Wizardに尋ねる #220

バックギャモンは私のお気に入りのギャンブルゲームの一つです。対人戦は分析が非常に難しいため、このゲームについて書くことはありません。また、このゲームで新しい発見も見つけられていません。ですから、アドバイスは他の人に任せたいと思います。以下に、私がお勧めするリソースをご紹介します。

ポール・マグリエル著『バックギャモン』 ：もしバックギャモンのバイブルがあるとしたら、まさにこれでしょう。私は古いハードカバー版を所有しており、誇りをもっています。この本はバックギャモン入門に最適です。1976年に書かれた本ですが、そこに書かれているアドバイスは今でも通用します。

ビル・ロバーティー著『 501 Essential Backgammon Problems』 ：この本を何年も読み通そうと努力していますが、まだ半分しか進んでいません。問題の半分を間違えてしまうのは、ゴルフと同じくらいバックギャモンが下手なんじゃないかと思うほどで、本当にがっかりです。しかし、間違えた問題一つ一つから、貴重な教訓が得られます。中級者から上級者にとって、この本は価値ある、そして謙虚になれる学習ツールです。

Snowie バックギャモンソフトウェア：このソフトで年間約1000回プレイしています。Snowie はほぼ完璧なプレイをするだけでなく、ミスをするとその損失額を正確に教えてくれます。他にも私がまだ試していない機能がたくさんあります。Snowie から学んだことが一つあるとすれば、私のゲームの最大の問題は、時に完全に明白なプレイを見落としてしまう愚かなミスだということです。チェスと同じように、たった一つの悪い手が100の良い手を打ち消すこともあるのです。

Motifウェブサイト：Snowieを購入する前、Motifと数え切れないほど対戦しました。Motifの戦略は非常に堅実だと思います。自分のゲームを向上させるには、より強い相手と対戦することほど良いものはありません。

まず、いくつか仮定を立ててみましょう。まず、3人の参加者は、提示された表の正解確率以外、ファイナル・ジェパディにおける賭け行動について事前の知識を持っていないと仮定します。次に、カテゴリーを知っていても何の役にも立たないと仮定します。さらに、3人の参加者全員が勝利を目指しており、同点に陥った場合、他の参加者を引きずりたくないと考えていると仮定します。

まずプレイヤーCから始めましょう。彼は、AがBの予想が当たればBを上回るために$6001を賭けるかもしれないと予想するはずです。しかし、Aが間違っていたら、Cの賭け金は$3999に下がります。このような状況でAに勝つには、Cが少なくとも$500を賭け、かつ正しく予想する必要があります。しかし、私の意見では、勝つために正しく予想しなければならないのであれば、大金を賭けた方が良いでしょう。ですから、もし私がCだったら、Cはすべてを賭けるでしょう。

Bは大きく賭けるか小さく賭けるかで迷っています。Cが当たってもCを上回るためには、小さく賭ける場合は999ドル以下に抑えるべきです。小さく賭ける利点は、どんな状況でもCを上回ること、つまりAが大きく賭けて外れることを期待できることです。大きく賭ける利点は、Aが小さく賭けるか、大きく賭けて外れるかのどちらかを期待できることですが、どちらの場合もBが当たっていることが条件となります。

Aは基本的にBと同じ展開を期待しています。Aのスモールベットは$0から$1000までの範囲で設定でき、Bが$999を賭けた場合、Aの賭け金はBの賭け金より高くなります。ビッグベットは$6001に設定すべきです。Aが当たれば確実に勝ちますが、Bがビッグベットし、3人全員が外れた場合でも、Aの賭け金がBの賭け金を上回るようにするためです。

正解と不正解の8通りの結果の確率を推測するために、j-archive.com（現在は利用できません）にあるシーズン20から24までの「ファイナル・ジェパディ」の結果を見ました。結果は以下の通りです。プレイヤーAがトップ、プレイヤーBが続き、プレイヤーCが最下位です。

私のサイトmathproblems.infoの問題 192 で説明しているようなゲーム理論の論理を使用すると、A と B は次のように戦略をランダム化する必要があることがわかります。

プレイヤーAは、73.6%の確率で大金を賭け、26.4%の確率で小金を賭けるべきです。
プレイヤー B は、67.3% の確率で大金を賭け、32.7% の確率で小金を賭けるべきです。
プレイヤーCは100.0%の確率で大金を賭けるべきです。

この戦略に従えば、各プレイヤーの勝利の確率は次のようになります。

プレイヤーA: 66.48%
プレイヤーB: 27.27%
プレイヤーC: 6.25%

ちなみに、上記の表によると、トップのプレイヤーが最終問題に正解する確率は54.4%、2位のプレイヤーが49.8%、3位のプレイヤーが48.7%です。全体の確率は51.0%です。

実務上の注意点として、プレイヤーは賭けの行動についてある程度の知識を持っています。私の判断では、プレイヤーは数学的に正当化されるよりも頻繁に、高額ベットをする傾向があります。興味深いことに、デイリーダブルでの賭けは、数学的に正当化されるよりも保守的すぎると感じています。ケン・ジェニングスが好成績を収めた理由の一つは、ダブルダブルでの積極的な賭けでした。いずれにせよ、もし私が実際に番組に出演していたら、他の二人のプレイヤーは積極的に賭けるだろうと予想します。つまり、私の実際の賭け金は、Aが6000ドル（Bに配慮）、Bが0ドル、Cが3495ドル（Aが愚かにも1ドル以外を賭けて間違った場合に備えて、少し賭けない金額を残す）になります。

実際の会場でどうやってランダムな数字を抜き出すのかと誰かが私に異議を唱える前に、時計の秒針を使って 1 から 60 までのランダムな数字を抜き出すというスタンフォード ウォンの戦略を提案したいと思います。

そのようなシステムが不可能かどうかはさておき、私は5000万ドルくらいを請求するつもりです。買い手がいなかったとしても構いません。自分でやって、それよりずっと多くのお金を稼ぎます。

それがマイナーな理由としては、カードカウンターをホイルすることです。ただし、ディーラーはxカードをバーンする代わりに、カットカードxカードを前方に移動して同じ目的を達成することができます。その主な理由はゲームの保護で、プレイヤーはトップカードを垣間見ることができることでこの情報に基づいて自身のベットと戦略を変えるかもしれません。しかしそのような戦術は不正行為ではないと私は付け加えます。また、トップカードは多くの不正行為に対して脆弱で、マークを付けたりディーラーがそれを覗いたり目的のカードを上に押し付けたりすることができます。何らかの理由でディーラーがトップカードが何であるかを知っていれば、彼はその情報を同じグループのプレイヤーに合図することができて大きなアドバンテージを与えます。