Wizardに尋ねる #215
2008年のワールドシリーズ・オブ・ポーカーで、馬渕元幸選手のクワッドエースがジャスティン・フィリップ選手のロイヤルフラッシュに負けました。この確率について疑問があります。ESPNなどは、約27億分の1と発表していました。彼らは公表されているクワッドエースの発生確率にロイヤルフラッシュの確率を掛け合わせただけのように思えます。この計算方法は正しいのでしょうか？
27億分の1という数字にも同意できません。おっしゃる通り、両プレイヤーがホールカードの両方を使う場合のみ、各プレイヤーの確率を個別に計算し、それを掛け合わせたようです。この方法で計算すると、確率は0.000000000341101、つまり約29億分の1になります。おそらく27億分の1という数字には、両プレイヤーの確率の四捨五入による誤差も含まれているのでしょう。また、確率を2倍にするのを忘れたようですが、その理由は後ほど説明します。
4 つのエースがロイヤル フラッシュに負ける場合、次の 3 つの方法があります。
ケース 1: 一方のプレイヤーはロイヤル フラッシュを 2 枚持っており、もう一方のプレイヤーはエースを 2 枚持っており、ボードには残りの 2 枚のエース、ロイヤルの残りの 2 枚のカード、およびその他のカードが含まれています。
例：
プレイヤー1:
プレイヤー2:
ボード： 
ほとんどのポーカールームでは、バッドビート・ジャックポットを獲得するには、勝者と敗者の両方のプレイヤーがホールカードを2枚ずつ使用する必要があります。これは動画で紹介されているバッドビートの種類で、実際に使われたカードはまさにこれでした。
ケース 2: 一方のプレイヤーはロイヤル フラッシュ (TK) の 2 枚を持っており、もう一方のプレイヤーはエース 1 枚と「空白」のカード 1 枚を持っており、ボードには残りの 3 枚のエースとロイヤルの残りの 2 枚のカードが含まれています。
例：
プレイヤー1:
プレイヤー2:
ボード： 
ケース 3: 一方のプレイヤーはロイヤル フラッシュ (TK) の 1 枚と空白のカードを持っており、もう一方のプレイヤーは 2 枚のエースを持っており、ボードには残りの 2 枚のエースとロイヤル フラッシュの残りの 3 枚のカードが含まれています。
例：
プレイヤー1:
プレイヤー2:
ボード：
以下の表は、各ケースにおけるプレイヤーとボードの組み合わせの数を示しています。右下のセルには、合計の組み合わせ数が16,896であることを示しています。
バッドビートの組み合わせ
| 場合 | プレイヤー1 | プレイヤー2 | ボード | 製品 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 3 | 44 | 3,168 |
| 2 | 24 | 132 | 1 | 3,168 |
| 3 | 704 | 3 | 1 | 2,112 |
| 合計 | 8,448 |
しかし、2人のプレイヤーのカードが逆さまになってもバッドビートになる可能性があります。そのため、組み合わせの数を2倍する必要があります。それを調整すると、対象となる組み合わせの合計は2 × 8,448 = 16,896になります。
2人用テキサスホールデムにおける全ての組み合わせの総数は、 combin (52,2) × combin(50,2) × combin(48,5) = 2,781,381,002,400です。つまり、エース4枚がロイヤルフラッシュに負ける確率は、8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747、つまり約1億6500万分の1です。ケース1のバッドビートの確率は4億3900万分の1です。動画で報告されているほどオッズが高くない理由は、2つのハンドが重複しており、エースを共有しているからです。つまり、これら2つのイベントは正の相関関係にあります。
「ニューヨークのビデオポーカーの真実を語る」という論文によると、あなたの言う通りです。プレイヤーの結果は確かに運命づけられています。どんなカードを持っていても、運命は避けられません。もしプレイヤーが故意に運命を回避しようとした場合、ゲームは守護天使機能を使ってプレイヤーのミスを修正します。このようなゲームでは、プレイヤーに本物のビデオポーカーをプレイしているのではないこと、そしてペイテーブルはプレイヤーの実際のオッズを示す無意味な指標であることを警告すべきだという著者の意見に、私も完全に同意します。また、こうした偽のビデオポーカーマシンはニューヨークに限ったものではないことも指摘しておきます。
素晴らしいサイトをいつも利用させていただいています。ありがとうございます！アトランティックシティのボルガータで、レット・イット・ライドのスリーカードボーナスベットの新しいペイテーブルを見つけました。つい最近導入されたばかりで、ディーラーが新しいオッズを覚えるのに苦労しているほどです。新しいペイテーブルはこちらです：
ミニロイヤル：50対1
ストレートフラッシュ：40対1
スリーオブアカインド：30対1
ストレート：6対1
フラッシュ：4対1
ペア: 1対1
それが全体的なハウスエッジにどのような影響を与えるのか興味があります。
サイドベットとしては悪くないですね。ハウスエッジは2.14%です。
こんにちは、ウィザードさん。新しいオンラインカジノを見つけたので、試してみることにしました。クラップスのテーブルでプレイしていたのですが、サイコロを20回振ってフィールドベットが16回負け、4回しか勝てませんでした。出目はこんな感じです：L6、W1、L1、W1、L1、W1、L2、W1、L6。これは小さなサンプルだとは思いますが、この新しいカジノが合法かどうかを判断するのに十分なのでしょうか？
確率pの事象が、起こりうるn回のうちx回発生する確率は、(n,x) × p x × (1-p) (nx)で表されます。この場合、p=4/9、x=4、n=20です。フィールドロールの起こりうる回数20回のうち、すべての回数における確率は次のとおりです。
バッドビートの組み合わせ
| 勝利 | 確率 |
|---|---|
| 0 | 0.000008 |
| 1 | 0.000126 |
| 2 | 0.000954 |
| 3 | 0.004579 |
| 4 | 0.015567 |
| 5 | 0.039851 |
| 6 | 0.079703 |
| 7 | 0.127524 |
| 8 | 0.165782 |
| 9 | 0.176834 |
| 10 | 0.155614 |
| 11 | 0.113174 |
| 12 | 0.067904 |
| 13 | 0.033430 |
| 14 | 0.013372 |
| 15 | 0.004279 |
| 16 | 0.001070 |
| 17 | 0.000201 |
| 18 | 0.000027 |
| 19 | 0.000002 |
| 20 | 0.000000 |
| 合計 | 1.000000 |
0から4までの合計を取ると、確率は2.12%になります。つまり、公平なゲームであれば、これは容易に起こり得たことです。
楽しい数学パズル集をありがとうございます。彼女と海賊パズルのバリエーションを思いつきました。もし海賊全員が同じ階級で、各ラウンドで分割案を提案する人がくじ引きで選ばれたらどうなるでしょうか？このバリエーションでは、各海賊の最優先事項は、受け取るコインの期待値を最大化することだと仮定します。私は解法だと思うのですが、まずはご自身で試してみてはいかがでしょうか。重ねてお礼申し上げます。
どういたしまして。もし海賊が2人しか残っていない場合、提案をするために選ばれた方はもう1人が反対票を投じるので、もう1人が提案を諦めざるを得ません。抽選で選ばれた方は0枚、もう1人は1000枚獲得します。つまり、抽選前、残り2人の海賊の期待値は500枚です。
3人の海賊の段階では、引かれた海賊は他の海賊の1人に501と499を自分に渡すことを提案します。501を引いた海賊は、500をノーと投票した場合の期待値よりも大きいため、賛成票を投じます。引き分け前、残り3人の海賊の場合、0、499、501のコインがそれぞれ1/3の確率で手に入るため、平均333.33になります。
4人の海賊の段階では、引かれた海賊は他の海賊のうち2人に334を、そして自分に332を渡すことを選択します。これにより、334枚のコインを受け取る海賊から2票の「賛成」票が得られます。なぜなら、彼らは333.33よりも334枚の方が欲しいからです。あなた自身の票を含めると、4票中3票を獲得することになります。引く前の各海賊の期待値は、0、334、334、332の平均、つまり1000/4=250です。
同じ論理で、5人の海賊の段階では、引かれた海賊は251を2人の海賊に、そして498を自分自身に与えることを選択します。最初の問題とは異なり、逆算する必要はありません。コインの枚数を、自分を除く海賊の枚数で割るだけです。そして、その平均値と、さらに1枚のコインを海賊の半数（端数切り捨て）に渡します。