Wizardに尋ねる #323

シリーズ中盤には16通りの状態が考えられます。以下の表は、この戦略に従ってエイミーが各状態において賭けるべき金額と、賭け前の残高を示しています。

させて：

• a = エイミーが勝つ
• b = ボブが勝つ
• w = エイミーのこれまでのシリーズ純勝利数
• f(a,b,w) = エイミーの次のゲームの賭け金

このようなパズルでは、最初から最後まで解き、最後から始めていくのが一般的に良い戦略です。とはいえ、次の点は容易に理解できます。

f(3,3,0) = 8,000

この状況では、7ゲーム目は「勝者総取り」となります。エイミーの勝ち金は0ドルで、最後のフリップに8,000ドルを賭けます。つまり、フリップに勝てば8,000ドルの勝ち、負ければ8,000ドルの負けとなります。

少し戻って、彼女が3勝、ボブが2勝していたらどうなるでしょうか。もし彼女が次のフリップで勝てば、ゲーム全体で彼女が勝ちます。もし彼女が負ければ、彼女のスコアは3-3になります。f(3,3,0)から、スコアが3,3なら彼女の手札は0になるはずです。つまり、彼女が次のフリップで勝てば8,000、そうでなければ0になるはずです。ここで得られるのは、4,000の中間の純利益と、同額のベットです。つまり、

f(3,2,4000)=4,000

もう一歩戻って、彼女が3勝、ボブが1勝だったとしましょう。もし彼女が次のフリップで勝てば、ゲーム全体の勝利となります。もし彼女が負ければ、彼女のスコアは3-2になります。f(3,2,4000)から、スコアが3.2なら彼女は4,000を獲得するはずです。つまり、彼女が次のフリップで勝てば8,000、そうでなければ4,000を獲得する必要があります。ここで得られるのは、中間の純利益[(4,000+8,000)/2=6,000]と、その2つのゴールの間の距離の半分[(8000-4000)/2=2000]の賭け金です。つまり、

f(3,1,6000) = 2,000

もう一歩戻って、彼女が3勝、ボブが0勝だったとしましょう。もし彼女が次のフリップで勝てば、ゲーム全体の勝利となります。もし彼女が負ければ、彼女のスコアは3-1になります。f(3,1,6000)から、スコアが3-1なら彼女は6,000を獲得するはずです。つまり、彼女が次のフリップで勝てば8,000、そうでなければ6,000を獲得する必要があります。ここで得られるのは、中間の純利益[(6,000+8,000)/2=7,000]と、その2つのゴールの間の距離の半分[(8000-4000)/2=2000]の賭け金です。つまり、

f(3,0,7000) = 1,000

スコアが同点になった場合、エイミーの純利益は0となるのは明らかでしょう。同点になった場合、彼女がシリーズ全体で勝利する確率は50%です。どちらの場合でも、勝敗は8,000ポイントずつというバランスの取れた目標値であるため、彼女は0ポイントで賭けなければ、どちらの最終目標も達成できない可能性があります。

次に、エイミーがシリーズで負けた場合、彼女の純利益は、同じスコアでリードしていた場合の純利益の-1倍になるはずです。例えば、エイミーのスコアが2 - ボブのスコアが3（または2-3）だとします。彼女が次のフリップで負ければ、ゲーム全体で負けとなります。彼女が勝てば、彼女のスコアは3-3になります。f(3,3,0)から、スコアが3,3の場合、彼女の純利益は0になるはずです。つまり、彼女が次のフリップで勝った場合は0、そうでない場合は-8000になる必要があります。ここで得られる純利益は、4,000の中間値と同額のベットです。つまり、次のようになります。

f(2,3,-4000)=4,000

同じ論理で言えば：

f(1,3,-6000) = 2,000

f(0,3,-7000) = 1,000

次に、スコアが2-2の場合、エイミーはいくら賭けるべきでしょうか？もし彼女がフリップに勝てば、スコアは3-2になります。上記の結果から、このスコアでは彼女は4,000の純利益を得る必要があることがわかります。また、もし彼女が2-3で負けているなら、彼女の純損失は4,000になるはずです。したがって、彼女は4,000を賭ける必要があります。

f(2,2,0) = 4,000

そこから一歩戻って、スコアが2-1の場合はどうなるでしょうか？次のフリップで勝った場合（スコア3-1）、ネット勝利額が6,000ドル必要で、負けた場合（スコア2-2）はネット勝利額が0ドル必要だと分かっています。ここで得られるのは、中間のネット勝利額[(6,000+0)/2=3,000]と、その2つのゴール間の距離の半分[(6,000-0)/2=3,000]です。つまり、

f(2,1,3000) = 3000

そこからさらに一歩戻って、彼女が2勝、ボブが0勝だったとしましょう。もし彼女が次のフリップで勝てば、スコアは3-0になります。彼女が負ければ、2-1になります。彼女は3-0で7000、2-1で3000の純利益を得るはずです。2-0のスコアから得られるのは、中間の純利益[(7,000+3,000)/2=5,000]と、その2つのゴールの間の半分の賭け金[(7000-3000)/2=2,000]です。つまり、

f(2,0,5000) = 2000

アリスが 2 回勝ち、ボブがそれより少ないスコアを反転すると、次のこともわかります。

f(1,2,-3000) = 3000

f(0,2,-5000) = 2000

前述の通り、シリーズが均衡している場合、エイミーの純利益は0になるはずです。つまり、1-1のスコアでは、彼女の純利益は0になるはずです。2-1のスコアでは2,000の利益が必要で、1-2のスコアでは2,000の損失が必要です。したがって、1-1の同点スコアでは、彼女は2,000を賭けるべきです。つまり、

f(1,1,0) = 2,000

エイミーが1-0でリードしていたらどうなりますか？2,0の時点で5,000ポイントリードしている必要があることは分かっています。1-1の時点では、エイミーは同点である必要があります。1-0のスコアから得られるのは、中間の純利益[(5,000+0)/2=2,500]と、その2つのゴール間の距離の半分[(5000-0)/2=2,500]の賭け金です。つまり、

f(1,0,2500) = 2,500

スコアを0-1にすると:

f(0,1,-2500) = 2,500

最終的に、0-0で最初のゲームに臨みます。エイミーが次のフリップで勝てば2,500ポイントの利益、負ければ2,500ポイントの損失が必要です。つまり、2,500ポイントを賭ければ、このゲームを達成できます。または、

f(0,0,0) = 2,500