“Wizardに質問する”の158別表コラム

NBAでは、カンファレンスごとに3つのディビジョンがあり、各カンファレンスから8チームがプレーオフに進出します。各カンファレンスの上位3シードは、そのディビジョンの優勝チームとなり、第4シードから第8シードは、ディビジョン以外の優勝チームの中で成績が最も良いチームとなります。今年は、ウェスタン・カンファレンスの同じディビジョンに所属する2チーム、スパーズとマーベリックスが、ウェスタン・カンファレンスでトップの成績を収めています。この状況が続けば、ウェスタン・カンファレンスで2番目に成績の良いチームが第4シードとなり、両チームが優勝した場合、2回戦で最強チームと対戦することになります。多くの人がこれをシステムの問題だと指摘していますが、NBAはこれを異例の事態と捉えています。 ESPNのアナリストは最近、ブログで次のような発言をしました。「これは例外的なことではなく、頻繁に起こり得ることなのです。各カンファレンスには15チーム、3つのディビジョンにはそれぞれ5チームずつあります。つまり、2番目に成績の良いチームが、1番目に成績の良いチームと同じディビジョンに所属する確率は14分の4です。」特定のカンファレンスでこのようなことが起こる確率が14分の4であるというのは正しいのでしょうか？どのように計算するのでしょうか？もし正しいとしたら、少なくとも1つのカンファレンスで57%の確率で起こるということになりますよね？ — ミシガン州ハンティントン・ウッズのAJ

はい、彼の言う通りです。15チームの中からベスト2チームを選ぶ方法は、combin(15,2)=105通りあります。セーブディビジョンから選ぶ方法は、 combin (5,3)=30通りあります。つまり、ベスト2チームが同じディビジョンから選ばれる確率は、30/105 = 4/14です。少なくとも1つのカンファレンスでこの確率が発生する確率は、1-(10/14) ² = 48.98%です。

ある読者から、私の仮定に対する批判のメールをいただきました。以下はその全文です。

こんにちはウィザードさん、

あなたのサイトの大ファンです。素晴らしい情報が満載です。以前の「ウィザードに質問」ページをいくつか拝見していたのですが、ある質問の解答があまりにも単純すぎるように思いました。問題解決に使われた情報だけでなく、もっと多くの点を見なければならないはずです。あなたの答えは、本来の答えよりも少しだけ高いように思います。

この質問は「ウィザードに質問」#158 に掲載されており、NBA チームのシード順に関するものです。カンファレンスの上位 2 チームが同じディビジョンに所属するのは、14 回中 4 回だと言われています。あなたの回答では、最終的なカンファレンス順位表で各チームがどの順位になるかは均等であると仮定しているように見えます。これは確かにその通りで、この問題に対する安全な仮定と言えるかもしれませんが、そのリストにある各チームが 3 つのディビジョンのいずれかに所属する可能性も均等であると仮定しているように見えます。私はこれが必ずしも正しいとは思いません。その理由は、順位表の算出方法にあると考えています。つまり、試合が行われ、ポイントが与えられ、各チームの順位表は他のチームの順位表や所属ディビジョンとは無関係ではありません。

私はあまり説明が得意ではないのですが、ここではその理由を説明してみたいと思います。チームのスケジュールがややアンバランスなことが、最終順位に影響を与えていると私は考えています。各チームは同じディビジョンのチームと 16 試合 (各チーム 4 試合) を戦います。しかし、カンファレンス内の他のチームとは 36 試合 (6 チームと 4 試合、4 チームと 3 試合) しか戦いません。このため、他のディビジョンからポイントを奪うよりも、同じディビジョンのチームとポイントを争うことが多くなります。その結果、カンファレンスで総合 1 位になったチームは、他の 2 つのディビジョン優勝チームよりも、自分のディビジョンから多くのポイントを奪ったことになります。つまり、カンファレンス優勝チームのディビジョン 2 位チームはポイントを蓄積するのが難しくなり、結果としてカンファレンスで 2 番目に多くのポイントを獲得する可能性が低くなります。

この差異はごくわずかであることは承知しており、どの程度の数値化が可能かは分かりませんが、（私の能力をはるかに超える）コンピューターシミュレーションを作成して、これがどのような影響を及ぼすかを把握することは可能だと考えています。

さらに分かりやすくするために、NHLはさらに不均衡なスケジュールを採用しています。各チームはNBAと同じ82試合を戦いますが、各チームは自地区内で32試合（他の4チームとそれぞれ8試合ずつ）を戦います。その後、カンファレンス外の相手と40試合（同じカンファレンス内の他の10チームとそれぞれ4試合ずつ）を戦います。つまり、ここでは、特定の部門のトップチームが、その部門の2位のチームから多くのポイントを奪っている可能性があり、その結果、その部門の2位のチームがカンファレンス全体で2番目に多くのポイントを獲得することが難しくなります。

最後に、より分かりやすくするために、4チームしか所属していないカンファレンス（2つのディビジョンにそれぞれ2チームずつ）を考えてみましょう。元のNBAの質問の答えを導き出した論理を用いると、2つの最強チームが同じディビジョンから出てくる確率は3分の1になるはずです。

バランスの取れたスケジュールを採用し、各チームが互いに1回ずつ対戦するとします。順位表における同点を適切に重み付けすると、コンピューターシミュレーションでは、予想通り、上位2チームが同じディビジョンから出場する確率は33.33%になります。

しかし、アンバランスなスケジュールを維持すると、状況は変わります。各チームが同じディビジョンの他のチームと2回対戦し、他のディビジョンの各チームとは1回のみ対戦するとします。そして、同じディビジョンの相手との2試合が最初に行われるとします。そのため、各チームが2試合を戦った後、どちらかのディビジョンの2位のチームが、反対のディビジョンの1位チームと同点かそれより遅れをとることは明らかです。そのため、カンファレンス全体で2位に浮上するために必要なチームを追い抜くために最後の2試合で勝利を収めるのは、はるかに困難になります。このスケジュールを使用してこれらの条件を簡単にコンピューターでシミュレーションすると、上位2チームが同じディビジョンから出てくる確率はわずか27.07%であることがわかります。約6.26%の減少です。

さて、これは4チームカンファレンス、4試合スケジュール、つまりディビジョン内試合とディビジョン間試合の比率が2:1の場合に限った話です。15チームカンファレンス、82試合スケジュールに当てはめると、ディビジョン内試合とディビジョン間試合の比率は4:3.6と、以前申し上げたようにずっと近くなりますが、あなたが導き出した4/14という数字からの乖離はごくわずかでしょう。おそらく1%を大きく下回るでしょう。しかし、それでも乖離は残るので、答えは厳密に4/14とは言えません。

とにかく、私はそれを指摘したいと思ったのですが、また、私に考え、頭を刺激する楽しい問題を与えてくれたことに感謝します。

よろしくお願いいたします。
ジョナサン・ブラッドフォード