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Wizardに尋ねる #332

米国の標準的な硬貨である 1、5、10、25、50 セント、1 ドルを使って、1 ドルのお釣りを出す方法はいくつありますか?

Gialmere

答えは293です。

[spoiler=解決策]

a(x) を、ペニーとニッケルのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 5 で割り切れます。

a(x) = 1+(x/5)

言い換えれば、方法の数は、お釣りの可能なニッケルの数であり、範囲は 0 から x/5 になります。

b(x) を、ペニー、ニッケル、ダイムのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 5 で割り切れます。

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)、ただしx>=10。

簡単に言えば、x セントを稼ぐ方法の数は、(1) b(x-10) = 各方法に 10 セントずつ加えて x-10 セントにする方法の数と、(2) a(x) = 10 セントを使わない方法の数の合計です。

c(x) を、ペニー、ニッケル、ダイム、クォーターのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 25 で割り切れます。

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)、ただしx>=25。

簡単に言えば、x セントを儲ける方法の数は、(1) c(x-25) = 各方法に 25 セントずつ加えて x-25 セントにする方法の数と、(2) b(x) = 25 セントを使わない方法の数の合計です。

d(x) を、ペニー、ニッケル、ダイム、クォーター、ハーフドルのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 50 で割り切れます。

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)、ただしx>=50。

簡単に言えば、x セントを稼ぐ方法の数は、(1) d(x-50) = 各方法に 0.5 ドルを追加して x-50 セントを得る方法の数と、(2) c(x) = 0.5 ドルを使わない方法の数の合計です。

以下は、x = 5 ~ 100 の場合のこれらの値を示す表です。

変化を起こす方法

×斧) b(x) c(x) d(x)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
25 6 12 13
30 7 16 0
35 8 20 0
40 9 25 0
45 10 30 0
50 11 36 49 50
55 12 42 0
60 13 49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

最後に、1 ドル硬貨に 1 を加えると、答えは 292+1 = 293 になります。

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

ダブルゼロルーレットを3,000回スピンして記録してみました。最初の12桁の数字は、次の22桁の数字ほど出目が濃くなかったからです。3,000回のスピンで、1から12までの数字は742回出ました。その確率はどれくらいでしょうか?

匿名

ボールが 1 から 12 の間に着地する回数は、3000*(12/38) = 947.37 になると予想されます。

結果と期待値の差は 947.37 - 742 = 205.37 です。

分散は3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20です。

標準偏差は分散の平方根 = sqrt(648.20) = 25.46 です。

結果は、予想より 205.37/25.46 = 11.75 標準偏差分南になります。

p 値、つまり 11.75 標準偏差以上ずれる確率は、28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分の 1 です。

車輪がどこにあるか知りたいです。

10かエースをスプリットした後にブラックジャックになった場合、6対5の配当が支払われるブラックジャックゲームを見つけました。エースの再スプリットは禁止されています。ディーラーのブラックジャックは、ナチュラルプレイヤーのブラックジャックに対してプッシュしない限り、どんなハンドにも勝ちます。ディーラーが21ポイントでドローした場合、スプリット後にエースと10を出したプレイヤーが勝ちます。

Scrooge

10 を分割することは無視しましょう。このルールがあっても、プレイヤーは 20 で何に対してもスタンドする必要があるからです。

6 つのデッキがあると仮定すると、エースのペアの確率は combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689% となります。

ブラックジャックに発展する 2 つのエースの期待値は、2*(16*6)/(312-2) = 0.619355 です。

ディーラーがブラックジャックを持っていない確率は、1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%です。

ディーラーが21ポイントまでドローする確率は7.7981%です。この計算は複雑すぎて説明できません。

このルールが役立つ確率は、0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044% です。

1 件あたりの利益 = Pr(ディーラーが 21 ポイントに到達しない場合) * (0.2) + Pr(ディーラーが 21 ポイントに到達した場合) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

ルールの全体的な利点は、状況が発生する頻度と状況が発生したときの利点の積 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11% です。

サイコロが2つあります。両方のサイコロのそれぞれの面に、1以上の整数であれば好きな番号を付けることができます。同じサイコロに同じ目が何度も出たり、好きなだけ高い目が出たりしても構いません。標準的なサイコロを作る以外に、どのようにしてサイコロに番号を付ければ、どの合計が出る確率も標準的なサイコロと同じになるでしょうか?

匿名

[ネタバレ=回答]

サイコロ1 = 1、2、2、3、3、4。
サイコロ2 = 1、3、4、5、6、8。

残念ながら、この問題に対する私の解決策はかなり試行錯誤でした。

[/ネタバレ]

イリノイ・デュースの「Not so Ugly Ducks」に最適な戦略でプレイした場合、プレイヤーのエラーにかかるコストはどれくらいですか?

匿名

ご参考までに、記載されている支払い表は次のとおりです。

それほど醜いアヒルではない: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
イリノイ デュース: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

次に、このゲームの最適戦略に従った「Not so Ugly Ducks」のリターン テーブルを示します。

それほど醜いアヒルではない――正しい戦略

イベント支払う組み合わせ確率戻る
ナチュラルロイヤルフラッシュ800 458,696,304 0.000023 0.018409
4つのデュース200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
ワイルドロイヤルフラッシュ25 38,006,962,464 0.001907 0.047668
5枚の同じもの16 61,961,233,656 0.003108 0.049735
ストレートフラッシュ10 102,392,435,976 0.005137 0.051368
フォー・オブ・ア・カインド4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
フルハウス4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
フラッシュ3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
真っ直ぐ2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
スリーオブアカインド1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
何もない0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
合計19,933,230,517,200 1.000000 0.997283

次に、イリノイ・デュースの配当表を示します。この配当表に適した戦略を使用しています。右下のセルには、配当が0.989131と表示されています。

イリノイ・デュース - 正しい戦略

イベント支払う組み合わせ確率戻る
ナチュラルロイヤルフラッシュ800 459,049,128 0.000023 0.018423
4つのデュース200 3,727,422,492 0.000187 0.037399
ワイルドロイヤルフラッシュ25 38,117,987,136 0.001912 0.047807
5枚の同じもの15 62,201,557,608 0.003120 0.046807
ストレートフラッシュ9 98,365,859,016 0.004935 0.044413
フォー・オブ・ア・カインド4 1,221,942,888,444 0.061302 0.245207
フルハウス4 522,030,131,520 0.026189 0.104756
フラッシュ3 407,586,633,720 0.020448 0.061343
真っ直ぐ2 1,145,767,137,120 0.057480 0.114961
スリーオブアカインド1 5,342,397,992,292 0.268015 0.268015
何もない0 11,090,633,858,724 0.556389 0.000000
合計19,933,230,517,200 1.000000 0.989131

次の表は、Not so Ugly Ducksの組み合わせと確率をIllinois Deucesのペイテーブルに使用したリターン表です。右下のセルには、リターンが0.989131と表示されています。

イリノイ デュース -- NSUD 戦略

イベント支払う組み合わせ確率戻る
ナチュラルロイヤルフラッシュ800 458,696,304 0.000023 0.018409
4つのデュース200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
ワイルドロイヤルフラッシュ25 38,006,962,464 0.001907 0.047668
5枚の同じもの15 61,961,233,656 0.003108 0.046627
ストレートフラッシュ9 102,392,435,976 0.005137 0.046231
フォー・オブ・ア・カインド4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
フルハウス4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
フラッシュ3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
真っ直ぐ2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
スリーオブアカインド1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
何もない0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
合計19,933,230,517,200 1.000000 0.989038

エラーのコストは、イリノイ デュースの最適リターン (2 番目の表) から、NSUD 戦略を使用したイリノイ デュースのリターン (3 番目の表) を差し引いた値 = 0.989131 - 0.989038 = 0.000093 です。