Wizardに尋ねる #259

他の読者のために補足すると、ヨーロッパの多くのカジノでは、ルーレットでイーブンマネーベットをし、ボールがゼロに落ちた場合、賭け金は没収されます。次のロールで賭け金が勝ちになった場合、賞金は支払われず、賭け金は返還されます。ボールが逆方向に落ちた場合は、賭け金は負けとなります。

ボールがゼロに落ちた場合、シングル・インプリズメント・ベットはどうなるでしょうか？カジノがシングル・インプリズメントしか認めていない場合、負けとなります。しかし、一部のカジノではダブル・インプリズメントを認めており、その場合どうなるでしょうか。ダブル・インプリズメント・ベットが勝った場合、シングル・インプリズメントに戻ります。カジノがダブル・インプリズメントまでしか認めていない場合、ダブル・インプリズメント・ベットはゼロがまた出たところで負けとなります。同じ論理で、カジノがトリプル・インプリズメントを認めている場合、ダブル・インプリズメント・ベットはゼロがまた出たところでトリプル・インプリズメントになります。

トリプル・インプリズンメントのハウスエッジは1.370120%です。この算出方法を説明する前に、まずシングル・インプリズンメントとダブル・インプリズンメントを見てみましょう。最初の賭けは赤だと仮定します。

Z = ゼロの確率 = 1/37 とします。
R = 赤い数字の確率 = 18/37 とします。

単身拘禁

pr(プッシュ) = ZR = 0.0131482834。
pr(勝利) = R = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5003652301。
期待値 = pr(勝ち) - pr(負け) = -0.0138787436。

二重の懲役

最初のスピンがゼロの場合、プレイヤーはプッシュします。その後、プレイヤーはZRを0から無限回繰り返し、最後に赤が出ます。つまり、プッシュする方法は以下のとおりです。

ZR、Z(ZR)R、Z(ZR)(ZR)R、Z(ZR)(ZR)(ZR)R、...

pr(プッシュ) = 0.013323464
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001900494。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137035629。

三重の懲役

まず、シングル・インプリゾンド・ベットがゼロを2つ追加してトリプル・インプリゾンドになり、最終的に再びシングル・インプリゾンドに戻る確率 p ₁を求めましょう。これは以下のように起こります。

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

言い換えれば、賭けは三重懲役と二重懲役の間を無限に繰り返すことができるということです。

次に、p ₂を、単一の投獄された賭けが第 1 レベルまたは第 2 レベルの投獄に到達し、その後単一の投獄に戻る確率とします。

p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464とします。

プレイヤーは最初のレベルに戻ることをゼロから無限回繰り返すことができます。したがって、プッシュの確率は次のようになります。

ZR + Z p ₂ R + Z p ₂ p ₂ R + Z p ₂ p ₂ p ₂ R + ... =

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830 です。

pr(プッシュ) = 0.013325830。
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001876839。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137011974。

無限の投獄

マフ、君が尋ねたわけではないが、スペインでは無限の投獄が認められていると聞いた。pを押される確率としよう。これは、投獄レベルxから始まり、さらに下がっていき、最終的にxまで戻る確率でもある。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

二次方程式の公式により、p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620 となります。

pr(プッシュ) = 0.0133258620。
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001876515。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137011650。

ゼロは投獄を無視した

最後に、一部のカジノでは、最初のゼロの後に賭け金を確定させるゼロは無視されます。この場合、プッシュの確率は単純に(1/37)×(1/2) = 0.0135135135となります。

次の表は、 4 種類のルールすべてをまとめたものです。

数学的なご助力をいただいたChesterDog氏とweaselman氏に感謝申し上げます。また、上記の合計式のHTMLを提供してくださったG. Artico教授とpolarprof.it氏にも感謝申し上げます。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

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2010年9月のCurrent Blackjack Newsletterによると、ラスベガスには2099台のブラックジャックテーブルがありました。以下の表は、最も大きな4つのバリエーションがいくつあるかを示しています。

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