Wizardに尋ねる #328
1 つのサイコロを 20 回振った場合、6 つの面すべてが少なくとも 1 回出る確率はどれくらいでしょうか。
答えは、1 - (確率(1がない) + 確率(2がない) + ... + 確率(6がない)) = 1 - 6*(5/6)^20 = 約 0.84349568 と近似できます。
しかし、そうすると、2つの異なる面が出なかった状況が2回減算されてしまいます。6つの面から2つの面を選ぶ方法はcombin(6,2)=15通りあります。任意の2つの面が出なかった確率は(4/6)^20です。前のステップで2回減算されているので、この確率にこれらを加算する必要があります。つまり、1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = 約0.84800661となります。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
しかし、一度も振られていない3つの面のグループが、最初のステップで3回減算され、2番目のステップで3回加算されていたとしたら、6つの面すべてが振られていない状態として、それらを減算し直す必要があります。6つの面から3つの面を選ぶ方法はcombin(6,3) = 20通りあります。特定の3つの面が一度も振られない確率は(3/6)^20です。つまり、1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 = 約0.847987537となります。
しかし、一度も振られていない4つの面のグループが、最初のステップで4倍減算され、2番目のステップで4倍加算され、3番目のステップで4倍減算されていたとします。これらの状態はそれぞれ既に2回減算されているため、これらを再び加算する必要があります。6つの面から4つの面を選ぶ方法はcombin(6,4) = 15通りあります。特定の4つの面が一度も振られない確率は(2/6)^20です。つまり、1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = 約0.84798754089となります。
しかし、もし20回振った目がすべて同じだった場合、この状況は最初のステップで5倍減算され、最初のステップで5倍加算され、3番目のステップで5倍減算され、4番目のステップで5倍加算されたことになります。これらを再び減算する必要があります。つまり、1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = 約0.84798754089となります。
したがって答えは1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = 約0.84798754089です。
看板には電球ソケットが10個あり、それぞれに電球が1つ入っています。ソケットごとに異なるサイズの電球が取り付けられます。各ソケットに既に取り付けられている電球に加えて、予備の電球が1つずつあります。電球の寿命は指数関数的に分布し*、平均寿命は1日です。電球が切れると、そのソケットに予備の電球がまだ残っている場合は、すぐに予備の電球に交換されます。
最後の電球が切れるまでの予想時間はどれくらいですか?
カジノディーラーが新しいスリーカードポーカーのバリエーションに取り組んでいます。彼女は標準デッキからすべての絵札を取り、よくシャッフルします。そして、プレイヤー1に3枚、プレイヤー2に3枚、プレイヤー3に3枚、そして最後の3枚をプレイヤー4に配ります。4つのハンド全てにストレート（どのスートのJQK）が含まれる確率はどれくらいでしょうか？
[spoiler=解決策]
最初のハンドが AKQ である確率は、1*(8/11)*(4/10) = 29.09% です。
最初の手札がすでに AKQ である場合、2 番目の手札が AKQ である確率は、1*(6/8)*(3/7) = 32.14% になります。
1回目と2回目がすでにAKQである場合、3回目の手がAKQである確率は1*(4/5)*(2/4) = 40.00%となる。
最初の3つのハンドがAKQであることを考えると、残りのカードは必ずAKQである必要があります。したがって、確率は上記の3つの確率の積、つまり216/5775 = 約0.037402597となります。
[/ネタバレ]この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
スプレッドに対して 6,000 回のスポーツ ベットを行い、11 回賭けて 10 回勝つという形で利益が出ています。各ベットの勝率が 50% だと仮定した場合、これを達成するオッズはどれくらいでしょうか。
6000/22 = 272.73 ベットの損失が予想されます。
6000 回の賭けの標準偏差は、sqrt(6000)*0.954545 = 73.93877 です。
したがって、期待値より272.73/73.94 = 3.688556標準偏差上回っていることになります。ガウス曲線を用いると、この標準偏差以上上回る確率は約0.000112765 = 約8868分の1となります。