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Wizardに尋ねる #324

平均して、公平なサイコロを各面を少なくとも 2 回振るには何回必要ですか?

Ace2

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答えは 1,172,906,043 / 48,600,000 = 約 24.13387 です

これが私の解決策です。(PDF)

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

1次元×1次元の正方形のダーツボードがあります。ダーツを投げると、どの場所にも等確率で着地します。ダーツが着地する座標を(x,y)とします。ここで、xとyは0から1まで均一かつ独立に分布します。

z = round(x/y) とします。言い換えると、z = x/y を最も近い整数に丸めます。z が偶数である確率はどれくらいでしょうか?

匿名

次のヒントの無限級数を知っておくと非常に役立ちます。

[ネタバレ=ヒント]

ライプニッツのπの公式は次の通りです。

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

[/ネタバレ]

回答のみを知りたい場合は、次のボタンをクリックしてください。

[ネタバレ=答え](5 - π)/4 = 約。 0.464601836602552。 [/ネタバレ]

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[spoiler=解決策]

x/y < 0.5 の場合、比は n を 0 に切り捨て、偶数になります。ダーツボード上の (0,0) と (0.5) で形成される直線の左側にある点は、いずれも 0 に切り捨てられます。その面積は、1 と 1/2 の辺を持つ直角三角形です。三角形の面積は (1/2)*底辺*高さであることを覚えておいてください。したがって、0 を切り捨てたこれらの点の面積は (1/2)*(1/2) = 1/4 です。

グラフ上で次に偶数である2に丸められる領域は、1.5 < x/y < 2.5のときです。この領域は、底辺が2/3 - 2/5、高さが1の三角形になります。これらはx/yの境界の逆数であることに注意しましょう。xは1なので、yを反転する必要があります。つまり、2に丸められる領域は(1/2)*(2/3 - 2/5)です。

グラフ上で次に偶数である4に丸められる領域は、3.5 < x/y < 4.5のときです。この領域は、底辺が2/7 - 2/9、高さが1の三角形になります。したがって、2に丸められる領域は(1/2)*(2/7 - 2/9)です。

グラフ上で次に偶数である6に丸められる領域は、5.5 < x/y < 6.5のときです。この領域は、底辺が2/11 - 2/13、高さが1の三角形になります。したがって、2に丸められる領域は(1/2)*(2/11 - 2/13)です。

パターンが見えてきましたか?それは次のようになります。

1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ...) =

1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

括弧内に -1 を移動しましょう。

5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =

次に、上記のヒントを思い出してください。

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11

さて、本題に戻りますが...

5/4 - π/4 =

(5 - π) / 4 = 約。 0.464601836602552。

π と e が数学のあちこちで頻繁に登場するのは興味深いですね。

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

9 x + 12 x = 16 xとします

xとは何ですか?

匿名

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x = [ln(1 + sqrt(5)) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3) ] = 約 1.67272093446233.

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9 x + 12 x = 16 x =

両辺を9で割る

1 + (12/9) x = (16/9) x

1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2

(1)u = (4/3) xとします

1 + u = u 2

二次方程式により...

u = (1+sqrt(5)) / 2 (黄金比)

これを式(1)に戻すと次のようになります。

(4/3) x = (1+sqrt(5)) / 2

両辺の対数をとります。

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 約 1.67272093446233.

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

謝辞: この問題のバリエーションは、Mind Your Decisionsの Presh Talwalkar 氏から提供されました。

公平な6面サイコロを1、2、3、または6が出るまで振るとします。もし1、2、または3がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、何も勝ちません。もし6がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、サイコロを1回振るごとに1ドル勝ちます。このゲームの平均勝ち額はいくらでしょうか?

Klopp

役に立つと思われる無限級数の数式をいくつかご覧になるには、下のボタンをクリックしてください。

ヒント1: i = 0から∞までのnの合計i = 1 / (1-n)

ヒント2: i = 0 から ∞ までの i × n の合計i = n / (1-n) 2

[/ネタバレ]

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[spoiler=答え]答えは3/4です。

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[spoiler=解決策]

公平な6面サイコロを1、2、3、または6が出るまで振るとします。もし1、2、または3がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、何も勝ちません。もし6がこれらのゲーム終了の数字のうち最初に出たら、サイコロを1回振るごとに1ドル勝ちます。このゲームの平均勝ち額はいくらでしょうか?

ヒント1: i = 0から∞までのnの合計i = 1 / (1-n)

ヒント2: i = 0 から ∞ までの i × n の合計i = n / (1-n) 2

期待される勝利は、i = 0 から ∞ までの (1 + i) * (1/3) i * (1/6) の合計として表すことができます。 =

(1/6) * (1/3) i の i = 0 から ∞ までの合計+ (1/6) * (i * (1/3) i ) の i = 0 から ∞ までの合計。

これらを一つずつ評価してみましょう。

i = 0から∞までの(1/3) i =の合計

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

i = 0から∞までの(i * (1/3) i )の合計 =

(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =

(1/3) / (4/9) =

(1/3) * (9/4) =

3/4

すべてをまとめると、答えは

(1/6) * (3/2) + (1/6) * (3/4) =

(1/4) + (1/8) =

3/8

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。