同一ゲームパーレイ：相関関係の数学

伝統的なパーレー数学（独立イベント）

独立したイベントによる伝統的なパーレーの場合、数学は単純です。個々の確率がp ₁、 p ₂、…、 p ₙであるn個の賭けがある場合、すべての賭けが勝つ確率は、個々の確率の積に等しくなります。

この式は、独立事象に関する確率の基本法則に基づいています。事象Aと事象Bが独立であるとは、事象Aが発生したという事実から、事象Bが発生したかどうかに関する情報が得られない場合を指します（正式には、P(A ∩ B) = P(A) × P(B)）。

例: 伝統的な3レッグパーレー

異なるゲームからの 3 つの賭けをパーレーするとします (独立性を保証します)。

• チームAのスプレッド -110（暗黙の確率 ≈ 52.4%）
• チームBのスプレッド -110 (暗黙の確率 ≈ 52.4%)
• チームCのスプレッド -110 (暗黙の確率 ≈ 52.4%)

暗黙の確率に関する注記：第1条の公式を用いて、アメリカンオッズを確率に変換します。-110のオッズの場合：

合成確率（独立性を仮定）:

公正なオッズの計算:真の確率が 14.4% の場合、公正な支払いオッズは次のように計算されます。

実際の支払い:ほとんどのスポーツブックは、標準の -110 オッズで 3 レグ パーレーに対しておよそ 6 対 1 (+600) を支払います。

スポーツブックの優位性は、公正なオッズよりもわずかに低いオッズを支払うことにあります。この場合、

この控えめなハウスエッジは、従来のパーレーでは一般的です。しかし、この計算は独立性、つまり各結果が他の結果に影響を与えないことを前提としています。同じゲームのパーレーの場合、この仮定は完全に崩れます。

同一ゲームパーレイにおける相関問題

すべての賭けが同じゲームからのものである場合、独立性は破られます。以下の一般的なSGP構成を考えてみましょう。

• チームAが勝利する（-140、推定確率 ≈ 58.3%）
• チームAのクォーターバックが275.5ヤード以上を投げる（-110、暗示的確率≈52.4％）
• ゲーム合計が48.5ポイントを超える（-110、暗示的確率≈52.4％）

これらの結果は正の相関関係にあります。

• チームAが勝った場合、クォーターバックのパフォーマンスは良好である可能性が高い → レグ1とレグ2の間には正の相関関係がある
• クォーターバックが275ヤード以上を投げた場合、その試合ではより多くの得点が見られた可能性が高い → レグ2とレグ3の間には正の相関関係がある
• チームAが、特に大きな差で勝った場合、合計が予想を上回る可能性が高くなります → 第1戦と第3戦の間には正の相関関係があります

独立性公式を使用すると、3 つすべてが同時に発生する実際の確率が大幅に過小評価されることになります。

数学的枠組み

X₁、X₂、X₃をパーレーの各レグを表す2値確率変数（1 = 勝ち、0 = 負け）とします。以下の計算が必要です。

独立後：

相関関係あり:

真の確率は、結果がどのように連動するかを表す(X₁, X₂, X₃)の結合確率分布に依存します。単純に周辺確率を掛け合わせることはできません。依存関係を考慮する必要があります。

このパーレーを適切に価格設定するには、スポーツブックは相関関係を考慮してP(X₁=1, X₂=1, X₃=1)を直接推定する必要があります。この記事の残りの部分では、スポーツブックが用いる手法について考察します。

相関行列：依存性の測定

スポーツブックは過去のデータを用いて相関関係を推定します。賭けの種類の組み合わせ（チームの勝利数とチーム合計、クォーターバックの獲得ヤード数と試合合計など）ごとに、過去の数千試合から経験的相関係数を計算します。

ピアソン相関係数

2 つのバイナリ結果 X と Y (勝ちの場合は 1、負けの場合は 0 としてコード化) の場合、ピアソンの相関係数は次のようになります。

分子は、結合確率が独立性から予測される値とどれだけ異なるかを表します。分母はこの差を正規化し、-1から+1の間の値を生成します。

解釈：

• ρ = +1:完全な正の相関（両方が常に同時に起こる）
• ρ = 0:相関なし（独立したイベント）
• ρ = -1:完全な負の相関（一方が起こると、もう一方は起こらない）
• 典型的なスポーツ賭博の範囲： ρは-0.4から+0.6の間

相関行列の例

以下は、NFLの過去の試合データから得られた仮想的な相関行列です。これらの値はあくまでも一例ですが、スポーツブックが観察するであろう相関関係を代表しています。

このマトリックスは中程度の正の相関を示しています。最も強い相関（0.42）は、クォーターバックのパスヤード数275ヤード以上と試合合計ヤードオーバーの間に見られます。これは直感的に理解しやすいもので、パスヤード数が多い試合は一般的に得点が高いことを示しています。

チームの勝利は、クォーターバックのパフォーマンス（0.35）と試合の勝敗（0.28）の両方と正の相関関係にありますが、これらの相関関係は弱いです。この構造は典型的で、相関関係は存在しますが、どちらかの方向に極端になることは稀です。

重要事項：相関行列は、試合の状況（優勢 vs. 劣勢、ホーム vs. アウェイ、総得点の高い試合 vs. 低い試合など）によって大きく異なります。高度なスポーツブックは、試合状況に応じて別々の行列を作成しています。

SGPの価格設定のためのガウスコピュラ法

スポーツブックが用いる洗練されたアプローチの一つに、ガウスコピュラがあります。これは、個々のベットの周辺確率を維持しながら、結合確率をモデル化します。この手法は、周辺的行動（個々のベットがどれだけの確率で勝つか）と依存構造（ベットがどのように連動して動くか）を分離します。

方法論

1. 正規変数への変換:逆正規累積分布関数 (CDF) を使用して、各バイナリ結果を潜在的な連続正規変数に変換します。
   Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)

   ここで、Φ⁻¹ は逆標準正規 CDF であり、p₁、p₂、p₃ は周辺確率です。

2. 相関構造を適用する: (Z₁, Z₂, Z₃)を相関行列Rを持つ多変量正規分布としてモデル化する:
   (Z₁, Z₂, Z₃) ~ MVN(0, R)

   ここで、R には相関行列からのペアワイズ相関係数が含まれます。

3. 結合確率を計算します。3つの賭けすべてが勝つ確率は次のとおりです。
   P(全員勝利) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)

   ここで、c₁、c₂、c₃は、各賭けが勝てない場合に対応する臨界値です（つまり、cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ)）。

この多変量正規分布の積分は、通常、モンテカルロ シミュレーションまたは数値積分法を使用して計算されます。

実例

先ほどの 3 レッグ パーレーと上記の相関マトリックスを使用すると、次のようになります。

• P(チームAの勝利) = 0.583
• P(QBが275ヤード以上) = 0.524
• P(合計48.5以上) = 0.524

独立後：

相関関係あり（上記の行列でガウスコピュラを使用）:

相関関係は、独立性の仮定と比較して、結合確率を約33%増加させます。これは重要な洞察です。正の相関関係は、独立性から予想されるよりもパーレーの成功率を高めます。つまり、スポーツブックは従来のパーレーよりも低いオッズ（低い配当）を提供しなければならないということです。

実際の確率が 21.2% のときにブックメーカーが従来の 3 レッグ パーレー オッズ (約 +600) を支払う場合、次のようなオファーが出されることになります。

これはスポーツブックにとって壊滅的な結果となるでしょう。（期待値計算の詳細については、記事2をご覧ください。）代わりに、+350を提供するかもしれません。これは以下のようになります。

賭け手は、単一の賭けと同様に、4.6% のハウスエッジに直面することになります。

経験的頻度法

よりシンプルで直接的なアプローチは、特定の賭けの組み合わせが過去のデータでどのくらいの頻度でヒットしたかを数えることです。この方法では、相関関係の形に関する仮定を必要とせず（ガウスコピュラとは異なり）、観測された頻度のみを使用します。

プロセス

1. 比較可能な過去の試合を特定する:現在のシナリオに一致する過去の試合をすべて見つける (同様のポイント スプレッド、同様の合計、同様のチーム 強さ)
2. 結果を記録する：過去の各試合について、各ベットレグが勝ったかどうかを記録する
3. 関節頻度を計算する：すべての脚が一緒に着地する頻度を数える
4. サンプルサイズを調整する:限られたデータを考慮して統計的調整（信頼区間など）を適用する
5. ハウスエッジを追加:希望の利益率を組み込んだオッズに頻度を変換します

計算例

過去の NFL ゲーム 500 件のうち、あるチームが 3 ～ 7 ポイント有利で、ゲーム合計が 45 ～ 51 ポイントだったものは次のとおりです。

独立との比較:

この経験的アプローチは、ガウスコピュラの予測を裏付けています。つまり、相関関係は結合確率を大幅に増加させるということです。スポーツブックは、この20.4%という数字（場合によっては、現在の試合状況に合わせて調整）に基づいてオッズを設定しています。

経験的方法の利点:

• 分布の仮定は不要
• 現実世界の相関関係をそのまま正確に捉える
• 十分な履歴データがあれば簡単に実装できます

デメリット:

• 特定の組み合わせごとに大規模なデータセットが必要
• 新しい組み合わせにはうまく一般化できない
• 珍しい賭け方や珍しいゲーム状況ではノイズが多くなる可能性がある

最も洗練されたスポーツブックは、ハイブリッドアプローチ、つまり、データが豊富な経験的頻度、ギャップを埋めて推定を平滑化するガウスコピュラまたはその他のモデルを使用します。

スポーツブックがSGPオッズを計算する方法：完全なプロセス

スポーツブックが同じ試合のパーレーの価格を決めるために使用する完全なワークフローは次のとおりです。

ステップ1：周辺確率を推定する

各レグについて、真の確率（ヴィゴリッシュ前）を決定します。スポーツブックは、予測モデルとマーケットメイキングアルゴリズムからこれらの確率を導き出します。

• チームAの勝利：真の確率56% → -130で提供（vigで56.5%を暗示）
• QB 275ヤード以上: 真の確率 48% → -110 で提供 (vig で 52.4% を暗示)
• 合計が48.5を超える場合：真の確率52％→-110で提供（vigで52.4％を暗示）

ステップ2: 相関調整を適用する

コピュラ法または経験的頻度法（あるいはその両方）を用いて、真の同時確率を計算します。この例では、分析の結果が以下の通りであると仮定します。

独立性の仮定と比較:

この場合、相関により結合確率が 35% 増加します。

ステップ3：Vigorishを加える

希望するハウス エッジを組み込んだオッズに真の確率を変換します。

この14.9%のハウスエッジは、単一のベットで一般的に発生する4～5%のエッジよりも大幅に高いです。これが、スポーツブックがSGPを積極的に推進する理由の一つです。

ステップ4：標準パーレー配当に丸める

多くのスポーツブックは、操作の簡素化とユーザーエクスペリエンスの向上を目的として、標準的なパーレー単位（+300、+350、+400、+450、+500など）に丸めています。この丸めにより、丸めの方向によって実質的なハウスエッジがわずかに増減する可能性があります。

この場合、+350 はすでに標準の増分なので、追加の丸めは必要ありません。

ステップ5：ダイナミック調整

洗練されたブックでは、次の内容に基づいてリアルタイムの調整も行われます。

• アクションの不均衡:特定の組み合わせに賭けるベッターが多すぎる場合、オッズがさらに短くなる可能性がある
• シャープマネー指標：有名なシャープベッターが特定のSGPを避けている場合、ブックメーカーはより多くのアクションを引き付けるためにわずかに良いオッズを提供する可能性があります。
• 相関関係の不確実性:相関関係を推定することが難しい珍しい組み合わせの場合、ブックは安全のために余分な余裕を加えることが多い。

賭ける人にとっての実際的な意味

SGP の数学を理解すると、いくつかの実用的な結論が導き出されます。

1. SGPは一般的に価値が低い

SGPのハウスエッジは通常、シングルベットの3～5倍です。特定のSGPの価格が誤っていると確信できる理由がない限り、個別にベットするか、パーレーベットを完全に避けた方が賢明です。

2. 相関性の高い組み合わせを避ける

最も「賢い」と感じられる組み合わせ（チーム勝利 + QBオーバー + ゲームオーバー）は、まさにスポーツブックが最も多くのデータと最良のオッズモデルを持っている組み合わせです。ここで価値を見出すことはまずないでしょう。

3. 負の相関関係を考慮する

SGPに賭ける必要がある場合は、ブックメーカーが不釣り合いに高い配当を提示する可能性のある、逆相関の組み合わせを探してください。直感に反するように思えますが、数学的に優れた価値をもたらす可能性があります。

4. サンプルサイズの要件

独自の相関関係の推定値を構築するには、数百、数千もの関連する過去の試合データが必要になります。ほとんどのベッターにとって、これは現実的ではありません。スポーツブックははるかに優れたデータとモデリング能力を持っていることを認識しましょう。

5. 代替戦略：シングルベット

チームAが勝利し、QBがヤード数を超え、試合の合計得点がプラスになると予想した場合、（あなたの意見では）プラスのEVベットが3つあります。それぞれ4～5%のエッジを持つ3つの別々のベットができるのに、なぜ15～25%のハウスエッジを持つSGPにこれらを組み合わせる必要があるのでしょうか？（複数ベットの最適なサイズについては、第3回記事で説明します。）

SGPは、3つの個別ベットに比べて期待値が約7倍高くなります。ただし、どちらの戦略も1つの組み合わせにつきリスクは10ドルです。これは確率推定が正しいことを前提としており、期待値計算に関する第2項に戻ります。