Wizardに尋ねる #325
ある農家がリンゴの種を5つ植えました。1日ごとに、それぞれの種が発芽する確率は1/3です。5本の木すべてが発芽するまでの平均時間はどれくらいでしょうか？
[spoiler=解決策]
農家がリンゴの種を5つ植えました。1日ごとに、それぞれの種が発芽する確率は1/3です。5本の木すべてが発芽するまでの平均時間はどれくらいでしょうか？
逆算してみましょう。発芽していない種子が1つ残っている場合、発芽するまでに平均1/p日かかります。ここでpは、ある特定の日に発芽する確率です。p = 1/3なので、発芽するまでに平均3日かかります。これをt 1 = 3としましょう。
種が2つ残っていたらどうでしょう？翌日に両方とも発芽する確率はap 2 = 1/9で、これで終わりです。翌日に片方の種が発芽する確率は2×p×qで、qは発芽しない確率です。したがって、片方の種が発芽する確率は2×(1/3)(2/3) = 4/9です。どちらの種も発芽しない確率はq 2 = (2/3) 2 = 4/9です。2つの種が発芽する期待日数をt 2としましょう。
t 2 = 1 + (4/9)×t 1 + (4/9)t 2
t 2 = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t 1
t 2 = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))
t 2 = (21/9) / (5/9)
t 2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2
残りの種が3つだったらどうでしょう？翌日にすべてが発芽して終わりになる確率は ap 3 = 1/27 です。翌日に1つ発芽する確率は 3×p×q 2 = 3×(1/3)(2/3) 2 = 12/27 です。翌日に2つ発芽する確率は 3×p 2 ×q = 3×(1/3) 2 ×(2/3) = 6/27 です。発芽しない確率は q 3 = (2/3) 3 = 8/27 です。3つの種が発芽する期待日数を t 3としましょう。
t 3 = 1 + (6/27)t 1 + (12/27)×t 2 + (8/27)×t 3
t 3 = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t 3
t 3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)
t 3 = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = 約 5.02105263
残りの種が4つあったらどうでしょう？翌日に4つすべてが発芽して終わりになる確率はap 4 = 1/81です。翌日に1つが発芽する確率は、4×p×q 3 = 4×(1/3)(2/3) 3 = 32/81です。翌日に2つが発芽する確率は、combin(4,2)×p 2 ×q 2 = 6×(1/3) 2 ×(2/3) 2 = 24/81です。翌日に3つが発芽する確率は、combin(4,3)×p 3 ×q = 4×(1/3) 3 ×(2/3) = 8/81です。発芽しない種が1つもない確率は、q 4 = (2/3) 4 = 16/81です。3つの種が発芽する期待日数をt 4としましょう。
t 4 = 1 + (8/81)×t 1 + (24/81)×t 2 + (32/81)×t 3 + (16/81)×t 4
t 4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)×t 4
t 4 = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))
t 4 = 約 5.638056680161943319838056680。
5粒全部残っていたらどうでしょう？5粒すべてが翌日に発芽して終わりになる確率はap 5 = 1/243です。翌日に1粒が発芽する確率は、5×p×q 4 = 5×(1/3)(2/3) 4 = 80/243です。翌日に2粒が発芽する確率は、combin(5,2)×p 2 ×q 3 = 10×(1/3) 2 ×(2/3) 3 = 80/243です。翌日に3粒が発芽する確率は、combin(5,3)×p 3 ×q = 10×(1/3) 3 ×(2/3) 2 = 40/243です。翌日に4粒が発芽する確率は、combin(5,4)×p 4 ×q = 5×(1/3) 4 ×(2/3) = 10/243です。発芽しない確率は、q 5 = (2/3) 5 = 32/243です。3粒の発芽が期待される日数をt 5としましょう。
t 5 = 1 + (10/243)×t 1 + (40/243)×t 2 + (80/81)×t 3 + (80/243)×t 4 + (32/243)×t 5
t 5 = (1 + (10/243)×t 1 + (40/243)×t 2 + (80/81)×t 3 + (80/243)×t 4 ) / (1 - (32/243))
t 5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))
t 5 = 約 6.131415853。
[/ネタバレ]この問題は、Mind Your Decisionsの Presh Talwalkar による同様の問題を基に作成されました。
半径1メートル、傾斜高（下端から先端までの距離）4メートルのティピーがあります。ティピーの土台の任意の場所にロープを張り、何らかの方法でティピー全体を一周させ、もう一方の端を最初に設置した杭に結び付けたいと考えています。
- 必要なロープの最小長さはどれくらいですか?
- 最小距離が使用されると仮定すると、ロープ上のどの点も先端にどのくらい近づくでしょうか?
[ネタバレ=回答]
- 必要なロープの最小の長さはどれくらいですか？ A: sqrt(2)*4 = 約5.6569です。
- 最小距離が使用されると仮定すると、ロープ上の任意の点は先端にどれくらい近づくでしょうか? A: 2*sqrt(2) = 約 2.828427125。
[spoiler=解決策]
ティピーの底はむき出しの地面だと仮定します。つまり、ティピーは壁だけで、土台はありません。半径が1なので、ティピーの底の直径は2πです。
ティピーをベースの任意の点から先端まで切り取り、材料を平らに置きます。
このスライス空間の湾曲部分は依然として2π*円周率です。傾斜角が4なので、このスライスを完全な円に拡張すると、半径は8π*円周率になります。つまり、このスライスは円の1/4です。
辺の長さが4、角度が90度の三角形の3点を結ぶ斜辺の長さは、平方根(2)×4 = 約5.6569です。ティピーを組み立て直すと、この距離がロープの長さになります。
スライスを再び平らに置き、ピタゴラスの公式を使用すると、斜辺からティピーの先端までの最も近い点が 2 * sqrt(2) = 約 2.828427125 であることが簡単にわかります。
[/ネタバレ]この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
10人プレイのビデオポーカーをプレイしていて、ディール後にペアを持っていました。その後、ドローで10ハンドすべてがフォーカードに変わりました。オッズはどれくらいでしょうか？
ペアがフォー・オブ・ア・カインドに改善する確率は、45/COMBIN(47,3) = 約 0.002775208 です。
10 回中 10 回それが起こる確率は、(0.002775208) 10 = 約 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分の 1 です。
その確率は、パワーボールのチケットを 3 枚、独立してランダムに購入し、その 3 枚すべてに当選するのと同じような確率です。
これは、デッキの残りのカードから各カードが均等に引かれる、自然な確率を持つ通常のビデオポーカーゲームではないという説明です。いいえ、これは「VLT」、つまりビデオ・ロッタリー・ターミナルと呼ばれるものです。このようなゲームでは、プレイヤーがどのように手札を支払ったかに関わらず、結果はあらかじめ決まっています。スクラッチカードの宝くじのようなものですが、ビデオポーカーのように結果がプレイヤーに表示されます。もしプレイヤーが5枚のカードをすべて持っていたらどうなるのかと疑問に思うかもしれません。そうなると、精霊が現れてカードの一部を変えたり、プレイヤーがボーナスを獲得して最終的な賞金を2,500クレジットにしたりしていたでしょう。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。