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Wizardに尋ねる #192

先日フォックスウッズに行って、フォックスウッズ ポーカー クラシックの最後の2つのテーブルを観戦していました。ワールド ポーカー ツアーの司会者の一人、ヴィンス ヴァン パテンが観戦にやって来ると、彼はその場にいたポーカー プロたちとあらゆる種類のプロップベットを始めました。彼は、デッキ全体をめくりながら、エース、2、3、4、…とキングまでカードをめくり、またエースから始めて、宣言したカードが一度も出ないようにできれば、20対1の配当を出すと提案していました。誰も最後までやり遂げられず、ヴィンスは皆が諦めるまでの10分ほどで数百ドルを勝ち取りました。こんなことが起こり得るはずなのに、20対1の配当を出すなんて、ヴィンスが相当なハチャメチャな賭け方をしているんじゃないかと疑っています。デッキ全体をやり遂げられる確率は一体どれくらいなのでしょう？

Matt から New Britain

勝つ確率を推定する簡単な方法は、すべてのカードが12/13の確率で記載されたランクと一致しないと仮定することです。この賭けに勝つには、被害者はこれを52回成功させる必要があります。52回勝つ確率は(12/13) 52 = 1.56%です。妥当な賭け金は63.2対1です。20対1では、ヴィンスは67.3%の優位性があります（痛い！）。

私よりも数学に詳しいGMによると、実際の確率は1.6232727%です。この差が生じる理由は、各ピックの結果が過去のピックと正の相関関係にあるためです。

ファイブカードスタッドでジョーカー1枚が完全にワイルドのオッズと組み合わせが記載されていますね。すべてのデッキにはジョーカーが2枚（赤1枚、黒1枚）入っており、両方をワイルドとして使う人も多いので、ジョーカー2枚が完全にワイルドの場合も同様のオッズと組み合わせを掲載していただけますか？

Dave K. から Ohio

このリンクをたどってください。

先日ラスベガスに行ったのですが、ラスベガス・クラブで「世界で最もリベラルなブラックジャック」というゲームに出会いました。このゲームでは、2枚、3枚、4枚のカードの組み合わせでダブルダウン、エースを好きなだけスプリット＆リスプリット、ペアを好きなだけスプリット＆リスプリット、最初の2枚のカードを元の賭け金の半額で降伏、そして6枚のカードで組んだハンドは自動的に勝ちとなります。ただし、ブラックジャックはスーツが揃わない限り配当はイーブンマネーですが、スーツが揃うと配当は2対1になります。これは、6デッキで3対2のブラックジャックでディーラーがソフト17でスタンドするよりも良いゲームでしょうか？また、この場合、ブラックジャックはイーブンマネーしか支払わないので、ダブルダウンした方が良いでしょうか？

James から Chicago

このゲームのハウスエッジは、ラスベガスのブラックジャックのルールに関する私の調査によると、デッキの数が5か8かによって1.30%または1.33%です。ブラックジャックの配当が3対2のゲームでは、どのゲームでもオッズが高くなります。もしこのゲームをプレイするなら（プレイすべきではありませんが）、ブラックジャックでは必ずスタンドすべきです。個人的には、看板に書かれた「世界で最もリベラルなブラックジャック」という謳い文句は虚偽広告だと思います。

先月ラスベガスに行って、初めてスリーカードポーカーをプレイしました。ストレートフラッシュが出て、勝った時の興奮のあまり、ディーラーが40倍ではなく20倍しか配当を出していないことに気づきませんでした。数ハンド負けて、キャッシュインしようとテーブルを離れた時に、何が起こったのかに気づきました。質問なのですが、もし今後ミスに気づいたらどうすればいいのでしょうか？テーブルを離れた時には既に手遅れだったと思いますが、まだテーブルにいる場合はどうなるのでしょうか？次のハンドが始まる前にミスを指摘しなかった場合、もう手遅れなのでしょうか？

Scott から San Diego

理想的には、ハンドが終わる前に、まだカードを戻すのが簡単なうちにチャレンジするべきです。それより遅くなっても問題はありませんが、何も請求できません。これは私の専門分野から外れますが、テープを確認するかどうかの判断は、おそらく賭け金の額とプレイヤーとしてのあなたの価値によって決まるでしょう。

バカラの場合では、プレイヤーが自身とバンカーの両方を同時に賭けることができるカジノを見つけた場合でそれを実際に行うメリットはありますか？彼らが両方の賭けの合計であなたを評価した場合はどうですか？（つまりバンカーに25ドル、プレーヤーに25ドルを賭けて50ドルになる場合）

William R. から Las Vegas

私はバーニー・ヴィンソンにこの質問を尋ねました。彼は Ask Barney: An Insider’s Guide to Las Vegas の著者であり、彼によればあなたの場合ではカジノはおそらく賭けの1つである25ドルしか評価しないだろうと言いました。それを行うことのメリットとしてはリスクを下げてくれますが、これは招待されたイベントの資格を得るために多くのアクションを実行したりする必要があり、あなたが失うお金があまりなかった場合に適したプレイになる可能性があります。ただし、大きな賭け（100ドル以上）が含まれる場合にはそれは危険信号と見なされ、おそらく次のイベントには招待されないと思います。

多くのカジノでは、ブラックジャックのテーブルで他のプレイヤーの「ビハインド」ベットが許可されています。2人のプレイヤーが協力してベットする場合、「ビハインド」ベットが通常のベット額を大幅に上回る場合の適切なペアスプリット戦略を教えてください。

Jim から Brick, NJ

ご満足いただけましたでしょうか？この質問に答える新しいページを追加しました。ブラックジャックの付録19をご覧ください。

これはクラップスにおけるサイコロのコントロールについてです。以前、スタンフォード・ウォンの実験について議論し、「賭けの条件は、精密シューターがサイコロを500回振って7の出目を79.5回未満にできるかどうかでした。ランダムなゲームでの期待値は83.33です。ランダムに500回振って79回以下の7が出る確率は32.66%です。ランダムに500回振って74回以下の7が出る確率は14.41%です。」と述べていました。

この賭けに関して私が疑問に思っているのは、14.41% では依然として「統計的に有意」ではない (つまり p < 0.05) ということです。これは通常、平均値からの標準偏差が 2 より大きい、つまり、一連のどちらかの時点でイベントがランダムに発生する確率が *合計* 5% 未満であることを意味します。

結果が完全にランダムである（つまり、結果が統計的に有意である）可能性が 2.5% 未満であると言えるには、500 回のロールで 7 が何回出なければならないでしょうか。

本当にありがとうございます。ところで、あなたのサイトは、ギャンブルのオッズと確率に関して私が見つけたサイトの中で間違いなく最高のサイトです。これからも頑張ってください。

Plexus から Warwick, Rhode Island

親切なお言葉をありがとうございます。「ランダムでない結果が出る確率はp」と書くべきではありません。正しくは「ランダムなゲームでそのような結果が出る確率はp」と書くべきです。500回のサイコロ投げで何かを証明したり反証したりするとは誰も思っていませんでした。79.5の7というラインを設定したのも私ではありませんが、統計的に有意になるように設定したとは思えません。むしろ、両者が賭けに同意するポイントだったのではないかと思います。

2.5%の有意水準は、期待値からの標準偏差1.96倍です。これはExcelの式 =normsinv(0.025) で求められます。500回投げた場合の標準偏差は、sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333です。つまり、標準偏差1.96倍ということは、期待値より1.96 * 8.333 = 16.333倍低いことになります。500回投げた場合の7の期待値は、500*(1/6) = 83.333です。つまり、標準偏差1.96倍低いということは、83.333 - 16.333 = 67倍です。二項分布を用いて検証すると、7が67個以下になる確率は正確には2.627%です。

ヤッツィーを獲得するために必要な予想ロール回数はどれくらいですか?

Ian F. から Provo

プレイヤーが常に最も多く出現する数字を持っていると仮定すると、平均は11.09になります。以下は、8260万回のランダムシミュレーションにおけるロール回数の分布を示す表です。

ヤッツィー実験

ロール発生事例確率
1 63908 0.00077371
2 977954 0.0118396
3 2758635 0.0333975
4 4504806 0.0545376
5 5776444 0.0699327
6 6491538 0.0785901
7 6727992 0.0814527
8 6601612 0.0799227
9 6246388 0.0756221
10 5741778 0.0695131
11 5174553 0.0626459
12 4591986 0.0555931
13 4022755 0.0487016
14 3492745 0.042285
15 3008766 0.0364257
16 2577969 0.0312103
17 2193272 0.0265529
18 1864107 0.0225679
19 1575763 0.019077
20 1329971 0.0161013
21 1118788 0.0135446
22 940519 0.0113864
23 791107 0.00957757
24 661672 0.00801056
25 554937 0.00671837
26 463901 0.00561624
27 387339 0.00468933
28 324079 0.00392347
29 271321 0.00328476
30 225978 0.00273581
31 189012 0.00228828
32 157709 0.00190931
33 131845 0.00159619
34 109592 0.00132678
35 91327 0.00110565
36 76216 0.00092271
37 63433 0.00076795
38 52786 0.00063906
39 44122 0.00053417
40 36785 0.00044534
41 30834 0.00037329
42 25494 0.00030864
43 21170 0.0002563
44 17767 0.0002151
45 14657 0.00017745
46 12410 0.00015024
47 10299 0.00012469
48 8666 0.00010492
49 7355 0.00008904
50 5901 0.00007144
51 5017 0.00006074
52 4227 0.00005117
53 3452 0.00004179
54 2888 0.00003496
55 2470 0.0000299
56 2012 0.00002436
57 1626 0.00001969
58 1391 0.00001684
59 1135 0.00001374
60 924 0.00001119
61 840 0.00001017
62 694 0.0000084
63 534 0.00000646
64 498 0.00000603
65 372 0.0000045
66 316 0.00000383
67 286 0.00000346
68 224 0.00000271
69 197 0.00000238
70 160 0.00000194
71 125 0.00000151
72 86 0.00000104
73 79 0.00000096
74 94 0。00000114
75 70 0.00000085
76 64 0.00000077
77 38 0.00000046
78 42 0.00000051
79 27 0.00000033
80 33 0.0000004
81 16 0.00000019
82 18 0.00000022
83 19 0.00000023
84 14 0.00000017
85 6 0.00000007
86 4 0.00000005
87 9 0.00000011
88 4 0.00000005
89 5 0.00000006
90 5 0.00000006
91 1 0.00000001
92 6 0.00000007
93 1 0.00000001
94 3 0.00000004
95 1 0.00000001
96 1 0.00000001
97 2 0.00000002
102 1 0.00000001
合計82600000 1