Wizardに尋ねる #149
ウィザードさん、フアン・パロンドのパラドックスについて読んだのですが、あなたにも興味があるかもしれないと思いました。2つの負けゲームを交互にプレイすることで、勝ちゲームを作ることができるというものです。とにかく、ゲーム理論家にとって興味深い「手品」だと思いました。あなたのサイト、気に入りました！
個人的にはパロンドのパラドックスの何がそんなに面白いのか分かりませんが、このことについて質問されたのは初めてではないので、私の考えを述べさせてください。要点は、2つの特定の負けゲームを交互に行うことで、プレイヤーが有利になる可能性があるということです。
例えば、ゲーム1では$1の勝ちの確率が49%、$1の負けの確率が51%であるとします。ゲーム2では、プレイヤーの資金が3で割り切れる場合、$1の勝ちの確率は9%、$1の負けの確率は91%です。ゲーム2では、プレイヤーの資金が3で割り切れない場合、$1の勝ちの確率は74%、$1の負けの確率は26%です。
ゲーム 1 の期待値は明らかに 49%*1 + 51%*-1 = -2% です。
ゲーム2では、2つの可能性を単純に加重平均することはできません。これは、ゲームが勝利するとすぐに資金残額が1になり、その後は資金残額が0と2の間を行き来することが多いためです。つまり、資金は9%の勝率でゲームをプレイすることになります。ゲーム2のみをプレイした場合の期待値は-1.74%です。
しかし、ゲーム1とゲーム2をそれぞれ2ゲームずつ交互に行うことで、ゲーム2の交互パターンを崩すことができます。その結果、75%の確率のゲームをより多くプレイし、9%の確率のゲームをより少なくプレイすることになります。2つのゲームを組み合わせる方法は無限にあります。ゲーム1を2ラウンド、ゲーム2を2ラウンドプレイし、それを繰り返す「2&2」戦略では、期待値は0.48%となります。
強調しておきたいのは、カジノにおいてこのシステムは全く実用的価値がないということです。プレイヤーの資金を法としてルールが変わるカジノゲームなどありません。しかし、ルーレットとクラップスを交互に行うパロンドベッティングシステムというインチキ賭博師が現れるのは時間の問題でしょう。もちろん、他のベッティングシステムと同様に価値がないことは間違いありません。
ある事象の「待ち時間」とは、その事象の確率の逆数だと私は理解しています。1つのサイコロを使って2が連続して出るまでの待ち時間を計算したいと考えています。シミュレーションでは平均42回出ます。この待ち時間を、2が連続して出る確率とどのように関連付ければよいでしょうか？
単一の事象において、確率がpであれば平均待ち時間は1/pであることは事実です。しかし、連続する事象の場合は状況はより複雑になります。xを、最後のロールが2でなかった状態とします。これは開始時の状態でもあります。yを、最後のロールが2だった状態とします。最初のロールの後、状態xに留まる確率は5/6、状態yに留まる確率は1/6です。Ex(x)を状態xからのロールの期待値、Ex(y)を状態yからのロールの期待値とします。すると…
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)、そして
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)
これら 2 つの方程式を解くと...
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
例(x) = 36*(7/6) = 42
したがって、2 回連続して 2 が出る場合の平均待ち時間は 42 回です。
私も同じタイプの問題を抱えています。2 回表が出ると予想される回転数だけです。私の数学の問題のサイトで、問題 128 を参照してください。
彼氏は元恋人とメールのやり取りを続けていましたが、彼女が彼との関係に誠実さがないと認めたため、関係を終わらせました。ところが、元恋人の彼女（バイセクシャル）が彼にメールを送り、彼を非難しました。「一度別れようとしたから」という理由で、彼は「仕方なく」連絡を取り続けている、と彼女は言います。元恋人が休日や「ただの理由」でカードを送ったり、たまにテキストメッセージを送ったりしていたにもかかわらず、彼女の意図やこの騒動が明らかになったことに私は不快感を覚えませんでした。しかしある時、彼女の彼女が、私がデートに誘っているふりをして、奇妙な携帯メッセージを残しました。彼は今でも、返信メールは内容が薄く、平凡で、性的な意味はなく、彼女に何の感情も持っていないと主張しています。しかし今夜、私たちが行きつけのクラブで、彼はパニックに陥り、私を友人たちから引き離し、「二人がそこにいるから、私たちも帰らなければならない。みんなに見られたくない」と言いました。私は彼が何かを隠していると言いますが、彼は隠していないと言います。ただ、彼女の彼女はあまりにも不安定なので、人前でどんな突拍子もないことをするか想像もつかない。一体何が起こっているんだ？
別れた後、カップルが友達でいることはほぼ不可能だと私は考えています。せいぜいクリスマスカードのやり取りくらいの関係でしょう。それ以上の関係になると、少なくともどちらかが復縁を考えています。あなたは聞いていませんが、別れるなら思い切って別れて、自分の人生に戻りましょう。もちろん、ここで何が起こっているのか正確には分かりませんが、火のないところに煙は立ちません。非難するだけの証拠はありませんが、疑い続けてください。
地元のカジノがカリビアンスタッドゲームを廃止することになりましたが、MGCの規則により、まずジャックポット全額を支払う必要があります。テーブルのアンティは5ドル、サイドベットはプログレッシブ1ドルです。配当は、フラッシュで150、フルハウスで300、フォーカードで1500、ストレートフラッシュでジャックポット全額（155,000）で、配当は12/1です。私の計算では、サイドベットのプレイヤーエッジはなんと270%にもなりますが、そのほとんどはストレートフラッシュによるものです。下位3つの配当だけを見ると、プレイヤーエッジは8.7%です。これはメインベットのハウスエッジ約5.25%を克服するのに十分でしょうか？この2つのエッジをどのように組み合わせれば良いでしょうか？ストレートフラッシュが完成する可能性があると思えば賭けは勝ちですが、ストレートフラッシュが完成する見込みがないと予想される場合、このゲームをプレイする価値はあるでしょうか？お時間をいただきありがとうございました。
偶然にも、ラスベガスのカジノがカリビアンスタッドゲームを廃止したくて同じことをしていたという話を聞いたことがあります。ストレートフラッシュでジャックポット全額が支払われた場合の期待リターンを計算する一般的な公式は次のとおりです。(((5108*FL+3744*FH+624*FK+40*J)/2598960)-M*0.052243-1)/(M+1)ここで
FL = フラッシュ勝利
FH = フルハウス勝利
FK = フォーオブアカインド
n J = ジャックポット額
M = 最小アンティベット
あなたの場合、(((5108*150+3744*300+624*1500+40*155000)/2598960)-5*0.052243-1)/(5+1) = 36.858%となります。つまり、プレイヤーのアドバンテージは、アンティとサイドベット1ドルの合計の36.858%、つまり1ハンドあたり2.21ドルの利益となります。
あるホテルに1000万室の客室と1000万個の電子キーがあるとします。コンピューターのミスにより、各キーにはランダムなコードがプログラムされており、そのコードが正しい確率は1000万分の1です。ホテルは満室です。有効なキーを持っている宿泊客が少なくとも1人いる確率はどれくらいでしょうか？
正確な答えは、1-(9,999,999/10,000,000) 10,000,000 = 0.632121です。これは小数点以下7桁まで(e-1)/eと同じです。
テキサスホールデムで手札を見せることについて、オフィスで議論が続いているようです。まだベットしているプレイヤーがいるにもかかわらず、フォールドを決めたプレイヤーは手札をテーブルに見せてもいいのでしょうか？何かルールがあるのでしょうか？
これはポーカーのエチケットとして非常に悪い行為です。もしラスベガスでそんなことをしたら、おそらく一度は二度としないように警告されるでしょう。二度目なら、おそらくテーブルから退場させられるでしょう。
機械シャッフルのテーブルで、スリーカードポーカー、カリビアンスタッド、フォーカードポーカーをプレイしています。フォーカードゲームで3枚のカードが頻繁に配られ、カリビアンスタッドでも4枚のカードが配られることに驚いています。これらのシャッフルマシンは、カジノ側に有利になるように事前にプログラムされているのではないかと思います。これらのマシンは本当にランダムなのでしょうか、それともカジノ側に有利になるようにプログラムされているのでしょうか。もしプログラムされているとしたら、それは違法ではないのでしょうか？
シャッフルマシンのメーカーは、少なくともシャッフルを可能な限り公平かつランダムに行うよう努めていると強く信じています。意図的に不正行為を働かせたマシンであれば、ネバダ州法に違反するでしょう。x+1枚のカードで良い手札がx枚揃うのは比較的容易です。例えば、3枚のカードでスリーオブアカインドが揃う確率は0.235%ですが、4枚のカードでは0.922%と、ほぼ4倍になります。
同僚と1年間仲良しで過ごしてきました。彼女のことが頭から離れません。次のステップに進むのに少し躊躇しています。理由は、a) 振られてこの素晴らしい友情を失いたくないし、b) 同僚と付き合うのは、特にうまくいかなかった場合、面倒なことになる可能性があるからです。さて、私が彼女に恋する確率はどれくらいでしょうか？彼女が私に恋する確率はどれくらいでしょうか？
まず、同僚との交際について私の意見を述べさせてください。大賛成です！ただし、社内恋愛を禁じる規則は尊重しません。毎日顔を合わせる相手を制限せずに人と出会うだけでも大変です。しかし、もし相手が同じ上司・同僚であれば、例外を認めるでしょう。今回の場合はそうではないようですので、Bの点は気にしないでいただきたいです。
友達同士であるということは、とても良い兆候です。これはとても中途半端な話かもしれませんが、信頼できる誰かに頼んで、彼女があなたに対してどう思っているのか探ってもらうことはできますか？もしいないなら、彼女と他の同僚を交えて、仕事帰りに夕食を一緒に企画してみてはいかがでしょうか。もっとカジュアルな雰囲気で、できればお酒を少し飲んでいるような雰囲気なら、もっと深く探ることができるかもしれません。自分の気持ちをはっきり伝えるのではなく、少しでも気持ちを盛り上げるためにできることは何でもしてください。もしそうして彼女が同じ気持ちでなかったら、友情は壊れてしまいます。
ご質問にお答えすると、あなたが彼女に恋に落ちる確率は明らかに100%に迫っています。逆のことを言うのは難しいですが、おそらく10%程度でしょう。でも、それで落胆しないでください。彼女にはもう少し時間が必要なだけかもしれません。幸運を祈ります。どうなるのか、私も興味があります。