Wizardに尋ねる #312
コスタリカのスポーツブックBookMaker.euは、トランプ大統領が国境の壁に関するテレビ演説で虚偽の発言を何回するかに賭けをしました。オーバー/アンダーのオッズは3.5に設定されていました。賭けの96%はオーバーで、BookMaker.euは27万6424ドルの損失を出しました。あなたならこの賭けで、いくらのオッズを設定していたでしょうか？
ブックメーカーによると、一般的に政治的な虚偽発言を集計しているワシントン・ポスト紙が、虚偽発言の数の出典として使用されるとのことです。同紙によると、トランプ氏は2018年、1日平均15件の虚偽発言をしました。この賭けを分析する上で次に問われるべき点は、トランプ氏が1日にどれくらいの時間を公の場で発言に費やしているかということです。ツイート、インタビュー、そして即興の発言などを含めると、20分は妥当な推定値に思えます。少なくとも、端数としては妥当な数字です。単純に割り算すると、15/20 = 1分あたり0.75件の虚偽発言、つまり80秒ごとに1件という計算になります。
演説開始前にメディアは6分から8分と推定していました。その中間の7分としましょう。1分間に虚偽の発言が0.75件あると仮定すると、7分で5.25件の虚偽発言が推定されます。したがって、オーバー/アンダーは5.5と設定します。
ちなみに、虚偽の陳述の平均数を 5.25 と仮定すると、合計がポアソン分布に従って分布していると仮定した場合、虚偽の陳述が 3 つ以下となる確率は 23.17% になります。これは妥当な仮定だと思います。
ちなみに、最終的に虚偽の申告は6件と評価されました。
この質問は、Wizard of Vegas の Trump に関する非常に長いスレッドで尋ねられ、議論されていますが、この特定のトピックに関する議論はここから始まります。
シングルゼロルーレットでは、すべての数字が少なくとも 1 回表示されるために必要なスピン回数の平均と中央値はいくつですか。
平均値を求めるのはずっと簡単なので、まずはそこから始めましょう。ステップごとに見ていきましょう。
- 最初のスピンは間違いなく新しい数字になります。
- 2回目のスピンで新しい数字が出る確率は36/37です。ある事象の確率がpの場合、その事象が発生するまでの期待試行回数は1/pです。この場合、2番目の数字が出るまでの期待試行回数は37/36 = 1.0278です。
- 2つの数字が観測された後、次のスピンで新しい数字が出る確率は35/37です。したがって、2番目の数字の後に3番目の数字が出るまでのスピンの期待値は37/35 = 1.0571です。
- この論理に従うと、すべての数字が表示されるまでの平均スピン数は、1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690 になります。
中央値ははるかに複雑です。ランダムシミュレーションではなく、正確な答えを見つけるには、多くの行列代数を使用する必要があります。同様の問題の解決方法については、他のAsk the Wizardの質問で既に説明しているので、ここでは詳細を改めて説明しません。似たような質問の一例として、 Ask the Wizard #311で説明した、6-6ペアを3回連続でホールインする問題があります。145回のスピンですべての数字が出る確率は0.49161779、146回のスピンでは0.501522154です。したがって、中央値は146です。
この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
6面サイコロを12個持っているとします。それらを振り、好きなサイコロを脇に置いておき、残りのサイコロをもう一度振ります。2回振って12の目が出る確率はどれくらいでしょうか？
最初のロールには58種類の出目があります。それぞれの出目は、最も多く出る面の数、次にその面のサイコロの合計数、というように分類します。例えば、3、3、3、3、6、6、6、5、5、2をロールした場合は、4-3-2-1と表記されます。次の表は、各出目の組み合わせの数、その出目が出る確率、2回目のロールで12の出目が完成する確率、そしてこれら2つの値の積を示しています。2回目のロールの確率については、プレイヤーが最初のロールで合計が最も大きいサイコロを持っていると仮定します。右下のセルには、全体の確率が0.0000037953、つまり263,486分の1であることが示されています。
12個のサイコロの質問
| 順序 | 組み合わせ | 確率 順序 | 条件付き 確率 | 合計 確率 |
|---|---|---|---|---|
| 12-0-0-0-0-0 | 6 | 0.0000000028 | 1.0000000000 | 0.0000000028 |
| 11-1-0-0-0-0 | 360 | 0.0000001654 | 0.1666666667 | 0.0000000276 |
| 10-2-0-0-0-0 | 1,980 | 0.0000009096 | 0.0277777778 | 0.0000000253 |
| 10-1-1-0-0-0 | 7,920 | 0.0000036384 | 0.0277777778 | 0.0000001011 |
| 9-3-0-0-0-0 | 6,600 | 0.0000030320 | 0.0046296296 | 0.0000000140 |
| 9-2-1-0-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 9-1-1-1-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 8-4-0-0-0-0 | 14,850 | 0.0000068220 | 0.0007716049 | 0.0000000053 |
| 8-3-1-0-0-0 | 237,600 | 0.0001091519 | 0.0007716049 | 0.0000000842 |
| 8-2-2-0-0-0 | 178,200 | 0.0000818639 | 0.0007716049 | 0.0000000632 |
| 8-2-1-1-0-0 | 1,069,200 | 0.0004911837 | 0.0007716049 | 0.0000003790 |
| 8-1-1-1-1-0 | 356,400 | 0.0001637279 | 0.0007716049 | 0.0000001263 |
| 7-5-0-0-0-0 | 23,760 | 0.0000109152 | 0.0001286008 | 0.0000000014 |
| 7-4-1-0-0-0 | 475,200 | 0.0002183039 | 0.0001286008 | 0.0000000281 |
| 7-3-2-0-0-0 | 950,400 | 0.0004366077 | 0.0001286008 | 0.0000000561 |
| 7-3-1-1-0-0 | 2,851,200 | 0.0013098232 | 0.0001286008 | 0.0000001684 |
| 7-2-2-1-0-0 | 4,276,800 | 0.0019647348 | 0.0001286008 | 0.0000002527 |
| 7-2-1-1-1-0 | 5,702,400 | 0.0026196464 | 0.0001286008 | 0.0000003369 |
| 7-1-1-1-1-1 | 570,240 | 0.0002619646 | 0.0001286008 | 0.0000000337 |
| 6-6-0-0-0-0 | 13,860 | 0.0000063672 | 0.0000214335 | 0.0000000001 |
| 6-5-1-0-0-0 | 665,280 | 0.0003056254 | 0.0000214335 | 0.0000000066 |
| 6-4-2-0-0-0 | 1,663,200 | 0.0007640635 | 0.0000214335 | 0.0000000164 |
| 6-4-1-1-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-3-3-0-0-0 | 1,108,800 | 0.0005093757 | 0.0000214335 | 0.0000000109 |
| 6-3-2-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000214335 | 0.0000001965 |
| 6-3-1-1-1-0 | 13,305,600 | 0.0061125083 | 0.0000214335 | 0.0000001310 |
| 6-2-2-2-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-2-2-1-1-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000214335 | 0.0000002948 |
| 6-2-1-1-1-1 | 9,979,200 | 0.0045843812 | 0.0000214335 | 0.0000000983 |
| 5-5-2-0-0-0 | 997,920 | 0.0004584381 | 0.0000035722 | 0。0000000016 |
| 5-5-1-1-0-0 | 2,993,760 | 0.0013753144 | 0.0000035722 | 0.0000000049 |
| 5-4-3-0-0-0 | 3,326,400 | 0.0015281271 | 0.0000035722 | 0.0000000055 |
| 5-4-2-1-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-4-1-1-1-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-3-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-2-2-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-3-2-1-1-0 | 1億1975万4000 | 0.0550125743 | 0.0000035722 | 0.0000001965 |
| 5-3-1-1-1-1 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-2-2-2-1- | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 5-2-2-1-1-1 | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 4-4-4-0-0-0 | 69万3000 | 0.0003183598 | 0.0000005954 | 0.0000000002 |
| 4-4-3-1-0-0 | 24,948,000 | 0.0114609530 | 0.0000005954 | 0.0000000068 |
| 4-4-2-2-0-0 | 18,711,000 | 0.0085957147 | 0.0000005954 | 0.0000000051 |
| 4-4-2-1-1-0 | 74,844,000 | 0.0343828589 | 0.0000005954 | 0.0000000205 |
| 4-4-1-1-1-1 | 12,474,000 | 0.0057304765 | 0.0000005954 | 0.0000000034 |
| 4-3-3-2-0-0 | 49,896,000 | 0.0229219060 | 0.0000005954 | 0.0000000136 |
| 4-3-3-1-1-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000005954 | 0.0000000273 |
| 4-3-2-2-1-0 | 2億9937万6000 | 0.1375314358 | 0.0000005954 | 0.0000000819 |
| 4-3-2-1-1-1 | 1億9958万4000 | 0.0916876238 | 0.0000005954 | 0.0000000546 |
| 4-2-2-2-2-0 | 37,422,000 | 0.0171914295 | 0.0000005954 | 0.0000000102 |
| 4-2-2-2-1-1 | 1億4968万8000 | 0.0687657179 | 0.0000005954 | 0.0000000409 |
| 3-3-3-3-0-0 | 5,544,000 | 0.0025468784 | 0.0000000992 | 0.0000000003 |
| 3-3-3-2-1-0 | 1億3,305万6,000 | 0.0611250826 | 0.0000000992 | 0.0000000061 |
| 3-3-3-1-1-1 | 44,352,000 | 0.0203750275 | 0.0000000992 | 0.0000000020 |
| 3-3-2-2-2-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000000992 | 0.0000000045 |
| 3-3-2-2-1-1 | 2億9937万6000 | 0.1375314358 | 0.0000000992 | 0.0000000136 |
| 3-2-2-2-2-1 | 1億4968万8000 | 0.0687657179 | 0.0000000992 | 0.0000000068 |
| 2-2-2-2-2-2 | 7,484,400 | 0.0034382859 | 0.0000000165 | 0.0000000001 |
| 合計 | 2,176,782,336 | 1.0000000000 | 0.0000037953 |