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Wizardに尋ねる #247

スーパーボウルのスコアを正確に予想して、サイン入り著書をプレゼントするチャンスをいただき、ありがとうございます。しかし、期待値はかなり低いのではないでしょうか？当選確率は300分の1くらいだと思います。

FinsRule

確かな知識に基づいた推測をすれば、オッズはそれよりも高くなると思います。NFLの試合の正確な結果を予想するための私の基本戦略をご紹介します。

  1. 合計とスプレッドを使って、各チームの合計得点を推定します。例えば、スーパーボウルの合計得点を57、スプレッドを-5とすると、c=コルツの得点、s=セインツの得点となります。

    （1）c+s=57
    （2）c-5=s
    式(2)を式(1)に代入すると、
    c+(c-5)=57
    2c-5=57
    2c=62
    c=31
    s=31-5=26

    ここで止まってしまうと、単一のチームでは到底獲得できないような得点が出てくることがあります。例えば、単一チームの合計得点が24点になる確率は6.5%ですが、25点になる確率はわずか0.9%です。下の表は、2000年から2009年のシーズンに基づく、単一チームの合計得点の確率を示しています。そこで、フィールドゴールとタッチダウンの現実的な組み合わせに基づいて、各チームの合計得点を推定してみましょう。

  2. 優勝候補が2つのフィールドゴールを蹴ると仮定します。
  3. 劣勢のチームがフィールドゴールを 1 回蹴ると仮定します。
  4. それぞれのフィールドゴールポイントを差し引きます。スーパーボウルの例では、コルツは25タッチダウン、セインツは23タッチダウンとなります。
  5. タッチダウンポイントを7で割ると、推定タッチダウン数が得られます。c=3.57 TD、s=3.29 TD
  6. 推定タッチダウン数を最も近い整数に丸めます。c=4、s=3。
  7. この方法に従うと、合計ポイントはc=(4×7)+(2×3)=34、s=(3×7)+(1×3)=24となります。

この方法を1983年から2009年シーズンの全6,707試合に適用すると、69試合で的中し、成功率は1.03%となります。最後に的中したのは、2009年第13週のタイタンズ対コルツ戦です。この試合のスプレッドはコルツが-6.5、トータルは46でした。スコアはタイタンズ17、コルツ27でした。

ある批評家は、両チームとも最も近い有意なチーム合計を選ぶ方が、より良いシンプルな戦略だと考えました。しかし、この方法では勝利数はわずか51で、勝率は0.76%でした。私としては、フィールドゴール2と1を強いチームと弱いチームに分けることが重要だと考えています。

NFL2000-2009シーズンのチーム別総得点

ワンチーム合計サンプルの合計確率
0 93 1.75%
1 0 0.00%
2 0 0.00%
3 148 2.79%
4 0 0.00%
5 2 0.04%
6 114 2.15%
7 210 3.96%
8 9 0.17%
9 76 1.43%
10 316 5.96%
11 9 0.17%
12 49 0.92%
13 289 5.45%
14 238 4.49%
15 55 1.04%
16 170 3.21%
17 373 7.03%
18 33 0.62%
19 92 1.73%
20 368 6.94%
21 234 4.41%
22 64 1.21%
23 218 4.11%
24 347 6.54%
25 47 0.89%
26 103 1.94%
27 282 5.32%
28 159 3.00%
29 52 0.98%
30 127 2.39%
31 242 4.56%
32 23 0.43%
33 57 1.07%
34 164 3.09%
35 76 1.43%
36 27 0.51%
37 68 1.28%
38 108 2.04%
39 11 0.21%
40 21 0.40%
41 62 1.17%
42 31 0.58%
43 6 0.11%
44 24 0.45%
45 33 0.62%
46 1 0.02%
47 7 0。13%
48 28 0.53%
49 15 0.28%
50 1 0.02%
51 5 0.09%
52 7 0.13%
53 0 0.00%
54 2 0.04%
55 1 0.02%
56 4 0.08%
57 1 0.02%
58 1 0.02%
59 1 0.02%
合計5304 100.00%

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

ラスベガスのカジノの中には、片側に重みのあるサイコロを使っているところがあるようです。証拠として、ストリップ・カジノで集めた244回のサイコロの結果を提出します。公平なサイコロでこれほど偏った結果が出る確率はどれくらいでしょうか？

ダイステストデータ
サイコロの合計観察
2 6
3 12
4 14
5 18
6 23
7 50
8 36
9 37
10 27
11 14
12 7
合計244

C. から Las Vegas

7.7%です。

カイ二乗検定は、このような問題に最適です。この検定を行うには、各カテゴリについて(ae) 2 /e をとります。ここで、a は実際の結果、e は期待される結果です。例えば、244回投げて合計が2になる確率の期待値は、244×(1/36) = 6.777778 です。2が出る確率が1/36である理由がわからない場合は、サイコロの確率の基礎に関する私のページをご覧ください。合計が2になる場合のカイ二乗値は、a=6、e=6.777778 なので、(ae) 2 /e = (6-6.777778) 2 /6.777778 = 0.089253802 となります。

カイ二乗結果

サイコロの合計観察期待されるカイ二乗
2 6 6.777778 0.089253
3 12 13.555556 0.178506
4 14 20.333333 1.972678
5 18 27.111111 3.061931
6 23 33.888889 3.498725
7 50 40.666667 2.142077
8 36 33.888889 0.131512
9 37 27.111111 3.607013
10 27 20.333333 2.185792
11 14 13.555556 0.014572
12 7 6.777778 0.007286
合計244 244 16.889344

次に、カイ二乗列の合計を求めます。この例では、合計は16.889344です。これはカイ二乗統計量と呼ばれます。「自由度」の数は、データのカテゴリ数より1少ない数で、この場合は11-1=10です。最後に、統計表でカイ二乗統計量10.52と自由度10を調べるか、Excelで=chidist(16.889344,10)という数式を使用します。どちらの場合も、結果は7.7%です。つまり、公平なサイコロでこれほど歪んだ結果が出る確率は7.7%です。つまり、これらの結果は予想よりも歪んでいますが、それほど問題視するほど歪んではいません。このテストを続ける場合は、合計ではなく、各サイコロの個々の結果を収集することをお勧めします。また、あるカテゴリーの結果の期待値が低い場合、カイ二乗検定は適切ではないことにも留意すべきです。最小期待値5というのは、よく言われる数値です。

パイゴウでツーペアが配られる確率はどれくらいですか?

Lisa から Las Vegas

パイゴウは16組の牌で構成されます。16組の中から2組を選ぶ方法はcombin(16,2)=120通りあります。2組の牌を選んだ後は、特定の牌を選ぶ方法は1通りしかありません。32組の中から4組の牌を選ぶ方法はcombin(32,4)=35,960通りあります。つまり、2組の牌が出る確率は120/35960 = 0.33%、つまり300分の1です。

質問されたわけではないのですが、1つのペアの確率は16×combin(15,2)×2 2 /combin(32,4)=18.69%です。




写真は私の関連サイトWizard of Vegasから撮りました。

ブラックジャックで新しいサイドベットに出会ったのですが、ハウスエッジとは何でしょうか？ハウスエッジに加えて、もしあるとしたら、エッジを減らして有利になるための最適なカウントはどれくらいでしょうか？ディーラーのアップカードのランクがプレイヤーの最初の2枚のカードのランクの間にあれば、プレイヤーの勝ちとなります。プレイヤーの2枚のカードのランクの差が少ないほど、勝利時の配当は大きくなります。1ランク差で勝利した場合は12倍、2ランク差で勝利した場合は6倍、3ランク差で勝利した場合は4倍、4ランク差で勝利した場合は1倍です。スリーカードは30倍です。何かご意見やご助言をいただければ幸いです。

blackchipjim

6デッキで計算すると、ハウスエッジは3.40%になります。ブラックジャックの付録8に、私の計算結果をすべて示しています。カウントが極端に高い、または低い場合、残りのカードのランクがまとまっていることを示し、ハウスエッジは低下しますが、気にするほどではないと思います。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。