Wizardに尋ねる #330
古い西部の酒場で、トランプゲームをめぐる口論がエスカレートし、付近のカウボーイ全員が銃を抜いて互いに撃ち合う事態となった。
煙がようやく晴れると、カウボーイの90%が脚を、85%が腕を、80%が腹部を、そして75%が頭部を撃たれていた。驚くべきことに、この激しい銃撃戦で命を落としたのは、これら4種類の傷をすべて負ったカウボーイだけだった。
最終的に埋葬されたカウボーイの最小の割合はどれくらいでしょうか?
まず、カウボーイの90%の脚を撃ちます。
次に、腕に残っている10%を撃ちます。腕に撃つべき敵はあと75%いるので、脚を撃たれた敵から腕を奪い取ります。
つまり、今は次のようになります。
脚のみ 15% (90% - 75%)
腕のみ10％
両方とも75%
どちらも0%
合計脚：90％
腕全体: 85%
次に、腹部の損傷（80%）について見ていきましょう。腹部の損傷が片方だけの25%を撮影します。80%-25% = 55%の人が撮影対象となります。この55%は、両方の損傷がある人の中から選びます。つまり、以下のようになります。
脚と内臓 15%
腕と腸 10%
脚と腕 20% (75% - 55%)
3つすべて55%
負傷者1人 0%
負傷者ゼロ 0%
最後に、頭部損傷のある75%について考えてみましょう。まず、ちょうど2つの損傷がある45%を狙います。あと30%残っているので、3つの損傷すべてがある55%から狙います。つまり、以下のようになります。
頭、脚、内臓 15%
頭、腕、内臓 10%
頭、脚、腕 20%
脚、腕、腸: 25% (55% - 30%)
4つすべて30%
負傷者ゼロ 0%
負傷者1人 0%
負傷者2名 0%
[ネタバレ=CharliePatrickの解決策]
カウボーイが20人いるとしましょう。この数字を選んだのは、関係する確率はすべて5%で割り切れ、20の5%は1だからです。
一列に並べます。左から順に、90%、つまり18発を脚に撃ちます。次に、上段にカウボーイナンバー、左列にそれぞれの負傷者数を記した図を作成します。
| けが | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | ||
| 2 | ||||||||||||||||||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 合計 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
次に、腕を85%、つまり17発撃つ必要があります。まず、脚を撃たれていない2人のカウボーイから始めましょう。あと15発です。左のカウボーイに戻り、列を下がって、脚を撃たれた合計15発を撃ちます。負傷カードは次のようになります。
| けが | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | あ | あ |
| 2 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | |||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 合計 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
次に、80%、つまり16発の腹を撃つ必要があります。まず、負傷が1発だけのカウボーイ5人から始めましょう。残りは11発です。左のカウボーイに戻り、列を下がっていき、既に2発撃っている合計11発を撃ちます。負傷カードは以下のようになります。
| けが | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | あ | あ |
| 2 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | G | G | G | G | G |
| 3 | G | G | G | G | G | G | G | G | G | G | G | |||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 合計 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
次に、75%、つまり頭部に15発撃つ必要があります。まず、2発しか撃たれていない9人のカウボーイから始めましょう。あと6人です。左のカウボーイに戻り、列を下に移動して、すでに3発撃たれている6人を撃ちます。負傷カードは次のようになります。
| けが | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | L | あ | あ |
| 2 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | G | G | G | G | G |
| 3 | G | G | G | G | G | G | G | G | G | G | G | H | H | H | H | H | H | H | H | H |
| 4 | H | H | H | H | H | H | ||||||||||||||
| 合計 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
ご覧の通り、6人のカウボーイが4回、14人が3回撃たれています。したがって、3回のみの負傷で済む最大確率は14/20 = 70%です。
一般的なケースでは、4 つの確率が a、b、c、d の場合、a+b+c+d >=3 かつ a+b+c+d <=4 である限り、生き残ることができる最大比率は 1-(a+b+c+d) になります。
この解決策を提供してくれた Wizard of Vegas フォーラム メンバーの CharliePatrick に感謝の意を表したいと思います。
[/spoiler]この質問は、 この投稿から始まり、私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
カジノディーラーが新しいスリーカードポーカーのバリエーションに取り組んでいます。彼女は標準デッキからすべての絵札を取り、よくシャッフルします。そして、プレイヤー1に3枚、プレイヤー2に3枚、プレイヤー3に3枚、そして最後の3枚をプレイヤー4に配ります。4つのハンド全てにストレート（どのスートのJQK）が含まれる確率はどれくらいでしょうか？
一度に1人のプレイヤーにカードを配ります。最初のプレイヤーが各ランクのカードを1枚ずつ受け取る確率は、4^3/combin(12,3) = 64/220です。
最初のプレイヤーがストレートを出したと仮定すると、各ランクのカードが3枚ずつ残ったデッキが空になります。2番目のプレイヤーが各ランクのカードを1枚ずつ出す確率は、3^3/combin(9,3) = 27/84です。
最初の2人のプレイヤーがストレートを出したと仮定すると、各ランクのカードが2枚ずつ残ったデッキが空になります。3人目のプレイヤーが各ランクのカードを1枚ずつ出す確率は、2^3/combin(6,3) = 8/20です。
最初の3人がストレートを作ったと仮定すると、各ランクのカードが1枚ずつ残ったデッキが空になります。この3枚のカードは明らかにストレートを形成します。
したがって、4 人のプレイヤー全員がストレートになる確率は、(64/220)*(27/84)*(8/20)*1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74% となります。
この質問は、 この投稿から始まり、Wizard of Vegas の私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
オスカーズ・グラインド、ラブシェール、フィボナッチの3つのベッティングシステムを分析しました。どのシステムが最も高い確率で勝利の目標を達成できるでしょうか？
各システムをバカラのプレイヤーベットに基づいて構築すると仮定しましょう。また、オスカーズ・グラインドとラブシェールを合わせてバンクロールの50倍の資金があると仮定しましょう。フィボナッチ数列（1、2、3、5、8、13、21）を合計したフィボナッチ数列は53倍とします。
それぞれの成功確率は次のとおりです。
- ラブシェール：97.53%
- オスカーのグラインド：97.69%
- フィボナッチ：97.93%
「すべてのベッティングシステムは等しく無価値だ」と言い続けるのに、なぜこれらのシステムが異なるのか疑問に思うかもしれません。その理由は、私がその発言に「賭け金に対する損失総額で測定」という条件を付けているからです。フィボナッチは、プレイヤーの平均賭け金が少ないため、成功確率が最も高くなります。他の2つは平均賭け金が大きいため、プレイヤーの資金を削り取る機会が増えます。ラブシェールは成功確率が最も低いですが、賭け金が最も高く、プレイヤーがより長くゲームを楽しむことができます。全体として、各システムの平均賭け金と勝利ゴールの比率は次のとおりです。
- ラブシェール：20.95
- オスカーのグラインド：14.56
- フィボナッチ：9.59
総合的に考えると、賭け方の選択は、なぜプレイするのかによって決まるはずです。勝率を最大化したいなら、フィボナッチ・ベッティングが適しています。より長くプレイし、より多くの金額を賭けたいなら、ロブーシェールが最適です。
これらはすべて同じ賭けに基づいているため、どのシステムを使用しても、賭けたお金に対する負け金の比率は常に 1.235% に近づきます。これは、プレイすればするほど、プレーヤー賭けのハウス エッジに近くなるためです。
カエルは1フィートまたは2フィートジャンプできます。カエルは常に前方へジャンプし、合計でちょうど10フィートを複数回ジャンプします。ジャンプの距離と順序を考慮すると、このジャンプは何通りの方法で行うことができますか？
- カエルが片足だけでジャンプする必要がある場合、明らかに方法は一つしかありません。カエルは目標を飛び越えることはできないことを覚えておいてください。
- カエルが 2 フィートジャンプする必要がある場合、これには 2 つの方法があります -- (1) 1 フィートと 1 フィート、または (2) 2 フィートです。
カエルが3フィートジャンプする必要がある場合、最後のジャンプの前に1フィートまたは2フィート離れている可能性があります。ステップ1で示したように、2フィート離れる方法は1つあり、ステップ2で示したように、1フィート離れる方法は2つあります。したがって、3フィートジャンプする方法は3つあります。これは、(1) 1+1+1、(2) 1+2、(3) 2+1 と簡単に証明できます。
カエルが4フィートジャンプする必要がある場合、最後のジャンプの前に2フィートまたは3フィート離れている可能性があります。ステップ2に示すように、2フィート離れる方法は2通りあり、ステップ3に示すように、1フィート離れる方法は3通りあります。したがって、4フィート離れる方法は5通りあります。これは、(1) 1+1+1+1、(2) 1+1+2、(3) 1+2+1、(4) 2+1+1、(5) 2+2 と簡単に証明できます。
カエルが5フィートジャンプする必要がある場合、最後のジャンプの前に3フィートまたは4フィート離れている可能性があります。ステップ3に示すように、2フィート離れる方法は3通りあり、ステップ4に示すように、1フィート離れる方法は5通りあります。したがって、5フィート離れる方法は3+5=8通りあります。これは、(1) 1+1+1+1+1、(2) 1+1+1+2、(3) 1+1+2+1、(4) 1+2+1+1、(5) 2+1+1+1、(6) 2+2+1、(7) 2+1+2、(8) 1+2+2 と簡単に証明できます。
パターンが見えてきましたか？それはフィボナッチ数列です。同じ論理を続けると、カエルがちょうど合計10フィートジャンプする方法は89通りあります。