Wizardに尋ねる #321
大きい方の図形が正方形である場合、x の面積はいくらでしょうか?
このような問題を解く鍵は、その設定にあります。問題をできるだけ少ない未知数に絞り込むことをお勧めします。この場合、正方形上の未知数の距離は、次のように3つに絞られます。
三角形よりも長方形の方が扱いやすいです。3つの三角形の面積が分かっていれば、大きさと面積を2倍にすることができます。つまり、次のようになります。
- ab=10
- ac=16
- (ab)(ac)=14
(ab)(ac)を因数分解してみましょう。
a 2 - ab- ac + bc = 14
2 - 10 - 16 + bc = 14
（1）a 2 + bc = 40
これを 1 つの変数にするために、b と c を a で表してみましょう。
b = 10/a
c = 16/a
これらの値を式(1)のbとcに代入すると、
a 2 + (10/a)*(16/a) = 40
a 2 + 160/a 2 = 18
次に、すべてに2を掛けて、分母の2 を取り除きます。
4 + 160 = 40 * 2
4 - 40 * 2 + 160 = 0
新しい変数y = a 2を定義しましょう
y 2 - 18y + 32 = 0
次に、二次方程式を使って y を解きます。
y = (40 +/- 平方根(1600-640))/2
y = (40 +/- 平方根(960))/2
y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2
y = 20 +/- 4*sqrt(15)
正方形全体の面積はa 2で、これは都合よくyと等しくなります。上の式から、+/-が負の場合、y = apx 4.5081となりますが、これは明らかに誤りです。なぜなら、面積はxを含めなくても少なくとも20であるからです。したがって、正方形の面積は20 + 4*sqrt(15) となるはずです。
与えられた3つの三角形の面積は5+7+8=20です。これを正方形の総面積から引くと、xの面積は20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = 約15.4919になります。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
この写真の私のTシャツに注目してください。映画『 アンカット・ジェムズ』を見に行った時、映画館のレジ係の人がそれを褒めてくれました。お礼に、面積2、3、4の三角形だけを使ったこの問題で彼女を苦しめました。映画が終わって彼女に確認すると、まだ解けていなかったものの、頑張っているようでした。そこで、サンコーストのバーで次の解法を彼女に書いてあげました。彼女は本当に喜んでくれたようでした。この若い女性はきっと将来大成するでしょう。
宝くじに関してですが、パワーボールやメガミリオンズのような複数の州で開催される宝くじには、高額当選者が一人に絞られるよりも、当選者が複数に分かれる可能性が高くなる「転換点」があるのでしょうか？もしあるとしたら、その金額はいくらでしょうか？
数学的な説明は省きますが、ジャックポットのポイントは次のようになります。複数の当選者が出た場合と 1 人の当選者が出た場合の確率は同じです。
- パワーボール：9億7500万ドル
- メガミリオンズ：16億5000万ドル
質問されたわけではありませんが、少なくとも 1 人の当選者が出る確率が、当選者が出ない確率 (50%) と等しいジャックポットがここにあります。
- パワーボール：7億400万ドル
- メガミリオンズ：8億6700万ドル
この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
- 刑務所には12人の囚人がいて、それぞれに1から12までの番号が付けられています。
- 監視員は、それぞれ 1 から 12 までの番号が付けられた 12 個のボックスを設置します。
- 12 個のボックスの中には 1 から 12 までの数字がランダムに配置されており、各ボックスに 1 つずつ入っています。
- 各囚人は、一度に一人ずつ、自分が選んだ6つの箱を開けることが許される。一度に一つずつ選んで開けることができる。
- 各囚人の目標は、箱の中に6つの選択肢の中から自分の番号を見つけることです。もし見つけることができれば、その人は生き残るとされます。
- 囚人が自分の番号を見つけられなかった場合、グループ全体が不合格とみなされ、直ちに銃殺隊に連れて行かれます。
- 囚人が生き残った場合、次の囚人のために数字を元の箱に戻さなければなりません。
- ゲームが始まったら、囚人は他のプレイヤーを観察したりコミュニケーションを取ったりすることはできません。
- ゲーム開始前に、グループ全員が協力して戦略を立てます。目標は12人の囚人全員が生き残ること（つまり、箱の中に自分の番号を見つけること）です。
生存確率を最大化するための戦略はどうあるべきか、そしてその確率はどれくらいか?
[spoiler=解決策]
シークレットサンタゲームのように、ある数字から別の数字へと繋がるループがあります。囚人が12人いる場合、ループの数は1から12までです。ループの長さが6より長くならなければ、すべての囚人は最終的に自分の数字を見つけます。大きな疑問は、ループの長さが6より長くならない確率はどれくらいかということです。では、逆に、ループの長さが7以上になる組み合わせの数を調べてみましょう。
12 囚人解決策
| ループ | 組み合わせ | 確率 |
|---|---|---|
| 12 | 39,916,800 | 0.083333 |
| 11,1 | 43,545,600 | 0.090909 |
| 10,2 | 23,950,080 | 0.050000 |
| 10,1,1 | 23,950,080 | 0.050000 |
| 9,3 | 17,740,800 | 0.037037 |
| 9,2,1 | 26,611,200 | 0.055556 |
| 9、1、1、1 | 8,870,400 | 0.018519 |
| 8,4 | 14,968,800 | 0.031250 |
| 8,3,1 | 19,958,400 | 0.041667 |
| 8,2,2 | 7,484,400 | 0.015625 |
| 8、2、1、1 | 14,968,800 | 0.031250 |
| 8、1、1、1、1 | 2,494,800 | 0.005208 |
| 7.5 | 13,685,760 | 0.028571 |
| 7,4,1 | 17,107,200 | 0.035714 |
| 7,3,2 | 11,404,800 | 0.023810 |
| 7、3、1、1 | 11,404,800 | 0.023810 |
| 7、2、2、1 | 8,553,600 | 0.017857 |
| 7、2、1、1、1 | 5,702,400 | 0.011905 |
| 7、1、1、1、1、1 | 570,240 | 0.001190 |
| 合計 | 3億1288万8960円 | 0.653211 |
次の表は、上記の表の組み合わせの計算式を示しています。
組み合わせ式
| ループ | 組み合わせ | 式 |
|---|---|---|
| 12 | 39916800 | =事実(11) |
| 11,1 | 43545600 | =COMBIN(12,11)*FACT(10) |
| 10,2 | 23950080 | =COMBIN(12,10)*FACT(9) |
| 10,1,1 | 23950080 | =COMBIN(12,10)*FACT(9) |
| 9,3 | 17740800 | =COMBIN(12,9)*FACT(8)*FACT(2) |
| 9,2,1 | 26611200 | =COMBIN(12,9)*COMBIN(3,2)*FACT(8) |
| 9、1、1、1 | 8870400 | =COMBIN(12,9)*FACT(8) |
| 8,4 | 14968800 | =COMBIN(12,8)*FACT(7)*FACT(3) |
| 8,3,1 | 19958400 | =COMBIN(12,8)*COMBIN(4,3)*FACT(7)*FACT(2) |
| 8,2,2 | 7484400 | =COMBIN(12,8)*COMBIN(4,2)*FACT(7)/2 |
| 8、2、1、1 | 14968800 | =COMBIN(12,8)*COMBIN(4,2)*FACT(7) |
| 8、1、1、1、1 | 2494800 | =COMBIN(12,8)*FACT(7) |
| 7.5 | 13685760 | =COMBIN(12,7)*FACT(6)*FACT(4) |
| 7,4,1 | 17107200 | =COMBIN(12,7)*5*FACT(6)*FACT(3) |
| 7,3,2 | 11404800 | =COMBIN(12,7)*COMBIN(5,3)*FACT(6)*FACT(2) |
| 7、3、1、1 | 11404800 | =COMBIN(12,7)*COMBIN(5,3)*FACT(6)*FACT(2) |
| 7、2、2、1 | 8553600 | =COMBIN(12,7)*COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*FACT(6)/2 |
| 7、2、1、1、1 | 5702400 | =COMBIN(12,7)*COMBIN(5,2)*FACT(6) |
| 7、1、1、1、1、1 | 570240 | =COMBIN(12,7)*FACT(6) |
最初の表の右下のセルから、外れの組み合わせは312,888,960通りあります。数字の並び方の総数は12! = 479,001,600通りです。したがって、失敗する確率は312,888,960 / 479,001,600 = 65.32%です。したがって、成功する確率は100% - 65.32% = 34.68%です。
[/ネタバレ]この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
こんにちは。22のハンドをプッシュできるクーポンを持っています。最初の22が出るまでクーポンを保有できます。ダブルやスプリットには適用されません。このクーポンの価値はいくらですか？
簡単に答えると、賭けられる最大額です。22が出るまで待ってからプレイすれば、1ユニット分の利益を得てテーブルを去ることができます。
より厳密な答えは、22 を待つコストを考慮する必要があります。これは正確にはわかりませんが、推定することはできます。
ディーラープッシュ22ルールのプレイヤーの負担は6.91%です。しかし、ディーラーは22点以上手札を22点に伸ばします。なぜなら、プレイヤーは先にバストしても気にしないからです。ルールによっては、プレイヤーがバストする確率は約15.7%です。もしこれがディーラーのバスト確率と無関係だと仮定すると（実際には無関係ですが）、ディーラーがバストする確率は6.91%/(1.0-0.157) = 8.2%となります。
これは大まかな計算ですが、プレイヤーの22の確率は同じだと仮定しましょう。ディーラーはプレイヤーよりもバストする可能性が高いことは分かっていますが、このクーポンはスプリット後はカウントされないため、これらの要因は相殺されると仮定しましょう。つまり、プレイヤーが22を8.2%の確率で出した場合、平均すると1/0.082 = 12.2ハンドに1回22が出ることになります。
ベースゲームのハウスエッジが0.75%だとしましょう。このハウスエッジで12.2ハンドをプレイする場合のコストは、12.2×0.0075 = 0.0915です。これを1ユニットの価値から差し引くと、クーポンの価値は1.0 - 0.0915となり、額面金額の約91%になります。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。