Wizardに尋ねる #125
コインを投げて賭ける場合のアドバイスはありますか?
はい！私のアドバイスは、コインを投げ始めた時に表向きになっている面に賭けることです。Science News Onlineによると、コインが最初と同じ面に戻る確率は51%です。記事によると、その理由は、投げられたコインが軸の周りを完璧に回転せず、実際には回転していないのに回転しているように見えることがあるためです。この仮説は、コインが手のひらで捕まる場合にのみ当てはまり、コインが跳ね返ることは問題になりません。記事によると、回転するペニーコインは、重い表側が先に落ちるように重力で引っ張られるため、80%の確率で裏で落ちるとのことです。しかし、私はこの説に懐疑的です。私は20回試して、11回は表、9回は裏でした。20回のスピンで裏が9回以下で成功率が80%である確率は、1775分の1です。
ウィザード様 - 数学的に、なぜキャンセルシステムは機能しないのでしょうか？（このシステムには他にも様々な名前があります。念のため補足すると、私が言っているのは、まず数字の列から始めて、外側の数字の合計を賭け、勝った時にそれらをキャンセルするシステムのことです。）どうやら、1/3プラス2倍の賭け金を勝ち取れば、それで勝ちになるようです。ルーレットでは勝率は約45%です。つまり、長期的に見れば勝てるはずなのに、そうならないのはなぜでしょうか？
ほとんどのベッティングシステムと同様に、キャンセルシステムは通常、セッションの勝利につながりますが、時折大きな損失を被ることがあります。キャンセルシステムが失敗すると、結果は最悪の悪夢となる可能性があります。ほとんど負け続けているような状況では、賭け金は幾何学的に増加し始め、カードがうまくいかないとあっという間に資金が枯渇する可能性があります。
Yahtzee ゲームで、カードに Yahtzee だけが残っている場合、それが完成する確率はどれくらいですか?
次の表は、Yahtzee を作成するために必要な追加のサイコロの数に応じて、最後のロールでの成功確率を示しています。
ヤッツィーの最終ロールの確率
| 必要 | 確率 成功の |
| 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 |
| 2 | 0.027778 |
| 3 | 0.00463 |
| 4 | 0.000772 |
次の表は、改善の確率を示しています。左の列は、特定のサイコロを振る前に必要なサイコロの数を示し、上の列は、特定のサイコロを振った後に必要なサイコロの数を示しています。表の中央には、与えられた改善度の確率が示されています。
改善の可能性
| ロール前に必要なもの | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 合計 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.833333 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0.027778 | 0.277778 | 0.694444 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 0.00463 | 0.069444 | 0.37037 | 0.555556 | 0 | 1 |
| 4 | 0.000772 | 0.01929 | 0.192901 | 0.694444 | 0.092593 | 1 |
次の表は、最初のロールで Yahtzee を作成するために 0 ～ 4 個の追加のサイコロが必要になる確率を示しています。
ヤッツィーの初ロールの確率
| 必要 | 確率 |
| 0 | 0.000772 |
| 1 | 0.019290 |
| 2 | 0.192901 |
| 3 | 0.694444 |
| 4 | 0.092593 |
次の表は、1回目のロール後に必要なサイコロの数に応じて、改善の確率と最終的な成功率を示しています。例えば、プレイヤーがヤッツィーを出すのにあと3個のサイコロが必要な場合、2回目のロール後にあと2個必要になり、3回目のロールでヤッツィーを出す確率は0.010288066です。
2回目のロールの前後に必要な数に応じた、1回目のロール後のヤッツィーの確率
| ロール前に必要なもの | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 合計 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.138889 | 0 | 0 | 0 | 0.305556 |
| 2 | 0.027778 | 0.046296 | 0.01929 | 0 | 0 | 0.093364 |
| 3 | 0.00463 | 0.011574 | 0.010288 | 0.002572 | 0 | 0.029064 |
| 4 | 0.000772 | 0.003215 | 0.005358 | 0.003215 | 0.000071 | 0.012631 |
最終的な答えを得るには、2つ上の表で最初のロールを終えた後に必要な数字と、1つ上の表の最終列で最終的に成功する確率の内積を取ります。これは0.092593*0.012631 + 0.694444*0.029064 + 0.192901*0.093364 + 0.019290*0.305556 + 0.000772*1 = 4.6028643%です。これを確認するために、1億回のゲームシミュレーションを実行したところ、シミュレーションの確率は4.60562%でした。
乱数ジェネレータ、仮想リールストップ、物理リールストップについては理解しています。私が理解できず、どこにも情報を見つけられないのは、ゲームが選択されたシンボルの配当をどのように決定するかということです。例えば、IGTの赤、白、青のゲーム番号SS4335では、赤7、白7、青7の最高ジャックポットは、それぞれ仮想リール位置044、043、044、物理リールストップ08、08、08に対応しています。3つのリールにはそれぞれ、赤7、白7、青7、赤バー、白バー、青バー、ブランクの7つのシンボルがあります。つまり、343通りのシンボルの組み合わせになります。SSチップには、すべての可能な組み合わせと配当が記載された表が含まれていないことはわかっています。何らかの方法でインデックスを付ける必要があります。リールの停止位置08、08、08が赤、白、青の7に対応していることをマシンはどうやって認識し、いくらの配当を支払うのかを判断するのでしょうか？この質問に答えていただけると嬉しいです。もし答えられないようでしたら、解説のある記事や書籍があれば教えていただけませんか？
様々な乱数をリールの停止位置に対応付ける「ルックアップ」テーブルがあります。しかし、そこから実際にプレイヤーの勝ち額がどのように決定されるのか、私にはよく分かりませんでした。そこで、元スロットマシン数学者（匿名を条件に）にこの件について尋ねてみたところ、彼はこう答えました。「最初のアイデアは正しいです。各リールストリップの位置は、RNGによって個別に選択されます。その後、コードは各ベットペイライン上のシンボルを調べて、勝ちの結果を判定します。スキャッター賞もこの方法で決定できます。主要なビデオスロットメーカーはすべてこの方法で実装しています。このアルゴリズムは、if-then-elseの一連の大きな流れと見なすことができますが、実際の実装はもう少し複雑になるかもしれません。」お役に立てれば幸いです。
追伸：このコラムが掲載された後、この質問に関する別のメールを受け取りました。かなり長いので、こちらのリンクを貼っておきます。
まず、素晴らしいサイトをありがとうございます。毎回シャッフルされる単一のデッキの場合、カードカウンティングは意味がないのでしょうか？
どういたしまして。褒めていただきありがとうございます。特にテーブルが満席の場合は、まだ多少のメリットはあります。しかし、一般的なシングルデッキルール（ディーラーはソフト17をヒットし、スプリット後はダブルは不可）では、0.19%のハウスエッジを克服するには十分ではないと思います。
フォーカードスタッドでエースを4枚出す確率はどれくらいですか?
1/combin(52,4) = 270725分の1。
ウィザード様、クラップスのプレースベットにおけるハウスアドバンテージの計算方法を教えてください。例えば、4/10プレースベットの配当が9対5なのに、真のオッズが2対1なのに、ハウスアドバンテージが6.67%になるのはなぜでしょうか？どうやって計算しても、6.67%という数字がどうしても出ません。本当に困っています。説明していただけると大変助かります。
私はハウスエッジを1-(pr(win)*payout - pr(lose))と計算することを好みます。この場合、1-((1/3)*1.8 - (2/3)) = 6.67%となります。ただし、公正な配当と実際の配当が分かっている場合は、ハウスエッジの便利な計算式は(fa)/(f+1)です。ここで、fは公正な配当、aは実際の配当です。この場合、(2-1.8)/(2+1) = 0.2/3 = 6.67%となります。
1プレイあたり50ドルでプレイする場合、以下の2つのビデオポーカーゲームのうち、どちらを選びますか？（両方のゲームの支払いスケジュールが同じで、1ハンドあたり最大5コインを賭けると仮定）10ドルのシングルプレイと1ハンドあたり1ドルのテンプレイ。お時間をいただき、ご検討いただきありがとうございます。
数学的には期待リターンは同じです。しかし、私は10プレイを選びます。ボラティリティが低く、より楽しいと思うからです。
素晴らしいサイトをありがとうございます。最近、クラップスのプレイヤーは平均して約8.5回投げるとおっしゃっていましたね。私は普段、フルオッズでパスベットをし、その後フルオッズでカムベットをします。長期的に見て、あと3～4回投げれば7が出る確率を考えると、例えば4回投げたらカムベットをやめた方が良いでしょうか？
どういたしまして。ありがとうございます。サイコロには記憶力がないので、4回投げても7に近づくことはありません。7以外の目を1000回投げても、最初の投げた時と比べて7に近づくことも離れることもありません。カムベットの最適な回数はありません。自分が一番楽しいと思う回数だけ賭けてください。
ヨーロピアン ルーレットを 15 回スピンして、8 つの数字をカバーして 1 つも当たらなかった場合の確率はどれくらいでしょうか。
1回のスピンで負ける確率は1-(8/37) = 78.38%です。つまり、15回のスピンで負ける確率は0.7838 15 = 2.59%です。