Wizardに尋ねる #263
2010年10月29日、 ラスベガス・レビュー・ジャーナル紙はリード対アングル上院議員選挙の世論調査を掲載しました。625人の有権者を対象とした調査では、アングル氏が49%、リード氏が45%の支持を得て勝利しました。また、誤差は4%とされています。そこで、私の疑問点は以下のとおりです。
- アングルが勝つ確率はどれくらいでしょうか？
- アングル氏の得票率の 95% 信頼区間はどれくらいでしょうか?
- 誤差の範囲とは何を意味しますか?
少し古い返信で申し訳ありません。選挙前に以下の記事を書きました。
まず、残りの6%を除外します。彼らはまだ決めていないか、第三政党の候補者、あるいはネバダ州では選択肢となる「どちらでもない」に投票するでしょう。この仮定に異論を唱える人もいるかもしれません。正直なところ、彼らを無視するもう一つの理由は、候補者が2人以上になると計算が複雑になるからです。つまり、四捨五入すると、アングル氏に306票、リード氏に281票、合計587票がサンプルに残ります。
この質問に答えるために、標準正規分布の近似値を用います。もし完璧主義者なら、実際の平均値と分散が不明なため、 T分布を使用します。しかし、私の意見では、正規分布の場合、標本サイズは587で十分です。
サンプルサイズ = 306+281 = 587。
角度サンプル平均は 306/587 = 0.521295 です。
平均値の推定標準偏差は(0.521295 × 0.478705 / (587-1))^0.5 = 0.0206361です。
50%を超えるAngleのシェアは、(0.521295-0.5)/0.0206361 = 1.031917標準偏差です。
正規分布によれば、リードが期待値より1.031917標準偏差高い成績を残す確率は0.151055です。これはExcelの関数NORMSDIST(-1.031917)で計算できます。したがって、アングルの勝利確率は1-0.151268 = 84.89%となります。
95%信頼区間を作成するには、ガウス曲線の両側2.5%の点が平均値から1.959964標準偏差離れていることに留意してください。これはExcel関数NORMSINV(0.975)で求めることができます。既に述べたように、標本平均値の推定標準偏差は0.0206361です。したがって、どちらの候補者も世論調査結果から0.0206361×1.959964 = 0.040446標準偏差以内に収まる確率は95%です。したがって、Angleの95%信頼区間は0.521295 +/- 0.040446 = 48.08%から56.17%となります。
「アングル/リード選挙におけるアングルの得票数のうち、アングルの得票数が48.08%と56.17%の間に収まる確率は95%である」と表現するのは数学的に正しくないと言われました。当初はそう表現したのですが、二人の統計学者が私の表現に愕然としました。彼らの返答を言い換えると、「48.08%と56.17%がアングルの得票数を95%の確率で取り囲む」と受動態で表現しなければならないと言われました。正直に言うと、私には同じに聞こえます。しかし、彼らは信頼区間はランダムでアングルの得票数は不変であり、私の最初の表現は正反対の意味を示唆していると強調しました。いずれにせよ、頻度主義の統計学者の方々には、後者の表現で納得していただければ幸いです。
「誤差幅」とは、95%信頼区間の両端の差の半分です。この場合、(56.17% - 48.08%)/2 = 4.04%となります。
続いて、実際の結果は次のとおりです。
リード：361,655
角度: 320,996
その他: 21,979
つまり、「その他」の票を除くと、リード氏は53.0%、アングル氏は47.0%を獲得した。リード氏が6%の差で快勝したことになる。では、なぜ世論調査がこれほど大きく外れたのかという疑問が湧いてくる。偶然だったのだろうか？有権者の考えが変わったのだろうか？それとも、そもそも世論調査が悪かったのだろうか？これらの疑問は読者の皆さんに委ねます（教科書にそう書いてあるのが嫌なのです）。
この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。
最近のカーニバルで、三目並べ風のゲームがありました。1回1ポンドで、底に9つのポケットがある大きな木箱に向かって、ものすごく弾むボールを3つ投げます。すべてのボールがそれぞれ異なるマスに落ちると仮定した場合、勝つ確率はどれくらいでしょうか？
2人が勝つ方法は8通りあります。3つの行、3つの列、そして2つの対角線です。9つのマス目から3つのマス目を選ぶ組み合わせは(9,3)=84通りあります。したがって、勝つ確率は8/84 = 9.52%です。
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オンラインカジノで「ライブ ブラックジャック」を提供するというと、カードカウンティングを要求しているように思えるのは私だけでしょうか?
確かに、それは良いアドバンテージプレイのように思えます。5dimesのライブカジノゲームでは、以下のルールが採用されています。
- 6つのデッキ。
- シューの開始時に1枚、そして30分ごとにディーラーが交代するたびに1枚バーンカードが配られます。スーパーバイザーが介入する必要がある場合（私は2回経験しましたが）、3枚のカードがバーンされます。
- ディーラーはソフト17でスタンドします。
- エース以外に対しては早期降伏。
- スプリット後のダブルは許可されます。
- 両手のみに分割します。
- ホールカードはありませんが、ディーラーのブラックジャックに対してプレイヤーは元の賭け金を失います。
- 賭け金の範囲: $5～$250、$10～$250、または$25～$500
これらのルールに基づくハウスエッジは 0.24% です。
ルールではペネトレーションは75%とされています。シューごとに見られるカードの枚数を2回数えたところ、どちらも211枚で、68%でした。私のフォーラムのメンバーであるShortowさんが、カットカードの配置に関する2つの動画をYouTubeに投稿しました。動画1と動画2です。動画2の方がペネトレーションが少し深かったように見えます。ディーラーによって60%から70%の範囲だと思います。
プレイヤーはこのゲームを簡単にカウントできるだけでなく、別の画面で電卓を使って完璧な判断を下すこともできました。ブラックジャック・リアルタイム・アナライザーは、まさにそれを実現する製品の一つです。しかし、どのようなゲーム保護対策が取られているのかは分かりません。すべてのカードをスキャンすれば、カウントとベット額の相関関係を特定し、相関が十分に高い場合は警告を出すことは難しくないでしょう。
試してみると、何が起こるか興味があります。
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以前ブックメーカーをやっていた友人と、今シーズンのNFLレギュラーシーズン全試合の50%以上の試合でスプレッドを上回れるという賭けをしました。私が勝てば1000ドル、彼が勝てば500ドルを支払います。2010年10月31日（日）までに19試合のリードがあり、彼は取引を持ちかけています。ここで、どんなオファーを受けるのが良いでしょうか？
素晴らしい賭けだ。まるで赤ちゃんからキャンディーを奪うみたいだ。コイン投げで2対1の配当を得るようなものだ。引き分けなら勝ちだから、なおさら良い。
本稿執筆時点で、レギュラーシーズンは256試合中95試合が終了しています。二項分布を用いると、あなたの勝利確率は99.87%となります。妥当な決済価格は998.02ドルです。
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