Wizardに尋ねる #324
平均して、公平なサイコロを各面を少なくとも 2 回振るには何回必要ですか?
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これが私の解決策です。(PDF)
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
1次元×1次元の正方形のダーツボードがあります。ダーツを投げると、どの場所にも等確率で着地します。ダーツが着地する座標を(x,y)とします。ここで、xとyは0から1まで均一かつ独立に分布します。
z = round(x/y) とします。言い換えると、z = x/y を最も近い整数に丸めます。z が偶数である確率はどれくらいでしょうか？
次のヒントの無限級数を知っておくと非常に役立ちます。
[ネタバレ=ヒント]ライプニッツのπの公式は次の通りです。
1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
[/spoiler]回答のみを知りたい場合は、次のボタンをクリックしてください。
[ネタバレ=答え](5 - π)/4 = 約。 0.464601836602552。 [/spoiler]解決策については下のボタンをクリックしてください。
x/y < 0.5 の場合、比は n を 0 に切り捨て、偶数になります。ダーツボード上の (0,0) と (0.5) で形成される直線の左側にある点は、いずれも 0 に切り捨てられます。その面積は、1 と 1/2 の辺を持つ直角三角形です。三角形の面積は (1/2)*底辺*高さであることを覚えておいてください。したがって、0 を切り捨てたこれらの点の面積は (1/2)*(1/2) = 1/4 です。
グラフ上で次に偶数である2に丸められる領域は、1.5 < x/y < 2.5のときです。この領域は、底辺が2/3 - 2/5、高さが1の三角形になります。これらはx/yの境界の逆数であることに注意しましょう。xは1なので、yを反転する必要があります。つまり、2に丸められる領域は(1/2)*(2/3 - 2/5)です。
グラフ上で次に偶数である4に丸められる領域は、3.5 < x/y < 4.5のときです。この領域は、底辺が2/7 - 2/9、高さが1の三角形になります。したがって、2に丸められる領域は(1/2)*(2/7 - 2/9)です。
グラフ上で次に偶数である6に丸められる領域は、5.5 < x/y < 6.5のときです。この領域は、底辺が2/11 - 2/13、高さが1の三角形になります。したがって、2に丸められる領域は(1/2)*(2/11 - 2/13)です。
パターンが見えてきましたか？それは次のようになります。
1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ...) =
1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
括弧内に -1 を移動しましょう。
5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =
次に、上記のヒントを思い出してください。
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11
さて、本題に戻りますが...
5/4 - π/4 =
(5 - π) / 4 = 約。 0.464601836602552。
π と e が数学のあちこちで頻繁に登場するのは興味深いですね。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
9 x + 12 x = 16 xとします
xとは何ですか?
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9 x + 12 x = 16 x =
両辺を9で割る
1 + (12/9) x = (16/9) x
1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2
（１）u = (4/3) xとします
1 + u = u 2
二次方程式により...
u = (1+sqrt(5)) / 2 (黄金比)
これを式(1)に戻すと次のようになります。
(4/3) x = (1+sqrt(5)) / 2
両辺の対数をとります。
x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]
x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)
x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 約 1.67272093446233.
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
謝辞: この問題のバリエーションは、Mind Your Decisionsの Presh Talwalkar 氏から提供されました。
公平な6面サイコロを1、2、3、または6が出るまで振るとします。もし1、2、または3がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、何も勝ちません。もし6がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、サイコロを1回振るごとに1ドル勝ちます。このゲームの平均勝ち額はいくらでしょうか？
役に立つと思われる無限級数の数式をいくつかご覧になるには、下のボタンをクリックしてください。
ヒント1: i = 0から∞までのnの合計i = 1 / (1-n)
ヒント2: i = 0 から ∞ までの i × n の合計i = n / (1-n) 2
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公平な6面サイコロを1、2、3、または6が出るまで振るとします。もし1、2、または3がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、何も勝ちません。もし6がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、サイコロを1回振るごとに1ドル勝ちます。このゲームの平均勝ち額はいくらでしょうか？
ヒント1: i = 0から∞までのnの合計i = 1 / (1-n)
ヒント2: i = 0 から ∞ までの i × n の合計i = n / (1-n) 2
期待される勝利は、i = 0 から ∞ までの (1 + i) * (1/3) i * (1/6) の合計として表すことができます。 =
(1/6) * (1/3) i の i = 0 から ∞ までの合計+ (1/6) * (i * (1/3) i ) の i = 0 から ∞ までの合計。
これらを一つずつ評価してみましょう。
i = 0から∞までの(1/3) i =の合計
1 / (1 - (1/3)) =
1 / (2/3) =
3/2
i = 0から∞までの(i * (1/3) i )の合計 =
(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =
(1/3) / (4/9) =
(1/3) * (9/4) =
3/4
すべてをまとめると、答えは
(1/6) * (3/2) + (1/6) * (3/4) =
(1/4) + (1/8) =
3/8
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