Wizardに尋ねる #278

4～6ポイント：((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

8～10ポイント：((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

この質問は、私のコンパニオンサイトである Wizard of Vegas のフォーラムにて提起および議論されました。

過去の経験に基づくと、1 試合あたり少なくとも 1 回のセーフティの確率は 5.77% です。

1試合あたりのセーフティの予想数は -ln(1-0.0577) = 0.0594 となります。

チームあたりの四半期あたりの予想数は 0.0594/8 = 0.0074 になります。

1クォーター中に同じチームが2回セーフティを獲得する確率は、e ^-0.0074 ×0.0074 ² /fact(2) = 36,505分の1となる。

NFLのシーズンは267試合あり、267×8=2,136チームのクォーター戦があります。つまり、私の推定では、これは平均して36,505÷2,136=17.1年に1回発生することになります。

これはあくまでも大まかな推測として捉えてください。簡潔にするため、ゲームには考慮していない要素がいくつかあります。

有効なロールとみなされるかどうかは、場所によって異なります。ニュージャージー州の賭博規則19:47-1.9(a)には次のように規定されています。

サイコロのどちらか一方または両方がテーブルから外れた場合、または一方のサイコロがもう一方のサイコロの上に止まった場合、サイコロの振りは無効となります。 -- NJ 19:47-1.9(a)

ペンシルベニア州にも全く同じ規制、 第537.9条(a)があります。

サイコロのどちらか一方または両方がテーブルから外れた場合、または一方のサイコロがもう一方のサイコロの上に止まった場合は、サイコロのロールは無効となります。 -- PA 537.9(a)

ラスベガスのサイコロディーラーに尋ねたところ、ここでは有効なロールとみなされるのは、そうでなければ有効な投げ方だと教えてくれました。ディーラー自身も実際にそのような場面を見たことはないそうですが、もし実際にそのような場面があったとしても、ディーラーは上のサイコロを動かして下のサイコロの目を確認するだけだと言っていました。しかし、上のサイコロに触れたり、透かしたりしなくても、下のサイコロの出目を知ることは可能です。その方法をご紹介します。まず、4つの面を見ることで、上のサイコロの可能性を2つに絞り込むことができます。3つの可能性に基づいて、どのように判断するかをご説明します。

• 1 または 6：3 を探します。一番上の点が 5 に接している場合は、1 が上です。そうでない場合、2 に接している場合は、6 が上です。
• 2または5：3を探します。一番上の点が6に接している場合は、2が上です。そうでない場合、1に接している場合は、5が上です。
• 3 または 4：2 を探します。一番上の点が 6 に接している場合は、3 が上です。そうでない場合、一番上の点が 1 に接している場合は、4 が上です。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

この質問はTwoPlusTwo.comで出題され、 BruceZ氏によって正解されました。以下の解答はBruceZ氏と同じ方法で、BruceZ氏には敬意を表すべきでしょう。難しい解答ですので、ご注意ください。

1. まず、合計2が出るまでの期待される回数を考えてみましょう。2が出る確率は1/36なので、最初の2が出るまで平均36回振る必要があります。

2. 次に、2と3の両方が出るのに必要なサイコロの期待回数を考えてみましょう。2が出るまでには平均36回振る必要があることは既に分かっています。2が出るのを待っている間に3が出れば、3が出るまで追加でサイコロを振る必要はありません。しかし、そうでない場合は、3が出るまでにさらにサイコロを振る必要があります。

   3が出る確率は1/18なので、2が先に出た場合、3が出るまで平均18回追加でサイコロを振る必要があります。2が出る可能性は1通り、3が出る可能性は2通りあるので、2が先に出る確率は1/(1+2) = 1/3です。

   つまり、3が出るのに18回追加で振る必要がある確率は1/3です。したがって、2と3の両方が出るのに必要な期待値は36+(1/3)×18 = 42となります。

3. 次に、4が出るまであと何回サイコロを振る必要があるかを考えてみましょう。2と3を振った時点でまだ4が出ていない場合、4が出るまでには平均してあと12回サイコロを振る必要があります。これは、4が出る確率が1/12だからです。

   2と3を達成する前に4を達成する確率はどれくらいでしょうか？まず、AとBが互いに排他的でない場合の一般的な確率の法則を確認しましょう。

   pr(A または B) = pr(A) + pr(B) - pr(A および B)

   pr(A and B) を減算するのは、その偶然性が pr(A) + pr(B) に二重にカウントされているからです。つまり、

   pr(4 が 2 または 3 の前) = pr(4 が 2 の前) + pr(4 が 3 の前) - pr(4 が 2 と 3 の前) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   2と3が出るまでの過程で4が出ない確率は1.0 - 0.85 = 0.15です。つまり、12回追加で振る必要がある確率は15%です。したがって、2、3、4が出るまでの期待値は42 + 0.15 * 12 = 43.8となります。

4. 次に、5が出るまであと何回サイコロを振る必要があるかを考えてみましょう。2～4を振った時点でまだ5が出ていない場合、5が出る確率は4/36 = 1/9なので、平均してあと9回サイコロを振る必要があります。

   2、3、4を達成する前に5を獲得する確率はどれくらいでしょうか？一般的なルールは次のとおりです。

   pr (A または B または C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A および B) - pr(A および C) - pr(B および C) + pr(A および B および C)

   つまり、pr(5が2または3または4より前) = pr(5が2より前)+pr(5が3より前)+pr(5が4より前)-pr(5が2と3より前)-pr(5が2と4より前)-pr(5が3と4より前)+pr(5が2、3、4より前) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90 です。2から4までの過程で4が出ない確率は、1 - 83/90 = 7/90 です。つまり、7.2回追加で振る必要がある確率は7.78%です。したがって、2、3、4、5が出るのに必要なロール回数の期待値は、43.8 + (7/90)*9 = 44.5となります。

5. 同じ論理を、合計6から12まで繰り返します。最後の数字が毎回ほぼ倍増するため、次の数字が出る確率を求めるために必要な計算回数は、12に達するまでに1,023回になります。

   pr(A or B or C or ... or Z)の一般的なルールは次のとおりです。

   pr(A または B または C または ... または Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (AとB) - pr(AとC) - ... - pr(YとZ) 2つのイベントのすべての組み合わせの確率を引きます
   + pr (AとBとC) + pr(AとBとD) + ... + pr(XとYとZ) 3つのイベントのすべての組み合わせの確率を加算します
   - pr (AとBとCとD) - pr(AとBとCとE) - ... - pr(WとXとYとZ) 4つのイベントのすべての組み合わせの確率を引きます

   これを繰り返しながら、奇数事象には確率を加算し、偶数事象には確率を減算することを忘れないようにしてください。起こり得る事象の数が多い場合は、当然ながらこの作業は面倒になり、スプレッドシートやコンピュータプログラムが実質的に必要になります。

以下の表は、各ステップにおける期待値を示しています。例えば、2が出る場合は36、2と3が出る場合は42です。右下のセルには、11個の合計目をすべて出すために必要なロールの期待値が61.217385であることを示しています。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。