Wizardに尋ねる #311

355 ミリリットルを缶に詰める場合、表面積を最小限に抑えるには寸法はどのくらいにすればよいでしょうか?

匿名

いい質問ですね！ゲームショーで細長いソーダ缶を見て、ちょうど同じ疑問を抱いていたんです。標準サイズと同じ355ミリリットルの容量だったんです。どっちも間違ってるはずがないですよね（シャーリーって呼ばないでね）。[ネタバレ] では：
r = 缶の半径
h = 缶の高さ
v = 缶の容積
s = 缶の表面積

簡単な幾何学から、表面積 = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h であることが分かります。

同様に、体積は pi*r^2*h であり、355 であることが分かっています。

つまり、355=pi*r^2*h です。

これを次のように並べ替えてみましょう。

(1) h = 355/(π*r^2)

私たちは知っています:

(2) s = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

式(1)のhの表現を式(2)に代入して、これを1変数の関数にしてみましょう。

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r。

最適な r を求めるために、 s の導関数をゼロに設定してみましょう。

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2 ) = 0

4*π*r = 710/(r^2)

両辺にr^2を掛けると：

4*π*r^3 = 710

r^3 = 177.5/πです。

r = (177.5/pi)^(1/3) = 3.837215248。

この値を式（1）に代入するとh = 7.674430496となります。[/spoiler]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

VFWのポーカーナイトから帰ってきたところです。6-6のホールが3回連続で出ました！こんなことは初めてです。一晩で同じランクのポケットペアが3回連続で出る確率はどれくらいでしょうか？一晩で合計120ラウンドあると仮定してもいいでしょう。

AZDuffman

答えと解決方法は以下のネタバレタグに記載されています。

[ネタバレ]

特定の時点では、次の 4 つの状態が考えられます。

状態 1: 最初のハンド、または最後のハンドがポケットペアではなかったハンド。
状態 2: 最後のハンドはポケットペアでした。
状態 3: 最後の 2 つのハンドは同じポケットペアでした。
状態 4: 同じポケットペアが 3 つ連続してすでに達成されています。

状態1にいる場合、3/51の確率で状態2に進むことができます。それ以外の場合は、状態1に留まります。

状態2の場合、(4/52)×(3/51)の確率で状態3に進むことができます。それ以外の場合は、状態1に戻ります。

状態3の場合、(4/52)×(3/51)の確率で状態4に進むことができます。それ以外の場合は、状態1に戻ります。

状態 4 の場合は、そのままの状態を維持します。

つまり、遷移行列 T は次のように作成できます。

0.941176	0.058824	0.000000	0.000000
0.941176	0.054299	0.004525	0.000000
0.941176	0.054299	0.000000	0.004525
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

合計 120 回のハンドがプレイされるので、T^120 を求めます。

0.941044	0.058549	0.000265	0.000141
0.941025	0.058548	0.000265	0.000162
0.936786	0.058284	0.000264	0.004666
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

右上のセルには、3 ハンドシーケンスで状態 1 から開始して 120 回のスタートハンド後に状態 4 に至る確率 (0.000141471) が表示されます。

その数の逆数を取ると、確率は 7068.605131 分の 1 になります。

[/spoiler]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

ビデオポーカーのプルタブマシンの説明で、次のような例を挙げています。「ゲームが5枚のカードドローのビデオポーカーゲームのように見えても、結果は決まっています。例えば、配られたカードでロイヤルフラッシュが完成し、それをすべて捨てても、ドローでもう一度ロイヤルフラッシュが完成するでしょう。」私の質問は、もし運命的な結果を不可能にするカードを捨ててしまったらどうなるかということです（例えば、デュースワイルドで2を捨てると4枚のデュースが完成する、あるいはダブルボーナスでエースを捨てると4枚のエースが完成するなど）。もしかしたら、このようなタイプのゲームは提供されておらず、ジャックス・オア・ベターのように、そのような状況が起こり得ないゲームだけが提供されているのでしょうか？

匿名

聞くところによると、妖精が現れて、ドローの手札を運命づけられたものに変えてしまうらしい。例えば、ディールで2枚の2が手札に残り、ドロー後に4枚の2に増える運命だったとしよう。もし2を捨てれば、ドローで残りの2枚は自然に手札に残るだろう。そして妖精は、捨てた2枚の2を2のジャンクカード2枚に変えるのだそうだ。

私の知るギャンブルのプロのほとんどは、ゲームのボラティリティを標準偏差ではなく分散で表すことを好むようです。もちろん、前者は後者の二乗に過ぎませんが、私は賭け金や勝敗と同じ単位である標準偏差の方が好きです。おそらく、彼らは大きなボラティリティを目立たせるために、より大きな数字を好むのでしょう。あなたの見解は？ギャンブラーは「分散」を使うことを好むのでしょうか？もしそうなら、その理由は何でしょうか？

Gary J. Koehler

ゲームの標準偏差よりも変動性の方がよく話題に上がるのは同意します。私もいつも少しイライラしています。ギャンブラーがゲームのボラティリティを気にするべきだと考える理由は、勝ち負けをプレイセッションの確率と関連付ける必要があるからです。例えば、ブラックジャックを200ハンドプレイした後、1%の負けはどれくらいになるでしょうか？その答えを見つけるには、ブラックジャックの標準偏差を使うことになります。これはルールにもよりますが、約1.15です。

この質問への具体的な答えは、1.15 × 200^0.5 × -2.32635（ガウス曲線上の1%の点）= 期待値より-37.83ユニット低いということになります。ハウスエッジがあるため、損失が出る可能性があることを忘れないでください。ハウスエッジを0.3%と仮定すると、200ハンドプレイ後、0.003×200 = 0.6ハンドの損失が予想されます。つまり、1%の損失は0.6 + 37.83 = 38.43ハンドになります。

ビンゴホールとして始まったミルウォーキーのカジノでは、今週1回のゲームで記録的な290個のビンゴが出現しました。パターンは「I」で、上下（上下に3つずつ、すべて「N」）または横向き（中央に「B」と「O」が3つずつ）でした。最初の「G」ボールが出るまで43回のコールが必要で、結果として大勢の当選者が出ました。当選者にはそれぞれ25ドルが贈られました。

これに関する記事はこちらです: ビンゴ! ポタワトミで単一ゲームでの勝者数の記録が樹立されました。

私の質問は、特定の文字の番号に電話をかけずに 43 回電話をかける確率はどれくらいかということです。

PlayYourCardsRight

ほとんどの人が特定の文字を待っているという同様の状況を経験したことがありますが、一度に当選者を見た最大人数は 25 人程度です。

44回のコールで、Gだけでなくいずれかの文字を避ける確率は1,517,276分の1であることを示しています。この確率の計算式は次のとおりです：5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

スポーツ賭博のオッズをアメリカ式とヨーロッパ式の間で変換するにはどうすればいいですか?

Teddys

アメリカ式に表現されたオッズを a、ヨーロッパ式に表現されたオッズを e としましょう。

アメリカからヨーロッパへ移動するには:

a>0の場合、e=1+(a/100)となります。
a<0の場合、e=(a-100)/aとなります。

ヨーロッパからアメリカへ移行するには:

e>=2の場合、a=100×(e-1)となります。
e<2の場合、a=100/(1-e)となります。