Wizardに尋ねる #279
50/50のゲームで2回連続で負けるには、平均して何回試行する必要がありますか？3回連続、4回連続、n回連続で負ける場合はどうでしょうか？
まず、2 人が負けた場合を解決してみましょう。
x を、最初から、または勝利した後に予想される将来のコイントスの回数とします。
1 回の負けの後の将来の予想フリップ回数を y とします。
次の 2 つの方程式を立てることができます。
（1）x = 1 + 0.5x + 0.5y
1は、プレイヤーが状態を変えるためにコインを投げなければならないことを表しています。勝てば状態xのままになる確率は50%です。負ければ状態yに進む確率は50%です。
（2）y = 1 + 0.5x
再び状態yから、1はその時点でのコイントスを表します。勝利の確率は50%で、状態xに戻ります。敗北の確率は50%で、ゲームは終了し、追加のコイントスは不要になります。つまり、0.5*0となります。
両方の式を 2 倍にして並べ替えると次のようになります。
（3）x - y =2
（4）-x + 2y = 2
2 つの方程式を追加すると次のようになります。
（5）y = 4
これを(1)から(4)までの任意の方程式に代入するとx=6になります。
3 つの損失の場合、3 つの可能な状態を次のように定義します。
x を、最初から、または勝利した後に予想される将来のコイントスの回数とします。
1 回の負けの後の将来の予想フリップ回数を y とします。
2 回負けた後の将来のフリップの予想回数を z とします。
初期方程式は次のとおりです。
x = 1 + 0.5x + 0.5y
y = 1 + 0.5x + 0.5z
z = 1 + .5x
初期状態を行列形式で次のように設定できます。
| 0.5 | -0.5 | 0 | 1 |
| -0.5 | 1 | -0.5 | 1 |
| -0.5 | 0 | 1 | 1 |
行列代数を覚えていれば、xを行列式(A)/行列式(B)として解くことができます。
A =
| 1 | -0.5 | 0 |
| 1 | 1 | -0.5 |
| 1 | 0 | 1 |
B =
| 0.5 | -0.5 | 0 |
| -0.5 | 1 | -0.5 |
| -0.5 | 0 | 1 |
| 0.5 | -0.5 | 0 |
| -0.5 | 1 | -0.5 |
| -0.5 | 0 | 1 |
Excelには便利な行列式関数「=mdeterm(範囲)」があります。この場合、x = mdeterm(行列A)/mdeterm(行列B) = 1.75/0.125 = 14となります。
連続して負けた場合も再帰処理を使うことができます。4を考えてみましょう。上記の例から、3連敗するには平均14回投げる必要があることがわかります。その時点でコインはもう一度投げられ、50%の確率で最初からやり直しになります。つまり、
x = 14 + 1 + x/2
x/2 = 15
x = 30
つまり、前の答えに 1 を加えて、それを 2 倍にします。
このパターンは簡単に見分けられます。n回連続で負ける場合の期待値は2 n+1 -2です。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されました。
「魔法使いに聞く」コラム#277で、最古のカジノゲームの特許について質問されました。回答ではカリビアンスタッドポーカーについて触れられていましたが、これは最初のカジノ特許ではありませんでした。しかし、成功したゲームに関する最初の特許になる可能性はあります。Google の特許検索で調べてみたところ（信じられないかもしれませんが、USPTOのサイトでは1976年より前の特許は見つかりません）、カジノ系ゲームに関する最も古い特許は、1898年に発行されたゲーム機器の特許でした。
ありがとう。それが何の特許なのかは分かりませんが、カジノゲームの開発ビジネスがそれほど古くからあるというのは興味深いですね。
ドイル・ブランソンは、1976年と1977年のワールドシリーズ・オブ・ポーカーのメインイベントで優勝したことで有名です。どちらの場合も彼は10-2のホールカードを持ち、リバーでフルハウスを完成させました。そのオッズはどれくらいでしょうか？
異なるランクのカードが2枚ある場合、フルハウスが完成する確率は121.6分の1です。リバーでフルハウスが完成する確率は207分の1です。
リバーで 2 回のうち 2 回このようなハンドが完成する確率は 43,006 分の 1 です。
ランクのみで同じ 2 枚の開始カードでこれが発生する確率は、3,564,161 分の 1 です。
両方の場合ともちょうど 10-2 でこれが起こる確率は、295,379,826 分の 1 です。
ポーカーゲームでプレイヤーがゲームの途中で死んだらどうなるのでしょうか?
ネバダ州の元ゲーミング規制当局兼カジノ社長にこの件について尋ねたところ、インターネットポーカーで偶発的な切断が発生した場合と同様に、「オールイン」のような状況として扱われるだろうとのことでした。
つまり、死亡時に中央のチップでサイドポットが作られ、その後の追加ベットは別のポットに積み立てられます。死亡したプレイヤーが最強のハンドを持っていた場合は、サイドポットを獲得します。勝敗に関わらず、そのハンドの後にテーブルに残っていたチップは、故人の遺産として積み立てられます。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されました。
パイゴウテーブルで、ディーラーに自分の牌の置き方を確認してもらい、ハウスウェイ（ハウス流）でプレイしたかどうか確認してもらうことはできますか？ハウスウェイがベストなプレイ方法となる頻度はどのくらいですか？
ゲームの進行を遅らせない限り、特にテーブルに大口のベットをするプレイヤーがいる場合は、通常、自分の牌の並べ方を見せてディーラーに「こうやってもいいですか？」と尋ねることができます。ディーラーの忍耐力や他のプレイヤーの反対の有無にも左右されます。私の知り合いのディーラーは、自分で牌を並べる必要がある時に混乱してしまうため、尋ねられるのを嫌がっていました。どんな難しいゲームでも、初心者であれば、最初は一人でテーブルを占拠することをお勧めします。そうすれば、質問ばかりして他のプレイヤーに迷惑をかけることがありません。
2つ目の質問に関してですが、プレイヤーが伝統的なハウスウェイに逆らう場合、ハウスウェイは80.2%の確率で正解となります。残りの19.8%が、パイゴウをマスターするのが非常に難しいゲームであるもう一つの理由です。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されました。
このゲームを知らない方のために説明すると、攻撃側と防御側はそれぞれ1～8個のサイコロを振り、その時点でのそれぞれの軍隊数に応じて出目が大きくなります。出た目が大きい方が勝利します。同点の場合は防御側が勝利します。攻撃側が敗北した場合、攻撃を開始した領土に軍隊を1つ保持できます。そのため、攻撃には少なくとも2つの軍隊が必要です。攻撃に勝利した場合、1つは征服した領土に駐留し、もう1つは残留することができます。
次の表は、合計 64 通りのサイコロの組み合わせに応じて、攻撃側の勝利の確率を示しています。
攻撃側の勝利確率
| アタッカー | ディフェンダー | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 陸軍 | 2つの軍隊 | 3つの軍隊 | 4つの軍隊 | 5つの軍隊 | 6つの軍隊 | 7つの軍隊 | 8つの軍隊 | |
| 2 | 0.837963 | 0.443673 | 0.152006 | 0.035880 | 0.006105 | 0.000766 | 0.000071 | 0.000005 |
| 3 | 0.972994 | 0.778549 | 0.453575 | 0.191701 | 0.060713 | 0.014879 | 0.002890 | 0.000452 |
| 4 | 0.997299 | 0.939236 | 0.742831 | 0.459528 | 0.220442 | 0.083423 | 0.025450 | 0.006379 |
| 5 | 0.999850 | 0.987940 | 0.909347 | 0.718078 | 0.463654 | 0.242449 | 0.103626 | 0.036742 |
| 6 | 0.999996 | 0.998217 | 0.975300 | 0.883953 | 0.699616 | 0.466731 | 0.259984 | 0.121507 |
| 7 | 1.000000 | 0.999801 | 0.994663 | 0.961536 | 0.862377 | 0.685165 | 0.469139 | 0.274376 |
| 8 | 1.000000 | 0.999983 | 0.999069 | 0.989534 | 0.947731 | 0.843874 | 0.673456 | 0.471091 |
次の表は、攻撃側の期待利益を示しています。これは、pr(攻撃側の勝利数)*(防御側のダイス数)+pr(防御側の勝利数)*(攻撃側のダイス数-1)として定義されます。この表から、5の出目を持つ相手に対して8の出目を持つ攻撃をした場合、最大の期待利益が得られることがわかります。
攻撃側の勝利による純利益
| アタッカー | ディフェンダー | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 陸軍 | 2つの軍隊 | 3つの軍隊 | 4つの軍隊 | 5つの軍隊 | 6つの軍隊 | 7つの軍隊 | 8つの軍隊 | |
| 2 | 0.675926 | 0.331019 | -0.391976 | -0.820600 | -0.963370 | -0.994638 | -0.999432 | -0.999955 |
| 3 | 0.918982 | 1.114196 | 0.267875 | -0.849794 | -1.575009 | -1.880968 | -1.973990 | -1.995480 |
| 4 | 0.989196 | 1.696180 | 1.456986 | 0.216696 | -1.236464 | -2.249193 | -2.745500 | -2.929831 |
| 5 | 0.999250 | 1.927640 | 2.365429 | 1.744624 | 0.172886 | -1.575510 | -2.860114 | -3.559096 |
| 6 | 0.999976 | 1.987519 | 2.802400 | 2.955577 | 1.996160 | 0.134041 | -1.880192 | -3.420409 |
| 7 | 1.000000 | 1.998408 | 2.951967 | 3.615360 | 3.486147 | 2.221980 | 0.098807 | -2.158736 |
| 8 | 1.000000 | 1.999847 | 2.990690 | 3.884874 | 4.372772 | 3.970362 | 2.428384 | 0.066365 |
2012年1月23日のディルバートのアニメを見ましたか？ ウォーリーはパイゴウ（牌）をプレイしていたのでしょうか、それともパイゴウポーカーをプレイしていたのでしょうか？
はい！大好きでした。ウォーリーはタイル遊びをしていたと思います。理由は以下のとおりです。
- ウォーリーは、タイルテーブルにいるような非アジア人プレイヤーのように見えます。
- ディルバートは科学的なタイプで、通常は正しい用語を使うことにこだわる。パイゴウポーカーを「パイゴウ」と呼ぶのは間違いであり、怠惰な行為だ。ほとんどの人がそう呼ぶのは知っているが、私はディルバートにもっと期待している。
- 2番目のフレームで、ディルバートはパイゴウは「大人のお酒を少し飲んだ後には覚えるのが難しいゲームだ」と言っています。彼が「プレイする」ではなく「学ぶ」と言っている点に注目してください。パイゴウポーカーはそれほど難しくありません。ポーカーの遊び方を理解しているなら、パイゴウポーカーは1分もかからずに簡単に説明できます。一方、タイルはプレイするだけでなく、覚えるのも難しいです。
- この漫画は春節（旧正月）に公開されました。もしかしたら、内輪のジョークだったのかもしれません。
万が一、スコット・アダムスがこれを読むことがあれば、明確な回答をいただければ幸いです。
この質問はWizard of Vegasの私のフォーラムで議論されました。