Wizardに尋ねる #319

以下の表は、各試合における両チームのVegas Insiderマネーラインを示しています。アウェイタイムのフェアマネーラインの列は、両チームの勝利額を半分ずつに分けます。確率の列は、フェアラインに基づいて、アウェイチームがアウェイで勝利する確率を示しています。

各試合におけるアウェイチームの勝利確率を積算すると、0.00422 となり、これは 237 分の 1 になります。

ホームチームマーチンゲール法で 100 ドルを獲得した場合、28,081.06 ドルの損失が発生します。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

まず、順列の数について見ていきましょう。これは、数字だけでなく、カード上の順番も重要だということです。B、I、G、O列には、permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360通りの順列があります。N列の場合、順列の数はpermut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760通りです。したがって、ビンゴカードの順列の総数は、360,360 ⁴ × 32,760 = 552446474061128648601600000通りです。

次に、組み合わせの数について見ていきましょう。つまり、数字自体は重要ですが、カード上の順番は重要ではありません。B、I、G、O列の組み合わせは、combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003通りあります。N列の組み合わせは、combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365通りです。したがって、ビンゴカードの組み合わせの総数は、3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565通りです。

番組の中で、シェルドンは「ユニークなビンゴカードはいくつ存在するのか」と自問します。後半の間違った計算式から判断すると、彼は順列を意味していると思われます。つまり、同じ数字で位置が異なる2枚のカードは、どちらも「ユニーク」であるということです。

上の画像は、シェルドンがB、I、G、O列について示した式です。彼は最初、5! × combin(15,5) で正しい式を導き出しました。しかし、誤って15!/(15!-5)! と簡略化しています。2つ目の感嘆符は本来あるべきではありません。正しくは15!/(15-10)! です。しかし、その後、360,360 で正しい答えに戻ります。

N列でも全く同じ問題があります。式は15!/(15-4)!ではなく、15!/(15!-4)!とすべきです。2つ目の感嘆符が台無しにしています。

皮肉なことに、エピソード後半で、シェルドンは、私がこれに夢中になっているのと同じように、「ロード オブ ザ リング」の年代順の誤りに夢中になります。

まず、このような状況が発生するプレイヤーカードとボードカードの組み合わせの数を調べてみましょう。スートは4種類あります。すると、与えられたスートから13枚のカードの中から4枚を選ぶ方法は、combin(13,4)=715通りあります。

第二に、これが起こる一つの方法は、プレイヤーが盤上に同じスートのカードを3枚置き、残りの2枚を残りの39枚のカードから選ぶことです。選択したスートの残り9枚のカードのうち3枚が盤上に現れる場合、combin(9,3)=84通りあります。そして、他の3つのスートの残り39枚のカードからさらに2枚を選ぶ場合、combin(39,2)=741通りあります。つまり、盤上に問題のスートのカードが3枚ある場合、84*741=62,244通りあります。

3 つ目は、同じスートのカードが 4 枚ボード上にあり、残りの 1 枚が他の 39 枚のカードの中にある場合です。選択したスートの残りの 9 枚のカードのうち 4 枚がボード上に存在する場合、combin(9,4) = 126 通りの可能性があります。次に、他の 3 つのスートの残りの 39 枚のカードからさらに 1 枚を選ぶ場合、39 通りの可能性があります。ただし、これらすべてが両方のプレイヤーが両方のホールカードを使用することになるわけではありません。その条件を満たすには、問題のスートの最も低いカードがボード上にある必要があります。そのスートの 8 枚のカードのうち、その確率は 4/8 = 1/2 です。したがって、問題のスートのカードが 4 枚ボード上にある場合、126*39*(1/2) = 2,457 通りの可能性があります。

4つ目に、これが起こり得る最後の方法は、プレイヤーがボード上に同じスートのカードを5枚持っている場合です。ボード上に、選択したスートの残り9枚のうち5枚が揃う可能性は、combin(9,5)=126通りあります。しかし、これらすべてが両プレイヤーが両方のホールカードを使う結果になるわけではありません。その条件を満たすには、該当するスートの最低ランクの2枚がボード上になければなりません。そのスートの9枚のカードのうち、その確率は、combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18です。つまり、該当するスートのカードが4枚ボード上に揃う可能性は、126*(5/18)=35通りあります。

したがって、これが発生する組み合わせの数は、715 * (62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240 です。

プレイヤーのホールカードとして 52 枚の中から 4 枚のカードを選び、さらにボードに残っている 48 枚の中から 5 枚を選ぶ方法の組み合わせの総数は、combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400 です。

したがって、確率は 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分の 1 となります。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。

このような賭けを分析するには、まず各チームの得点数を推定します。これは、ポイントスプレッドとオーバー/アンダーを使った簡単な代数計算を用いて行います。例えば、ベンガルズとレイブンズの最初の試合を考えてみましょう。レイブンズは12ポイントの優勢で、オーバー/アンダーは48です。ここで、

b = ベンガルズの得点
r = レイブンズの得点

b+12=r
b+r=48

最初の式を変形すると、b-4=-12となります。これをb+r=48に加えると2b=36となり、b=18となります。ベンガルズが18得点すると予想される場合、レイブンズの予想得点は18+12=30となります。

総得点を推定したら、タッチダウン数を推定できます。これは、各チームのフィールドゴール得点を6点差し引き、残りを7で割ることで算出します。

これらのチームで予想されるタッチダウンの合計数は29.57です。次に、各チームの推定タッチダウン数をその合計数で割ります。これにより、そのチームが最初にタッチダウンを決める確率が推定されます。次に、その確率に基づいて期待値と配当を計算します。

表からわかるように、期待値がプラスになるのは2チームだけです。レッドスキンズ（そう、私はそう呼んでいます）は0.48%、ベンガルズは21.7%のアドバンテージがあります。レッドスキンズのアドバンテージは小さすぎますが、私は間違いなくベンガルズに賭けます。

追伸：ベンガルズはその日最初のタッチダウンを決めました！

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。