Wizardに尋ねる #277

まず、16対10はヒットとスタンドの非常にギリギリのハンドであることを改めて強調しておきます。もしサレンダーが認められているなら、基本戦略プレイヤーにとってはヒットかスタンドするよりもはるかに有利です。そうでなければ、平均的にはヒットする方がわずかに有利です。8デッキのシューからスモールカードを1枚取り除くだけで、スタンドする確率が上がります。スモールカードが1枚減るとラージカードが多くなり、ヒットする方が危険になるからです。だからこそ、16が3枚以上のカードで構成されている場合はスタンドすべきだと私は言います。3枚の16は、通常シューから少なくとも2枚のスモールカードを取り除いているからです。

第二に、シャッフル後の最初のハンドにおいて、基本戦略とカードカウンティング戦略のプレイ方法が異なる場合、基本戦略が優先されます。基本戦略は、観察された特定のカードに基づいてデッキの構成を正確に考慮するように慎重に作成されています。インデックス値の表は、シュー全体に適用できるより鈍いツールです。

この特定のケースでは、カードカウンターは真のカウントをどのように切り捨てるかによってヒットするかスタンドするかを選択できます。切り捨てた場合、真のカウントは-1となり、ヒットとなります。切り上げた場合、つまり最も近い整数にした場合、真のカウントは0となり、スタンドとなります。ちなみに、ドン・シュレシンジャー著『ブラックジャック・アタック』によると、切り捨ての方法として「フロアリング」、つまりこの場合は-1に切り捨てる方法が選ばれており、プレイヤーは正しくヒットとなります。

もう一つの似たような状況は、15対10です。83%の確率で(10+5または8+7で、9+6ではない)、シャッフル後の最初のハンドでランニングカウントが-1になり、降伏のインデックス番号は0になります。切り捨てにより、降伏した方が良い場合でも、プレイヤーは誤ってヒットすることになります。

結論として、シャッフル後の最初の決定において、他のプレイヤーのカードがまだ分かっていない場合、カードカウンターは基本戦略を用いるべきです。その後は、インデックス番号の使用を再開します。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

分かりません。正確に言えるのは、現在プレイされているカジノゲームの中で、最も古い特許はカリビアンスタッドポーカーだということです。それ以前にも、実現しなかったゲームの特許はあったはずです。カリビアンスタッドの特許は1988年4月18日に出願され、1989年6月6日に発行されました。特許番号は4,836,553です。

質問とは関係ないのですが、当時のカジノゲームの特許は発行日から17年、または出願日から20年のいずれか長い方の期間有効でした。1995年にこの期間は出願日から20年に延長されました。カリビアンスタッドの場合、特許は2008年に失効していたはずです。しかし、カリビアンスタッドには依然として有効な商標が残っていると思います。つまり、カジノはロイヤルティを支払わずにゲームを提供できますが、商標登録されていない別の名前を考えなければならないということです。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

はい！投げる人の手の中の表向きの面に賭けましょう。ペルシ・ディアコニス、スーザン・ホームズ、リチャード・モンゴメリーによる学術論文「コイントスにおける動的バイアス」では、コインが投げた面と同じ面に落ちる確率は51%と結論付けられています。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

このような一連の質問にほぼ正確な答えを得るには、行列代数を使う必要があります。似たような、しかしより簡単な質問に、 2010年6月4日のコラムで回答しました。行列代数がまだ苦手なら、まずそちらを復習することをお勧めします。

ステップ1：最初の5,000ハンドでロイヤルが0～6個以上出現する確率を求めます。ロイヤル出現の確率を40,000分の1と仮定します。5,000ハンドにおけるロイヤル出現の期待値は5,000/40,000 = 0.125です。ポアソン分布を用いると、ちょうどr個のロイヤル出現の確率はe ^-0.125 × 0.125 ^r /r!となります。これらの確率は以下のとおりです。

ステップ2：残りの24,995,000ハンドには7つの状態があると仮定します。それぞれの状態において、前の5,000ハンドでロイヤルが0、1、2、3、4、または5個になるか、あるいはプレイヤーが既に5,000ハンドでロイヤルを6個獲得している可能性があります。この場合、成功は達成され、取り消されることはありません。新しいハンドごとに、プレイヤーの状態には以下の3つのいずれかが起こります。

1. レベルが下がります。これは、5,000ゲーム前にプレイされたハンドがロイヤルで、現在ドロップアウトしているが、新しいハンドがロイヤルでなかった場合に発生します。
2. 同じレベルのまま。これは通常、5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルでなく、新しいハンドもロイヤルでない場合、発生します。また、5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルで、新しいハンドもロイヤルである場合にも発生することがあります。
3. レベルアップ。5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルでなく、新しいハンドがロイヤルの場合に発生します。

ステップ 3: 追加でプレイされるゲームの各状態の変化のオッズの遷移マトリックスを作成します。

最初の行は、新しいハンドがプレイされる前のレベル0に相当します。次のハンドでレベル1に進む確率は40,000分の1です。レベル0に留まる確率は39,999/40,000です。

2行目は、新しいハンドがプレイされる前のレベル1に対応します。次のハンドでレベル2に進むオッズは、ドロップオフしたハンドでロイヤルを失わず、新しいハンドでロイヤルを獲得するオッズ = (4999/5000) × (1/40000) = 0.0000250 です。レベル0に戻るオッズは、ドロップオフしたハンドでロイヤルを獲得せず、現在のゲームでロイヤルを獲得するオッズ = (1/5000) × (39999/40000) = 0.0002000 です。同じままである確率は、pr(ロイヤルの離脱なし) × pr(新しいロイヤルなし) + pr(ロイヤルの離脱) × pr(新しいロイヤル) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750 です。

2行目から6行目の確率は、過去5,000ハンドの履歴におけるロイヤルの数に依存します。ロイヤルの数が多いほど、新しいハンドがプレイされる際にロイヤルが1つ消える確率が高くなります。rを過去5,000ハンドにおけるロイヤルの数、pを新しいロイヤルが出る確率とします。

Pr(レベルアップ) = Pr(ロイヤルの離脱なし) × Pr(新しいロイヤル) = (1-(r/5000))× p。

Pr(同じレベルに留まる) = Pr(ロイヤルの離脱なし) × Pr(新しいロイヤルなし) + Pr(ロイヤルの離脱) × Pr(新しいロイヤル) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p。

Pr(レベル降格) = Pr(王族の脱退) × Pr(新しい王族なし) = (r/5000)× (1-p)。

7行目は、5,000ハンド中6枚のロイヤルを獲得するという成功状態を達成したことに相当します。一度この偉業を達成すると、その成功状態は二度と剥奪されないため、その成功状態を維持できる確率は100%です。

遷移行列の行は、上段のレベル0から始まる、新しいハンド前のレベルに対応します。列は、左段のレベル0から始まる、新しいハンド後のレベルに対応します。行列の数値本体は、1ゲームで各古い状態から各新しい状態に移行する確率に対応します。これをT1 = と呼びましょう。

この遷移行列を自身で乗算すると、連続する2つのゲームにおける各状態変化の確率が得られます。これを2つのゲームにわたる遷移行列T2と呼びましょう。

ちなみに、Excelで同じサイズの2つの行列を掛け合わせるには、まず新しい行列を配置したい領域を選択します。次に、=MMULT(行列1の範囲, 行列2の範囲)という数式を使用します。最後にCtrl+Shift+Enterキーを押します。

T2 を自身で乗算すると、連続する 4 つのゲームにおける各状態変化の確率、つまり T4 が得られます。

したがって、T-16,777,216 に達するまで、この倍増プロセスを 24 回繰り返します。

もう一度倍にすると、目標のT-24,995,500を超えてしまいます。そこで、既に計算済みのより小さな遷移行列を慎重に掛け合わせる必要があります。2の累乗を使えばどんな数値でも求めることができます（2進法の醍醐味です！）。この場合、T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T- ^{2 19 ×} T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 13 × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

正直に言うと、シンプルさと時間節約のため、最後の4回の掛け算は気にする必要はありません。これらは最後の56ハンドにのみ対応しており、その56ハンドが最終結果に影響を与える確率はごくわずかです。完璧主義の読者の多くは、もし可能なら私がそんなことを言ったら、きっと木小屋に叩き落とされるでしょう。

ステップ4: 5,000ハンド後の初期状態にT-24,995,500を掛けます。ステップ1のS-0を以下のようにします。

つまり、S-0 × T-24,995,500 =

一番下のセルの数字は、25,000,000ハンド中、5,000ハンド以内に少なくとも1回は6ロイヤルを達成する確率です。つまり、7,336分の1の確率です。

この質問にご協力いただいた CrystalMath に感謝します。