステップ2：1ドルあたりの利益を決定する
つまり、勝てば賭けた 1 ドルにつき 0.909 ドルの利益が得られます。
ステップ3: 真の確率を推定する
これが重要なステップです。プレイヤーAのパフォーマンスを分析し、（後ほど説明する方法を用いて）25.5点以上を獲得する真の確率が55%であると判定したとします。
ステップ4：期待値を計算する
解釈
これらの仮定に基づくと、この賭けの期待値は賭け金1ドルあたり+0.05ドル、つまり投資収益率5%となります。このような賭けを100回行うと、賭け金1ドルにつき5ドルの利益が期待できます（合計利益：賭け金100ドルに対して5ドル）。
重要な注意点：この計算は、確率推定値に基づいてのみ有効です。真の確率推定値が間違っている場合、EV計算も間違っています。次に、確率推定値の作成方法について説明します。
あなたの見積もりと市場
賭けの期待値がプラスになるためには、確率の推定値が市場の確率と正しい方向に異なっている（そしてより正確である）必要があります。
関係
第1記事では、オッズが-110の場合、52.4%の確率（VIGを含む）を意味することを学びました。バランスの取れた双方向市場における公正な確率（VIGを除く）は約50%です。
私たちの例:
- 市場インプライド確率（vigを含む）: 52.4%
- 市場公正確率（推定）: ~50%
- あなたの推定値: 55%
あなたは真の確率は55%だと考えていますが、市場は（VIGを差し引いた後）50%に近いと考えています。この5%の差が、プラスの期待値を生み出すのです。
損益分岐確率
-110 での賭けが損益ゼロ (EV = 0) になる真の確率はどれくらいでしょうか?
-110のオッズで損益分岐点に達するには、真の勝率52.4%が必要です。これはまさに記事1で計算した推定確率です。EVがプラスになるには、推定真の勝率（推定値）が52.4%を超える必要があります。
一般的な損益分岐点の計算式
いかなるオッズでも、損益分岐確率は次のようになります。
これは数学的には第 1 条から暗示される確率と同等です。
過去のデータから真の確率を推定する
EV 分析における最も基本的な課題:真の確率をどのように推定するか?
最も一般的なアプローチは、プレーヤーの過去のパフォーマンスに関する履歴データを使用することです。
ナイーブなアプローチ
プレイヤー A が今シーズン 50 試合に出場し、そのうち 28 試合で 25.5 点以上を獲得したとします。
56%が確率推定値なのでしょうか？ちょっと待ってください。このサンプル割合は出発点ですが、以下の点を考慮する必要があります。
- サンプルサイズの不確実性
- 状況の違い（対戦相手の強さ、ホーム/アウェイ、休息日など）
- 最近の傾向とシーズン全体の平均
- 平均回帰
サンプルサイズと標準誤差
わずか50試合しかないため、56%という推定値にはかなりの不確実性があります。これを割合の標準誤差を用いて定量化します。
ここで、p はサンプルの割合、n はサンプル サイズです。
私たちの例:
標準誤差は7パーセントポイントです。これはかなりの不確実性です。
信頼区間
95% 信頼区間はおおよそ次のようになります。
解釈： 95%の信頼度で、真の確率は42.3%から69.7%の間になります。これは非常に大きな範囲です！下限（42.3%）では、この賭けのEVはひどいものになります。上限（69.7%）では、+EVは莫大なものになります。
この不確実性こそが、確率推定においてサンプル サイズが非常に重要である理由です。
どれくらいのデータが必要ですか?
以下の表は、p = 0.50（不確実性は p = 0.50 で最大になる）と仮定した場合の、さまざまなサンプル サイズの標準誤差と 95% 信頼区間の幅を示しています。
| サンプルサイズ（n） | 標準誤差 | 95% CI 幅 (±) |
|---|---|---|
| 10ゲーム | 15.8% | ±31.0% |
| 25ゲーム | 10.0% | ±19.6% |
| 50ゲーム | 7.1% | ±13.9% |
| 100ゲーム | 5.0% | ±9.8% |
| 200ゲーム | 3.5% | ±6.9% |
| 500ゲーム | 2.2% | ±4.4% |
| 1000ゲーム | 1.6% | ±3.1% |
主な観察事項
- 10試合の場合： 95%信頼区間は±31%となり、確率推定はほとんど役に立たなくなる
- 50試合の場合： 95%信頼区間は±14%で、依然として大きな不確実性がある
- 200試合の場合： 95%信頼区間は±7%で、推定には妥当である。
- 1000試合の場合： 95%信頼区間は±3%で、良好な精度
問題は、ほとんどの選手が単一のコンテキストで200試合以上の試合サンプルを保有していないことです。NBAのシーズンはわずか82試合、NFLのシーズンはわずか17試合です。こうした限られたデータは、確率推定に根本的な不確実性をもたらします。
実例2: 適切な不確実性分析によるEV
サンプルサイズの制限を考慮した、より現実的な例を見てみましょう。
賭け
選手B: リバウンド6.5回以上、+105のオッズ
ステップ1: 履歴データ
選手Bは今シーズン40試合に出場し、そのうち22試合で6.5以上のリバウンドを記録しました。
標準誤差 = √[0.55 × 0.45 / 40] = 0.079 = 7.9%
95% CI = 0.55 ± (1.96 × 0.079) = 0.55 ± 0.155 = [0.395, 0.705]
ステップ2：状況に応じた調整
過去10試合（相手チームのフロントコートが小さい）では、8試合で6.5リバウンド以上（80%）を記録しています。しかし、今夜の対戦相手は強力なリバウンドチームです。リバウンド数トップ10のチームとの対戦では、彼のリバウンド成功率は8試合中3回（37.5%）にとどまっています。
どの見積りを使用すればよいですか?
- シーズン全体: 55% (n=40)
- 過去 10 ゲーム: 80% (n=10、ただしサンプル数は少ない)
- 対リバウンド上位チーム: 37.5% (n=8、非常に小さいサンプル!)
シーズン全体の55%は最も多くのデータを持っていますが、今夜の試合を反映していない可能性があります。リバウンド上位チームのサンプル（37.5%）は最も関連性が高いですが、不確実性が非常に高くなっています（標準誤差 ≈ 17%）。
合理的なアプローチ：サンプル数が多いため、一般的な推定値を重視し、状況に応じて適度に調整します。真の確率を48%と推定します（シーズン平均の55%とタフマッチアップ率37.5%の間）。
ステップ3: EVを計算する
オッズ: +105 → 小数オッズ: 2.05 → 1ドルあたりの利益: 1.05
ステップ4：感度分析
不確実性を考慮して、信頼区間の境界で EV を計算してみましょう。
楽観的なケース（真の確率58％）：
悲観的なケース（真の確率38％）
結論
最善の推定値では、これはわずかにマイナスEV（-1.6%）の賭けだと示唆しています。しかし、不確実性（信頼区間には、プラスEVとマイナスEVの両方のシナリオが含まれている）を考慮すると、これは明確な判断ではありません。保守的なベッターであれば、賭けをパスするでしょう。一方、状況調整が正確であると考える積極的なベッターは、真の確率が50%以上に近いと考えた場合、賭けを続けるかもしれません。
重要な教訓：不確実性は分析の一部です。真の確率を、実際には持っていない精度で知っているふりをしてはいけません。
平均回帰問題
プロップベッティングで最もよくある間違いの 1 つは、平均への回帰を考慮していないことです。
平均回帰とは何ですか?
ある選手が小規模なサンプルで異常に良い（あるいは悪い）パフォーマンスを示した場合、その選手の将来のパフォーマンスは長期的な平均に向かって「回帰」すると予想されます。これは数学的な必然であり、心理学的な現象ではありません。
例
選手Cはキャリア（500試合）を通して平均18得点を記録しています。直近10試合では平均26得点を記録しています。
素朴な分析： 「彼は最近平均 26 ポイントを獲得しているので、今夜はおそらく 24.5 ポイント以上を獲得するでしょう。」
統計的事実：平均26得点は、おそらくランダムな変動によって膨らんでいるでしょう。次の試合では、各サンプルの強さを考慮して、18得点（キャリア平均）から26得点（最近の好調期）の間になると予想しています。
回帰式
単純化された平均回帰式:
ここで、重みw₁とw₂はサンプルサイズに依存します。サンプル数が多いほど重みが大きくなります。
この例では、500 試合のキャリア サンプルを 10 試合の好調な連勝よりもはるかに重視すると、次のようになります。
私たちの予想は19.2得点で、これは彼の最近の好調よりもキャリア平均にかなり近いです。これは、24.5得点以上に賭けるかどうかに大きく影響します。
結論：好調と不調の波は、あなたが思っているほど大きな意味を持ちません。より大きなサンプルサイズ（キャリア平均やシーズン全体のデータ）は、たとえ直近のパフォーマンスが異なっていても、重要な意味を持ちます。この点については、よくある誤解、特にホットハンドの誤謬と平均への回帰について解説する第5回でさらに詳しく取り上げます。
プロップ評価のための完全なフレームワーク
すべてをまとめると、あらゆる選手のプロップを評価するための段階的なフレームワークは次のようになります。
ステップ1：市場情報の抽出
- オッズを暗黙の確率に変換する
- ブックメーカーのホールドを計算する
- 公平な確率を推定する（vigを除去）
- 損益分岐確率を特定する
ステップ2: 履歴データを収集する
- シーズン全体のパフォーマンス: プレーヤーがこのラインを超えた頻度はどれくらいですか?
- サンプル数: ゲーム数は？(多いほど良い)
- 標本比率と標準誤差を計算する
- 推定値の信頼区間を構築する
ステップ3：状況に応じた調整を行う
- 該当カテゴリーにおける対戦相手の強さ
- ホーム vs. アウェイの分割（サンプルサイズが十分な場合）
- 休息日と連戦
- 負傷状況（選手およびチームメイト）
- 最近の傾向（ただしサンプル数が少ないため慎重に評価してください）
ステップ4：確率推定値を作成する
- シーズン全体のデータに重点を置く（大規模なサンプル）
- 強い文脈的要因については適度に調整する
- 連続した平均への回帰を考慮する
- 保守的になる：不確実な場合は、市場の確率に近づける
ステップ5: 期待値を計算する
- 使用する式: EV = (P_win × 利益) - (P_lose × 1)
- 感度分析を実行します。確率が ±5% の場合はどうなるでしょうか?
- 信頼区間を考慮する: 可能なEVの範囲
ステップ6：決定を下す
- EVが明らかにプラスの場合のみ賭ける（例：+3%以上）
- 不確実性が高い限界状況をパスする
- 「予感がする」というだけで賭けてはいけない
- 賭けを追跡し、結果を確認して見積もりを調整します
重要な注意：このフレームワークは利益を保証するものではありません。確率論的に考えるための体系的なアプローチです。完璧な方法論を用いても、変動によって勝ち負けは生じます。目標は、個々の賭けすべてに勝つことではなく、多くの賭けでプラスのEVを達成することです。
EV推定におけるよくある間違い
1. 少数サンプルの過大評価
「彼は過去 5 試合のうち 4 試合でオーバーしているので、今夜もおそらくオーバーするでしょう。」
問題： 5試合というサンプル数は少なすぎる。標準誤差は約22%で、推定値にはほとんど価値がない。4勝1敗という成績は、確率50%のプレイヤーが運に恵まれた結果である可能性が高い。
2. 平均回帰を無視する
「彼の過去10試合の3ポイントシュート成功率は50％。キャリア通算の35％から大きく向上した。明らかに成長している！」
問題：サンプル数が少ないと、一見するとノイズのような傾向が生まれます。怪我からの回復やコーチの交代など、改善の明確な理由がない限り、キャリア平均への回帰を想定すべきです。
3. 誤った精度
「私のモデルに基づくと、確率は正確に 53.7% と推定されます。」
問題：データが限られている状況で、0.1%単位の精度を主張するのはナンセンスです。不確実性はおそらく±5～10%程度です。分析を行う際には、この点を考慮に入れてください。
4. 確証バイアス
「このオーバーは本当に気に入りました。それを裏付ける統計を見つけさせてください。」
問題：どんな立場でも、都合の良い統計データがあればすぐに見つかります。体系的な枠組みを使い、たとえ直感と矛盾する場合でも、それを一貫して守りましょう。
5.相関関係を無視する
「同じゲームから 5 つの異なるプロップをすべて独立して +EV で賭けます!」
問題：同じ試合のプロップベットは相関関係にあります。試合が予想と異なる展開（大差で勝利、低得点など）になった場合、複数のプロップベットが同時に負ける可能性があります。これはポートフォリオリスクを生み出します。これについては第3回で解説します。相関関係の数学的な説明は第4回で詳しく説明します。
6. 結果を追跡しない
「利益は出ていると思うのですが、記録は取っていません。」
問題：データがなければ、確率の推定精度を向上させたり、アプローチがうまく機能しているかどうかを確認したりすることはできません。すべての賭けを記録しましょう：日付、プロップ、オッズ、推定確率、結果、損益。
ほとんどのプロップが -EV である理由（そしてそれは OK）
不快な真実があります。スポーツブックが提供するほとんどの選手プロップは、ベッターにとってマイナスEVです。これは驚くべきことではありません。意図的にそう設計されているのです。
数学が理由を説明する
第1条から、メジャープロップの典型的なホールド率は4～6%、エキゾチックプロップの場合はさらに高いことがわかります。これは次のことを意味します。
公正なオッズ: 市場価格が約50%（手数料控除後）
必要なエッジ: +EVを得るには、真の確率を52.4%以上と見積もる必要があります。
-110の賭けで+EVを得るには、確率推定値が市場の公正な推定値より少なくとも2.4パーセントポイント高くなければなりません。小規模サンプル推定の不確実性（通常±5～10%）を考えると、明確な+EVの状況を見つけることは稀です。
シャープス対市場
プロのベッター（「シャープ」）は、データ、モデル、そして情報収集に膨大なリソースを費やします。市場のクロージングラインは、これらのシャープベッターの集合知とブックメーカーのモデルの組み合わせによって決まります。このコンセンサスを常に打ち破ることは極めて困難です。
価値が存在する可能性のある場所
+EV の機会が存在する場合、その可能性が最も高いのは次の場合です。
- 二次プレイヤー：注意力が低く、モデリングの洗練度が低い
- ニッチな統計：ブックメーカーのデータが少ないエキゾチックなプロップ
- ライブベッティング：ラインが現実に遅れをとる、急速に変化する状況
- 最新情報：負傷情報、ラインナップの変更はまだ織り込まれていない
しかし、これらの市場であっても、ブックメーカーのホールドは通常は高く（10～15%以上）、克服するにはより大きなエッジが必要になります。
まとめ
+EVプロップベットを簡単に見つけられるとは思わないでください。どこでも+EVベットを見つけられるなら、自分の優位性を過大評価している可能性があります。特に市場予想と大きく異なる場合は、自分の予想に疑いを持つようにしましょう。
EVベースのプロップベッティングに関する実践的なアドバイス
1. 自分の強みに集中する
意見があるからといって、ただ賭けるのはやめましょう。市場に対して真の情報力や分析力で優位に立っている場合にのみ賭けましょう。もし他の人と同じデータしか使っていないのであれば、おそらく優位性はないでしょう。
2. 不確実なときは少額を賭ける
確率推定値の信頼区間が広い場合は、賭け金を小さくするか（あるいは賭けない）、推定値に高い信頼度がある場合に限り、大きな賭けを控えましょう。第3回では、最適な賭け金サイズを数学的に決定するケリー基準を用いて、これを定式化します。
3. 専門化する
多くのスポーツやリーグに賭けるのではなく、真の専門知識を養える1つか2つに絞りましょう。すべての試合を観戦し、状況要因を追跡し、統計モデルを構築しましょう。専門化することで、市場にはない優位性を築くことができます。
4. すべてを追跡する
詳細な記録を保管してください:
- 日付と小道具の説明
- オッズと推定確率
- 確率推定の根拠
- 結果（勝ち負け）と利益/損失
- 実際のプレーヤーのパフォーマンス
100回以上のベットを行った後、分析してみましょう。確率の推定値は適切に調整されていますか？55%と推定した場合、プロップベットは55%程度の確率で的中しますか？そうでない場合は、方法論を調整してください。
5. 差異を受け入れる
完璧な +EV 賭けをしたとしても、変動により負けが続くことがあります。勝率60%（素晴らしい！）でも、100回中40回は負けることになります。調子が悪かったからといって、健全なアプローチを放棄してはいけません。第3回では、分散について詳しく説明します。
6. 立ち去るべき時を知る
100 回以上の賭けを注意深く追跡した後でも継続的に損失が出ている場合は、次の 2 つのいずれかが当てはまります。
- 運が悪かった（100回以上の賭けでは可能性は低い）
- 実際には優位性はない（可能性が高い）
自分に正直になりましょう。ほとんどの賭け手は真の優位性を持っていません。それは道徳的な欠陥ではなく、効率的な市場に勝つのが非常に難しいというだけです。
結論
期待値分析は、不確実性の下でのあらゆる賭けを評価するための基本的なツールです。ここで取り上げた主要な概念は以下のとおりです。
- EVの計算式： EV = (P_win × Profit) - (P_lose × 1)。十分な信頼度でEV > 0 となる場合にのみ、賭ける価値があります。
- 真の確率推定:履歴データを開始点として使用しますが、標準誤差と信頼区間を通じてサンプル サイズの制限を考慮します。
- サンプル数は非常に重要です。50試合の場合、不確実性は±14%です。200試合では±7%です。ほとんどの確率推定値は、賭け手が認識しているよりもはるかに大きな不確実性を持っています。
- 平均回帰：好調な時期や不調な時期はノイズであることが多い。特に最近のサンプル数が少ない場合は、長期的なデータに最近のパフォーマンスよりも重点を置く。
- 体系的なフレームワーク:すべてのプロパティに対して一貫したプロセスに従います (市場情報を抽出し、データを収集し、調整を行い、確率を推定し、EV を計算し、決定を下します)。
- ほとんどのプロップベットは-EVです。これは仕様です。ブックメーカーのホールドにより、賭けはランダムに損失を被ります。真の+EVを見つけるには、市場に対する真の優位性が必要です。
まだ触れていない点：賭け金の規模はどうすれば良いでしょうか？たとえ+EVのチャンスを正しく特定できたとしても、賭け金が多すぎる（あるいは少なすぎる）と損失を被る可能性があります。最適な賭け金の規模を決めるには、分散と破産リスクを理解する必要があります。
第3回「プロップベットにおける分散とバンクロール管理」では、ベットサイズの算定方法、選手プロップベットへのケリー基準の適用、破産リスクの計算、そして複数のプロップベットに対するポートフォリオアプローチの構築について解説します。期待値は何を賭けるべきかを示し、バンクロール管理はいくら賭けるべきかを示します。
シリーズナビゲーション
選手プロップスの数学 - 記事2/5
- 第1回：行の背後にある数学を理解する
- 第2回：選手プロップベッティングにおける期待値（現在の記事）
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- 第4回：同一ゲーム・パーレイ：相関関係の数学
- 第5回：選手プロップ分析におけるよくある誤解
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