Wizardに尋ねる #315
Final Jeopardyで、2位のプレイヤーが1位のプレイヤーの2/3以上の賞金を持っている場合、最適な戦略は何ですか？3位のプレイヤーは考慮しないと仮定します。
まず最初に免責事項を述べさせてください。以下の分析は統計的な平均値に基づいています。実際にプレイする方は、Final Jeopardyのカテゴリーをどれだけ熟知しているか、そして対戦相手の正解率を推測するなど、精神的な調整を行う必要があります。
あなたの質問に答えるために、私はまず、 Jeopardy アーカイブの 4 シーズン分のデータを調べ、1 位 (リード) と 2 位 (追随) のプレイヤーが Final Jeopardy に正解した場合と不正解した場合の 4 つの可能な組み合わせを確認しました。
最終ジェパディスコアカード
| リーディングプレーヤー | チェイスプレイヤー正解 | 追跡プレイヤーが正しくありません | 合計 |
|---|---|---|---|
| 正しい | 29.0% | 25.5% | 54.5% |
| 正しくない | 17.7% | 27.8% | 45.5% |
| 合計 | 46.8% | 53.2% | 100.0% |
先に進む前に、いくつかの変数を定義しましょう。
x = リードしているプレイヤーが上位に行く確率。
y = 追いかけるプレイヤーが上がる確率。
f(x,y) = 高いプレイヤーが勝つ確率。
上の表から、f(x,y) を x と y で表してみましょう。
f(x,y) = 0.823xy + 0.545x(1-y) + 0.468(1-x)y + (1-x)(1-y)
f(x,y) = 0.810 xy - 0.455x - 0.532y + 1
x と y の最適値を見つけるには、x と y の両方に関して f(x,y) の微分をとります。
f(x,y) d/dx = -0.455 + 0.810y = 0
したがって、y = 0.455/0.810 = 0.562
f(x,y) d/dy = -0.532 + 0.810x = 0
したがってx = 0.523/0.810 = 0.657
したがって、ハイプレイヤーは 65.7% の確率でハイに賭けるべきであり、ロープレイヤーは 56.2% の確率でハイに賭けるべきです。
観察した結果、ハイプレイヤーは65.7%以上の確率でハイを賭けていると思うので、もし私が2位だったらローを賭けるでしょう。
両方のプレイヤーがこのランダム化戦略に従う場合、リードしているプレイヤーが勝つ確率は 70.1% です。
理論はさておき、リードしているなら、追っているプレイヤーの行動を予測し、同じ行動を取りましょう。逆に、追っているなら、リードしているプレイヤーの行動を予測し、その逆の行動を取りましょう。この戦略は、あらゆるトーナメントに当てはまります。この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
ウィリアムヒルのスポーツブックで、メジャーリーグの試合でグランドスラムが達成されるかどうかを賭けるプロポジションベットを見ました。試合数に応じて、この賭けの妥当な確率とラインはどれくらいでしょうか？
他の読者のために、 2019年5月11日のグランドスラムの試合結果を掲載します。列の見出しは「ホーム」と「アウェイ」ではなく、「はい」と「いいえ」にしてください。
この疑問に答えるために、2011年から2018年までのMLB全試合を調べました。この8シーズンでは、19,440試合で858のグランドスラムが達成されました。つまり、1試合あたりのグランドスラム達成数の平均は0.0441となります。これは、ある試合でグランドスラムが達成される確率とは異なります。なぜなら、1試合で複数のグランドスラムが達成される可能性があるからです。ポアソン分布を用いると、ある試合で少なくとも1つのグランドスラムが達成される確率は4.3176%です。
この確率があれば、少なくとも 1 つのグランド スラムの確率と公平なラインをゲーム数ごとに示す次の表を簡単に作成できます。
グランドスラムの確率
| ゲーム | 確率 グランドスラム | フェアライン |
|---|---|---|
| 1 | 4.32% | 2216 |
| 2 | 8.45% | 1084 |
| 3 | 12.40% | 706 |
| 4 | 16.18% | 518 |
| 5 | 19.80% | 405 |
| 6 | 23.27% | 330 |
| 7 | 26.58% | 276 |
| 8 | 29.75% | 236 |
| 9 | 32.78% | 205 |
| 10 | 35.68% | 180 |
| 11 | 38.46% | 160 |
| 12 | 41.12% | 143 |
| 13 | 43.66% | 129 |
| 14 | 46.09% | 117 |
| 15 | 48.42% | 107 |
| 16 | 50.65% | -103 |
ただし、私の回答はMLBの平均値に基づいていることを付け加えておきます。特定の日においては、プレイヤーは実際に行われる試合数を考慮する必要があります。特に、オーバー/アンダーのラインが高いほど、グランドスラム達成の可能性が高くなります。
プレイヤーのアドバンテージが0.1%のブラックジャックマシンを見つけました。グループでフラットベットを2,015,000ハンドプレイし、1,475ユニットの損失を出しています。ルールの詳細は明かさないとゲーム内容がバレてしまうので、0.1%のアドバンテージは信じてください。ゲームが公平だと仮定した場合、私たちと同じくらいひどい結果になる確率はどれくらいでしょうか？
このアドバンテージとプレイしたハンド数に基づくと、期待される勝利額は2015ユニットです。1ハンドあたりの標準偏差を1.1と仮定すると、プレイ全体の標準偏差は1,561になります。実際の勝利額と期待される勝利額の差は3,490です。つまり、3,490/1,561 = 2.24標準偏差です。これより悪い結果、あるいはそれより悪い結果になる確率は1.27%です。
アルティメット・テキサス・ホールデムでアンティに$50を賭けた場合、ブラインドベットで勝てば$50 × 500 = $25,000の勝利金を獲得できるはずです。しかし、カジノ側は勝利金の上限を$5,000に設定しています。平均するといくらになるのでしょうか？
ロイヤルフラッシュの当選確率は32,487分の1です。ロイヤルフラッシュが出るたびに、20,000ドル、つまりアンティベット400倍の損失が発生します。これは、アンティに賭けた金額の400/32,487 = 1.23%の損失となります。これにより、ハウスエッジ（アンティベットに対する相対値）は2.185%から3.416%に増加します。
この質問はWizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。