Wizardに尋ねる #288

2015 年のスーパーボウルの先物賭けによると、ラスベガスのさまざまなスポーツブック グループの平均ハウス エッジは次のとおりです。

あらゆる先物ベットの平均ハウスエッジを計算するには、私のスポーツ先物計算機を使用してください。

残念ながら、そうなのです。ジェリーズ・ナゲットは、2レグ6ポイントのNFLティーザーで-110、3レグで+180、4レグで+300という寛大なオッズを提供していた最後の店でした。ウォン・ティーザー（3ポイントと7ポイントの勝利点差を越える）を利用することで、これは確実に有利な賭けとなりました。

ラスベガスの現在のパーレーとティーザーのオッズはすべて、Wizard of Vegas.com の私のスポーツブック調査でご覧いただけます。

フットボールのティーザー全般の詳細については、私のNFL のティーザーベットのページをご覧ください。

いいえ、彼は正しくありません。アンディのシングルベット戦略の確率は1/38 = 2.6316%です。

試行錯誤の末、私は「ヘイル メアリー」ルーレット戦略を考案しました。この戦略により、30 ドルを 1,000 ドルにする確率が 2.8074% に上がります。

ウィザードのルーレット「ヘイルメリー」戦略:

この戦略では、賭け金は1ドル単位で設定する必要があります。すべての賭け金の計算において、端数は切り捨てとなります。

させて：
b = あなたの資金
g = あなたの目標

1. 2*b >=g の場合、任意のイーブンマネーベットに (gb) を賭けます。
2. それ以外の場合、3*b >=g であれば、任意の列に (gb)/2 を賭けます。
3. それ以外の場合、6*b >=g の場合は、任意の 6 行 (6 つの数字) に (gb)/5 を賭けます。
4. それ以外の場合、9*b >=g の場合は、任意のコーナー（4 つの数字）に (gb)/8 を賭けます。
5. それ以外の場合、12*b >=g の場合は、任意のストリート（3 つの数字）に (gb)/11 を賭けます。
6. それ以外の場合、18*b >=g の場合は、任意のスプリット（2 つの数字）に (gb)/17 を賭けます。
7. それ以外の場合は、任意の 1 つの数字に (gb)/35 を賭けます。

言い換えれば、可能であれば、目標額を超えずに、1回の賭けで常に目標に到達するように努めましょう。複数の方法がある場合は、勝率が最も高い方法を選びましょう。

他のゲームはどうなの？と疑問に思う人もいるかもしれません。ディスカバリーチャンネルのナレーターによると、「カジノで一攫千金を狙うならルーレットが一番だというのは誰もが認めるところだ」とのことです。しかし、私はそうは思いません。一般的なゲームとルールに限っても、クラップスの方が面白いと思います。特に、ドントパスに賭けてオッズに賭けるスタイルが気に入っています。

クラップスにおける私のヘイルメリー戦略（後述）に従うと、30ドルを1,000ドルにする確率は2.9244%です。これは、プレイヤーがポイントに関わらず6倍のオッズを賭けることができると仮定した場合です（3倍、4倍、5倍のオッズが認められている場合）。この成功確率は、ルーレットにおける私のヘイルメリー戦略よりも0.117%高く、アンディ・ブロックの戦略よりも0.2928%高くなります。

アンディは、私の上記の議論は最低ベット額が1ドルという前提に基づいていると反論するかもしれません。ラスベガスのライブディーラーゲームでは、そのような条件はなかなか見つかりません。そう言われるかもしれないと思い、私は両方のゲームを最低ベット額を5ドル、5ドル単位でベットするという前提でプレイしました。その場合、私のヘイルメリー戦略を用いた場合の勝率は、ルーレットでは2.753%、クラップスでは2.891%です。どちらの場合も、アンディ・ブロックの戦略を用いた場合の勝率2.632%を上回っています。

公平に言えば、ディスカバリーチャンネルが上記の狂気じみた暴言を放送することは決してなかったでしょう。きっと大衆に理解できるシンプルなものを探していたのでしょう。アンディは彼らが聞きたいことを教えてくれたに違いありません。彼のアドバイスの基本的な前提は、特定の目標を達成したいのであれば、ハウスエッジに何度も賭けて苦しむよりも、ヒットアンドラン戦略の方がはるかに優れているということです。これは間違いなく真実であり、私が17年間ずっと説き続けてきたことです。

クラップスにおけるウィザードの「ヘイル メリー」戦略。

この戦略では、賭け金は1ドル単位で、勝利金は最も近いドルに切り捨てられることを前提としています。賭け金を計算する際は、目標額を超えてしまうほどの金額を賭けないようにしてください。また、切り捨てられるような金額を賭けることも避けてください。

させて：
b = あなたの資金
g = あなたの目標

1. パスしない場合は、max($1,min(b/7,(gb)/6)) を賭けます。
2. ポイントが出た時に、フルオッズベットできる資金があれば、フルオッズを賭けましょう。そうでなければ、賭けられる金額を賭けましょう。

だから、アンディとディスカバリーチャンネルが喜んでくれることを願っている。彼らの考えが間違っていることを証明するために、何日もシミュレーションを繰り返してきたんだ。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されました。

これはサンクトペテルブルクのパラドックスとして知られています。

確かに、このゲームの期待勝利額は無限大ですが、同時に、コインが最終的に裏になり、最終的に得られる金額が有限になる確率も存在します。期待勝利額の計算は以下のとおりです。

期待勝利数 = pr(1回)×2 + pr(2回)×4 + pr(3回)×8 + pr(4回)×16 + pr(5回)×32 + pr(6回)×64 + ... =

(1/2) ¹ × 2 ¹ + (1/2) ² × 2 ² + (1/2) ³ × 2 ³ + (1/2) ⁴ × 2 ⁴ + (1/2) ⁵ × 2 ⁵ + (1/2) ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ¹ + ((1/2)*(2/1)) ² + ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2)*(2/1)) ⁶ + ...

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

プレイヤーが勝ち取るべき金額は有限であるのに、期待される勝利金額は無限であるという点が逆説的です。どうしてそうなるのでしょうか？

あまり納得のいく答えではないかもしれませんが、∞には多くのパラドックスが存在します。怒りのメールが届くかもしれませんが、そうした無限のパラドックスにもかかわらず、私が夜眠れるのは、∞が現実の物理宇宙において存在が証明されていない数学的または哲学的な概念であると信じているからです。この無限の概念、あるいは理論には、内在するパラドックスが内在しているのです。

これに反対する方は、無限の量や測定が証明されているものがあれば教えてください。ブラックホールの大きさの証拠がない限り、ブラックホールの密度が無限だなどと言わないでください。

このゲームにいくら払うべきかという最初の疑問に答えるためには、幸福度は金額に比例しないということを念頭に置く必要があります。私は経済学の授業で、お金から得られる効用、つまり幸福度は金額の対数に比例すると教わり、その考えに至りました。この仮定のもと、最初の資産がゼロの場合を除いて、二人の資産が同じ割合で増減した場合、二人とも幸福度の変化は同じになります。例えば、ジムの資産が突然1,000ドルから1,100ドルに増加し、ジョンの資産が突然10,000,000ドルから11,000,000ドルに増加した場合、二人とも幸福度は同じに増加します。なぜなら、どちらの場合も資産が10%増加したからです。お金から得られる幸福度が実際に金額の対数に比例すると仮定すると、次の表は、誰かがゲームにお金を払う前に、資産に応じて支払う意思のある最高額を示しています。

ご覧の通り、現実的な状況では、支払うべき金額は$∞よりもはるかに少ないです。例えば、資産が100万ドルの場合、$20.88でプレイしても問題ないでしょう。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。