Wizardに尋ねる #258

確かに、宝くじを購入するかどうかの判断において、多少些細な要素ではありますが、考慮すべき要素だと思います。ご質問にお答えするために、 lottoreport.comに掲載されているジャックポット額と売上額を使用しました。パワーボールについては、同ウェブサイトのデータが最も古い2008年1月まで遡って調べました。また、メガミリオンズについては、ルールが変更された2005年6月まで遡って調べました。以下の表は、その結果をまとめたものです。

つまり、ジャックポットが分割される平均確率は、パワーボールでは0.74%、メガミリオンズでは1.29%です。ジャックポットが高額になり、売上が伸びるにつれて、ジャックポットが分割される確率も高まります。メガミリオンズでジャックポットが分割される確率が高いのは、当選確率が高く、他のプレイヤーとの競争が激しいためです。

総合的に判断すると、パワーボールではジャックポットの分配により4.01%、メガミリオンズでは6.59%の利益が失われていることがわかります。ただし、これらの数字には税金や、ジャックポットが年金の形で支払われることを考慮していません。これを調整するために、一括払いを選択するか年金を選択することで、当選者は利益の半分しか受け取れないと仮定しました。また、残りの30%は税金で失われると仮定したため、当選者は両方の要素を考慮して35%を受け取ることになります。この調整後、パワーボールではジャックポットの分配により1.20%、メガミリオンズでは1.98%の利益が失われていることがわかります。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

77億ハンドのシミュレーションに基づき、プレイヤーがハウスウェイに従うと仮定すると、フロント（ロー）ハンドでタイになる確率は2.55%、つまり39.24分の1です。バック（ハイ）ハンドでタイになる確率は0.038%、つまり2,637分の1です。ダブルタイになる確率は約78,200分の1です。

まず、「72の法則」は、お金を2倍にするために必要な期間の概算であり、正確な答えではありません。以下の表は、様々な年利における「72の法則」の値と正確な年数を示しています。

なぜ72なのでしょうか？ぴったり72である必要はありません。これは、投資で実際に見られる金利に見合うだけの数字です。7.8469%の金利とほぼ正確に一致します。πやeのように、72という数字に特別な意味はありません。なぜどんな数字でも使えるのでしょうか？金利をiとすると、投資額を2倍にするのにかかる年数（y）を求めましょう。

2 = (1+i) ^y
ln(2) = ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

これは私の最高の答えではないかもしれませんが、次のロジックに従ってみてください: y=ln(x) とします。
dy/dx=1/x です。
x の値が 1 に近い場合、1/x =~ x となります。
したがって、x の値が 1 に近い場合、dy/dx は ~ 1 になります。
したがって、x の値が 1 に近い場合、ln(x) の傾きは 1 に近くなります。
したがって、x の値が 0 に近い場合、ln(1+x) の傾きは 1 に近くなります。
「72 の法則」とは、.72/i =~ .6931/ln(1+i) であることを意味します。
i の値が 0 に近い場合、i と ln(1+i) は類似していることが分かりました。
したがって、iの値が0に近い場合、1/iと1/ln(1+i)は類似します。
69.31の代わりに72を使用すると、iの値が約8%の場合のiとln(1+i)の差が調整されます。

少しでも意味が伝われば幸いです。私の微積分はちょっと錆び付いていて、これを自分で説明するのに何時間もかかりました。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

これは数学的なパラドックスのように見えますが、実際には期待値の公式の乱用です。質問で指摘されているように、もう一方の封筒には、あなたが選んだ封筒よりも25%多く入っているはずです。しかし、もしあなたがその封筒を買うなら、最初からもう一方の封筒を選んだ方が賢明です。さらに、この議論を利用すれば、封筒を開ける前に切り替えを決めなければ、永遠に切り替え続けることができます。明らかに、期待値の議論には何らかの欠陥があるはずです。問題は、その欠陥がどこにあるのかということです。

長年にわたり、この問題について多くの時間をかけて読み、議論してきました。y=0.5x + 0.5*2x = 1.25xという議論がなぜ間違っているのか、多くの説明を聞いたり読んだりしてきました。多くの説明で高度な数学を何ページにもわたって用いていますが、私はそれは不要だと思います。これは単純な問いであり、単純な答えが求められます。そこで、私はこの問題に挑戦してみようと思います。

片方の封筒にもう片方の封筒の2倍の金額が入っているという事実をどう扱うか、非常に慎重に考える必要があります。小さい方の封筒の金額をS、大きい方の封筒の金額をLとしましょう。すると、次のようになります。

L=2×S
S=0.5×L

2つの要素と0.5の要素が異なる封筒に適用されていることに注目してください。両方の要素を同じ金額に適用することはできません。最初の封筒に100ドルが入っていた場合、小さい方の封筒であれば、もう1つの封筒には200ドルが入っています。100ドルが大きい方の封筒であれば、もう1つの封筒には50ドルが入っています。つまり、もう1つの封筒には50ドルか200ドルが入っています。しかし、そこからそれぞれの確率が50/50であると結論付けることはできません。なぜなら、0.5と2の要素を同じ金額に適用することになり、それは不可能だからです。そもそも賞金の配分がわからなければ、2つ目の封筒にいくら入っているかを推測することはできません。

0.5倍/2倍の議論が間違っている場合、もう一方の封筒の期待値を設定する正しい方法は何でしょうか？ 私なら、2つの封筒の差額はLS = 2S-S = Sとします。封筒を切り替えると、Sが何であれ、利益を得るか損失を得ます。2つの封筒に50ドルと100ドルが入っている場合、切り替えると50ドルの利益または損失が発生します。2つの封筒に100ドルと200ドルが入っている場合、切り替えると100ドルの利益または損失が発生します。いずれにしても、切り替えによる期待利益は0です。最初の封筒に100ドルが入っている場合、もう一方の封筒の差額が50ドルになる確率と100ドルになる確率がそれぞれ50%あると言えると思います。したがって、期待利益は75ドルです。したがって、もう一方の封筒の期待値は、0.5×($100+$75) + 0.5×($100-$75) = 0.5×($175+$25) = $100 となります。

少しでも意味が伝われば幸いです。この問題はいつもたくさんのコメントをいただきます。もし何かご意見がありましたら、直接私にメールを送るのではなく、私のWizard of Vegasフォーラムに投稿してください。リンクは下記です。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

リンク

• ウィキペディア
• デイヴィッド・チャーマーズ
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com