プレイヤープロップの分散とバンクロール管理

プロップベッティングにおける分散の理解

期待値がプラスであっても、短期的な結果は分散によって変動します。勝率60%（スポーツベッティングでは優れた数値）でも、10回のうち4回は負けることを意味します。分散を数学的に理解することで、現実的な期待値を設定するのに役立ちます。

バイナリ結果の標準偏差

選手のプロップは通常、勝つか負けるかの2値の結果となります。勝率pの単一の賭けの場合、結果の標準偏差は次のようになります。

これは、単一の賭けの結果の不確実性を測定します。60%の確率の賭けの場合：

標準偏差は 0.49 で、期待値 0.20 (例えば、+100 のオッズで 60% の勝率で賭ける場合) に比べて実際にはかなり高い値です。

複数の賭けにおける標準偏差

同じ特性を持つ n 回の独立した賭けを行った場合、合計結果の標準偏差は次のようになります。

重要な洞察：標準偏差は賭け回数の平方根に比例して増加します。1回ではなく100回賭けると、標準偏差は√100 = 10倍に増加しますが、期待値は100倍に増加します。これが、有利なギャンブラーが可能な限り+EVベットを多く行おうとする理由です。期待値は不確実性よりも速く増加するからです。

変動係数

相対的な不確実性を測定する変動係数（CV）は、有用な指標です。

ここで、μは期待値です。n回の賭けでは、

CV は√n に比例して減少します。つまり、賭ける回数が増えるほど相対的な不確実性が減少するということです。これは大数の法則の数学的基礎です。十分な繰り返しがあれば、実際の結果は期待値に収束します。

ケリー基準：最適なベットサイズ

1956 年にジョン・ケリーが開発したケリー基準は、破産のリスクを抑制しながら長期的な資金の増加を最大化する最適な賭け金のサイズを決定する数式を提供します。

公式

勝率 p とオッズ b (勝った場合の賭け金 1 ドルあたりの利益) の賭けの場合、賭ける資金の最適な割合は次のようになります。

どこ：

• f* = 賭けるべき資金の最適な割合
• b = 小数オッズ - 1（勝った場合の1ドルあたりの利益）
• p = 勝利の真の確率
• q = 1 - p (負ける確率)

導出（簡略化）

ケリーは、富の期待対数を最大化することでこれを導き出しました。資金Bのf分を賭けると、次のようになります。

• 勝った場合（確率p）：新しい資金 = B(1 + fb)
• 負けた場合（確率q）：新しい資金 = B(1 - f)

期待される対数資産:

最大化するには、f に関して微分し、ゼロに設定します。

f を解くと次のようになります。

この式は、時間の経過とともに資金の幾何学的成長率を最大化します。

フラクショナル・ケリー：保守的なアプローチ

フルケリーベッティングは長期的な成長を最大化しますが、資金の変動が大きくなる可能性があります。多くの本格的なベッターは、成長を遅らせる代わりに、変動を抑えるために部分ケリーベッティングを採用しています。

普通分数

• フルケリー（1.0倍）：最大成長、高分散
• ハーフケリー（0.5倍）：成長率75％、分散50％
• クォーターケリー（0.25倍）：成長率50％、分散25％

分数ケリー検定の式:

フラクショナルケリーを使用する理由

1. 推定誤差：確率推定が間違っている場合、フルケリー検定は積極的すぎる可能性があります。分数ケリー検定は安全域を提供します。
2. ボラティリティの低減: Half Kelly は、成長の大部分を維持しながら、資金の変動を大幅に削減します。
3. 心理的安心感:負けが続いている間は、賭け金が小さい方が継続しやすくなります。
4. 複数の同時ベット:複数のプロップに同時にベットする場合、部分ケリー法によってポートフォリオのリスクが考慮されます。

例: ハーフケリーとフルケリー

先ほどの -110、勝率 55% の例では次のようになります。

1,000ドルの資金の場合:

• フルケリー：1ベットあたり55ドル
• ハーフケリー：1ベットあたり27.50ドル
• クォーターケリー：1ベットあたり13.75ドル

ほとんどのプロの賭け手は、まさにこれらの理由から、クォーター ケリーとハーフ ケリーの間を使用します。

破産リスク：資金の存続を理解する

破産リスクとは、資金が回復する前にゼロ（または最低限の閾値）まで減少する確率です。たとえプラスのEVであっても、あまりにアグレッシブに賭ければ、破産のリスクは常に存在します。

簡略化された式

プラスのEVで繰り返し賭ける場合、破産リスクのおおよその値は、次のようになります。

どこ：

• EV = 賭けごとの期待値（ドル単位）
• N = バンクロールの規模（ドル）
• σ² = 賭けごとの分散

ギャンブラーの破滅の公式（離散）

固定ベットサイズでより正確な計算を行うには、初期バンクロール B とベットサイズ b から始めるとします。

これは、プラスのEV（p > q）を持つギャンブラーの破産の標準的な近似値です。これは、優位性が現れる前に資金をすべて失う確率を推定します。

実例

仮定する：

• 資金: 1,000ドル
• 賭け金：$50（バンクロールの5%）
• 勝率：55％
• オッズ: -110 (勝ち $45.45、負け $50)

破産するまでの負け回数: $1,000 / $50 = 20

5% のケリーサイズの賭け金とプラスの EV であっても、優位性が現れる前に破産する可能性は約 2% あります。

ケリーが破産リスクを最小限に抑える方法

ケリーベッティングの優れた点は、バンクロールに応じてベット額が自動的に調整されることです。バンクロールが増えるとベット額も大きくなり、減るとベット額も小さくなります。この動的な調整により、窮地に陥ることはありません。

真のケリーベッティング（賭け金を継続的に調整する）では、破産リスクは時間の経過とともにゼロに近づきます（ただし、有限の時間内では完全にゼロになることはありません）。これがケリーベッティングが数学的に最適である理由です。ケリーベッティングは、長期的なベッターにとって破産リスクを実質的に排除しながら、成長を最大化します。

ポートフォリオ効果：複数のプロップに賭ける

実際には、一度に1つのプロップベットだけを賭けるのではなく、複数のベットを同時にアクティブにします。これによりポートフォリオ効果が生まれ、最適なベットサイズに影響を与えます。

さまざまなゲームからの独立した小道具

異なる試合（異なるチーム、異なるスポーツ）のプロップベットに賭ける場合、これらの賭けはほぼ独立しています。ポートフォリオ理論によれば、ポートフォリオの分散は次のようになります。

n 個の同一の賭けの場合:

つまり、独立したプロップに4つのケリーサイズのベットを同時に行うと、バンクロールは1回のベットの標準偏差の2倍の影響を受けます。同じリスクレベルを維持するには、各ベットをハーフケリーに減らす必要があります。

独立賭けの一般ルール

平均して n 個の同時独立ベットをアクティブにすることを計画している場合:

例:

• 1回に1ベット → 1.0x ケリー
• 一度に4回賭ける → 0.5xケリー（ハーフケリー）
• 一度に9回賭ける → 0.33x ケリー（3分の1ケリー）
• 1回に16回賭ける → 0.25xケリー（クォーターケリー）

同じゲームからの相関プロップ

第4回で説明したように、同じ試合のプロップベットは相関関係にあります。同じ試合の複数のプロップベットに賭けると、それらが同時に勝敗する可能性が高くなるため、追加のリスクを負うことになります。

相関性のある賭けの場合は、賭け金をさらに減らしてください。大まかな目安は次のとおりです。

• 相関が低い（ρ < 0.2）：独立として扱う
• 中程度の相関（ρ = 0.2-0.5）：賭け金を25～50％減らす
• 高い相関関係（ρ > 0.5）：賭け金を50％以上減らすか、同じゲームへの複数の賭けを避ける

相関ケリー賭けの正確な数学は複雑でこの記事の範囲を超えていますが、原則は明確です。相関関係によりリスクが増大し、より小さな賭けが必要になります。

よくある資金管理の間違い

1. 勝った後に賭けすぎる

「3回連続で勝ちました。賭け金を増やしましょう！」

問題：これはケリー原則に反します。賭け金を増やすのは、バンクロールが増えたときだけであり、好調な連勝を理由にすべきではありません。3勝は運によるもので、実力を証明するものではありません。

2. 負けた後に賭け金を少なくしすぎる

「5回連続で負けてしまったので、回復するまでは少額ずつ賭けたほうがいいと思います。」

問題：もしあなたの優位性が本物であれば、連敗は適正ケリー基準を維持するべき時です。連敗のためにベット額をケリー基準以下に下げると、期待していた成長が損なわれます。（ただし、心理的な安心感を得るために部分ケリー基準まで下げることは許容されます。）

3. 恐怖のお金を使う

「資金が心配なので、プロップごとに 10 ドル賭けます。」

問題：適切な額を賭けるのが怖い場合は、資金が少なすぎるか、実際に優位性がない可能性があります。資金を増やすか、賭けをやめましょう。

4. ポートフォリオ効果を無視する

「私は同時に 10 種類の異なるプロップに 5% のケリーを賭けます。」

問題：実際には、あなたが考えているリスクの√10 ≈ 3.16倍を負っています。このポジションを合わせると、1つのベットに15.8%のケリー・オッズを賭けているようなものです。あまりにもアグレッシブすぎます。

5. 再計算しない

「私は 1,000 ドルから始めて、常にプロップごとに 50 ドルを賭けました。」

問題：バンクロールが$500まで減った場合、$50（現在のバンクロールの10%）を賭けるのは無謀です。バンクロールが$2,000まで増えた場合、$50（2.5%）を賭けるのは保守的すぎます。バンクロールの変化に応じてベット額を調整しましょう。

6. 優位性を過大評価する

「この賭けに勝つ確率は間違いなく60％なので、大金を賭けます。」

問題：第2記事で述べたように、確率推定には不確実性が伴います。実際には53%なのに60%だと「確信」すると、過剰な賭けにつながります。保守的な推定値と部分ケリー基準を活用しましょう。