Wizardに尋ねる #320
こんにちは、ウィザードさん。ブラックジャックを10万回プレイすると、10回以上の連敗は何回くらいになると思いますか？
まず、任意のハンドの勝率を計算する必要があります。勝率はルールによって異なりますが、最初の質問には記載されていませんでした。ブラックジャックの分散に関する私のページでは、「リベラル・ストリップ・ルール」におけるネット勝ち、プッシュ、負けの確率を示しています。「リベラル・ストリップ・ルール」とは、6デッキ、ブラックジャックの配当は3対2、ディーラーはソフト17でスタンド、スプリット後のダブル可、サレンダー可、エースの再スプリット可、というものです。これらのルールに基づく必要な確率は以下のとおりです。
- 勝率: 42.43%
- プッシュ：8.48%
- 損失: 49.09%
質問にはプッシュの扱いについても記載されていませんでした。プッシュはプレイしたハンドとしてカウントされますが、連続した負けをリセットしたり、進めたりはしないと仮定します。プッシュを除いた場合、ベットが解決された場合の勝ちと負けの確率は以下のとおりです。
- 勝率: 46.36%
- 損失: 53.64%
そうは言っても、このような質問に対する非常に良い近似値は次のとおりです。
n × l × w m
どこ：
n = プレイしたハンドの数
l = 損失の確率
w = 勝利の確率
m = 負けが続く最小ハンド数
この場合、期待される負け回数は100000 × 46.36% × 63.64% 10 = 91.4となります。つまり、平均して1,094ハンドごとに少なくとも10ハンドの負けが続くことになります。ランダムシミュレーションによってこのことが裏付けられています。
ここまで読んで、完璧主義の読者の皆さんはきっと、マルコフ連鎖に関する知的な鞭打ちをメールで私に送ってくるだろう。ただし、私の式はあくまで推定値であり、実際にはかなり正確なものであることを強調しておきたい。
100リットルのタンクに水と10kgの塩が入っています。1分間に10リットルの純水を加え、同時に1分間に10リットルの溶液を排出すると、30分後にタンクに残っている塩の量はどれくらいでしょうか？
まず、いくつかの変数を定義しましょう。
- s = タンク内の塩のkg
- t = 塩がタンクに投入されてからの経過時間（分）
1分間に塩の10%が排出されると仮定します。これを数学的に表すと次のようになります。
ds/dt = (-10/100) × s
これを次のように並べ替えてみましょう。
ds = (-10/100) × s dt
-10/s ds = dt
双方を統合する:
(1) -10×ln(s) = t + c
次に、厄介な積分定数を求めましょう。そのためには、t = 0のときs = 10であることが与えられています。これを上の式(1)に代入すると、次のようになります。
-10 × ln(10) = 0 + c
つまりc = -10×ln(10)
これを式（1）に代入すると次のようになります。
(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)
ここで問題となるのは、t=30の時点でタンク内の塩の量がどれくらいになるかということです。t=30の時点でのsについて解くと、次のようになります。
-10×ln(s) = 30 -10×ln(10)。次に両辺を-10で割ります…
ln(s) = -3 + ln(10)
s = exp(-3 + ln(10))
s = exp(-3) × exp(ln(10))
s = exp(-3) × 10
s =~ 0.4979 kgの塩。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
ディーラーが10を出している時にエースをスプリットすることの統計的な利点について、私はよく疑問に思ってきました。賭け金と同額にするのが本当に賢明なのでしょうか？賭け金と同額にしなければならないというのは、厳格なルールなのでしょうか？この質問は、プレイヤーがカードカウンティングをしていないという前提で行われます。
数学は決して嘘をつきません。私のブラックジャック付録1によると、無限デッキ、ディーラーがソフト17でスタンド、エースの再スプリットが禁止されていると仮定した場合、A、A対10の4通りのプレイ方法の期待値は次のとおりです。
- スタンド = -0.540430
- ヒット = -0.070002
- ダブル = -0.514028
- 分割 = 0.179689
つまり、この状況は全くもって僅差で、スプリットした方が最初のベットの約11%ほど有利です。エースの再スプリットが許可されていれば、さらに有利になるでしょう。
カリフォルニア州宝くじには、ホットスポットと呼ばれるゲームがあります。これは、1から80までの数字がランダムに抽選される「ブルズアイ」と呼ばれるボールを当てるゲームです。1日に300回のゲームが行われます。5日間のうち、同じホットスポットの数字が3日間、同じゲーム番号で抽選される確率はどれくらいでしょうか？例えば、月曜日、水曜日、金曜日のゲーム番号134（この数字に聖書的な意味があるのでしょうか？）で23が出る確率はどれくらいでしょうか？
まず、任意のゲーム番号において、5日のうち3日が同じ番号になる確率を求めましょう。答えはCOMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682です。これは、5日のうち3日が同じ番号になる確率×2日目と3日目が1日目と一致する確率×残りの2日目が一致しない確率です。
したがって、任意のゲーム番号で 5 日のうち 3 日間の試合が行われない確率は、1 - 0.001523682 = 0.9984763 です。
これが 300 日間発生しない確率は 0.9984763 300 = 63.29% です。
したがって、5 日のうち 3 日が同じ Bulls Eye 番号と一致する抽選番号が少なくとも 1 つあるという代替案の確率は 36.71% です。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。