Wizardに尋ねる #332
米国の標準的な硬貨である 1、5、10、25、50 セント、1 ドルを使って、1 ドルのお釣りを出す方法はいくつありますか?
a(x) を、ペニーとニッケルのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 5 で割り切れます。
a(x) = 1+(x/5)
言い換えれば、方法の数は、お釣りの可能なニッケルの数であり、範囲は 0 から x/5 になります。
b(x) を、ペニー、ニッケル、ダイムのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 5 で割り切れます。
b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)、ただしx>=10。
簡単に言えば、x セントを稼ぐ方法の数は、(1) b(x-10) = 各方法に 10 セントずつ加えて x-10 セントにする方法の数と、(2) a(x) = 10 セントを使わない方法の数の合計です。
c(x) を、ペニー、ニッケル、ダイム、クォーターのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 25 で割り切れます。
c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)、ただしx>=25。
簡単に言えば、x セントを儲ける方法の数は、(1) c(x-25) = 各方法に 25 セントずつ加えて x-25 セントにする方法の数と、(2) b(x) = 25 セントを使わない方法の数の合計です。
d(x) を、ペニー、ニッケル、ダイム、クォーター、ハーフドルのみを使用して x セントを作る方法の数とします。ここで、x は 50 で割り切れます。
d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)、ただしx>=50。
簡単に言えば、x セントを稼ぐ方法の数は、(1) d(x-50) = 各方法に 0.5 ドルを追加して x-50 セントを得る方法の数と、(2) c(x) = 0.5 ドルを使わない方法の数の合計です。
以下は、x = 5 ～ 100 の場合のこれらの値を示す表です。
変化を起こす方法
| × | 斧） | b(x) | c(x) | d(x) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 5 | 2 | 2 | 0 | |
| 10 | 3 | 4 | 0 | |
| 15 | 4 | 6 | 0 | |
| 20 | 5 | 9 | 0 | |
| 25 | 6 | 12 | 13 | |
| 30 | 7 | 16 | 0 | |
| 35 | 8 | 20 | 0 | |
| 40 | 9 | 25 | 0 | |
| 45 | 10 | 30 | 0 | |
| 50 | 11 | 36 | 49 | 50 |
| 55 | 12 | 42 | 0 | |
| 60 | 13 | 49 | 0 | |
| 65 | 14 | 56 | 0 | |
| 70 | 15 | 64 | 0 | |
| 75 | 16 | 72 | 121 | |
| 80 | 17 | 81 | 0 | |
| 85 | 18 | 90 | 0 | |
| 90 | 19 | 100 | 0 | |
| 95 | 20 | 110 | 0 | |
| 100 | 21 | 121 | 242 | 292 |
最後に、1 ドル硬貨に 1 を加えると、答えは 292+1 = 293 になります。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
ダブルゼロルーレットを3,000回スピンして記録してみました。最初の12桁の数字は、次の22桁の数字ほど出目が濃くなかったからです。3,000回のスピンで、1から12までの数字は742回出ました。その確率はどれくらいでしょうか？
ボールが 1 から 12 の間に着地する回数は、3000*(12/38) = 947.37 になると予想されます。
結果と期待値の差は 947.37 - 742 = 205.37 です。
分散は3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20です。
標準偏差は分散の平方根 = sqrt(648.20) = 25.46 です。
結果は、予想より 205.37/25.46 = 11.75 標準偏差分南になります。
p 値、つまり 11.75 標準偏差以上ずれる確率は、28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分の 1 です。
車輪がどこにあるか知りたいです。
10かエースをスプリットした後にブラックジャックになった場合、6対5の配当が支払われるブラックジャックゲームを見つけました。エースの再スプリットは禁止されています。ディーラーのブラックジャックは、ナチュラルプレイヤーのブラックジャックに対してプッシュしない限り、どんなハンドにも勝ちます。ディーラーが21ポイントでドローした場合、スプリット後にエースと10を出したプレイヤーが勝ちます。
10 を分割することは無視しましょう。このルールがあっても、プレイヤーは 20 で何に対してもスタンドする必要があるからです。
6 つのデッキがあると仮定すると、エースのペアの確率は combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689% となります。
ブラックジャックに発展する 2 つのエースの期待値は、2*(16*6)/(312-2) = 0.619355 です。
ディーラーがブラックジャックを持っていない確率は、1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%です。
ディーラーが21ポイントまでドローする確率は7.7981%です。この計算は複雑すぎて説明できません。
このルールが役立つ確率は、0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044% です。
1 件あたりの利益 = Pr(ディーラーが 21 ポイントに到達しない場合) * (0.2) + Pr(ディーラーが 21 ポイントに到達した場合) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。
ルールの全体的な利点は、状況が発生する頻度と状況が発生したときの利点の積 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11% です。
サイコロが2つあります。両方のサイコロのそれぞれの面に、1以上の整数であれば好きな番号を付けることができます。同じサイコロに同じ目が何度も出たり、好きなだけ高い目が出たりしても構いません。標準的なサイコロを作る以外に、どのようにしてサイコロに番号を付ければ、どの合計が出る確率も標準的なサイコロと同じになるでしょうか？
サイコロ1 = 1、2、2、3、3、4。
サイコロ2 = 1、3、4、5、6、8。
残念ながら、この問題に対する私の解決策はかなり試行錯誤でした。
イリノイ・デュースの「Not so Ugly Ducks」に最適な戦略でプレイした場合、プレイヤーのエラーにかかるコストはどれくらいですか?
ご参考までに、記載されている支払い表は次のとおりです。
それほど醜いアヒルではない: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
イリノイ デュース: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800
次に、このゲームの最適戦略に従った「Not so Ugly Ducks」のリターン テーブルを示します。
それほど醜いアヒルではない――正しい戦略
| イベント | 支払う | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|
| ナチュラルロイヤルフラッシュ | 800 | 458,696,304 | 0.000023 | 0.018409 |
| 4つのデュース | 200 | 3,721,737,204 | 0.000187 | 0.037342 |
| ワイルドロイヤルフラッシュ | 25 | 38,006,962,464 | 0.001907 | 0.047668 |
| 5枚の同じもの | 16 | 61,961,233,656 | 0.003108 | 0.049735 |
| ストレートフラッシュ | 10 | 102,392,435,976 | 0.005137 | 0.051368 |
| フォー・オブ・ア・カインド | 4 | 1,216,681,289,508 | 0.061038 | 0.244151 |
| フルハウス | 4 | 520,566,943,104 | 0.026116 | 0.104462 |
| フラッシュ | 3 | 413,870,908,056 | 0.020763 | 0.062289 |
| 真っ直ぐ | 2 | 1,142,885,476,800 | 0.057336 | 0.114671 |
| スリーオブアカインド | 1 | 5,325,911,611,716 | 0.267188 | 0.267188 |
| 何もない | 0 | 11,106,773,222,412 | 0.557199 | 0.000000 |
| 合計 | 19,933,230,517,200 | 1.000000 | 0.997283 |
次に、イリノイ・デュースの配当表を示します。この配当表に適した戦略を使用しています。右下のセルには、配当が0.989131と表示されています。
イリノイ・デュース - 正しい戦略
| イベント | 支払う | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|
| ナチュラルロイヤルフラッシュ | 800 | 459,049,128 | 0.000023 | 0.018423 |
| 4つのデュース | 200 | 3,727,422,492 | 0.000187 | 0.037399 |
| ワイルドロイヤルフラッシュ | 25 | 38,117,987,136 | 0.001912 | 0.047807 |
| 5枚の同じもの | 15 | 62,201,557,608 | 0.003120 | 0.046807 |
| ストレートフラッシュ | 9 | 98,365,859,016 | 0.004935 | 0.044413 |
| フォー・オブ・ア・カインド | 4 | 1,221,942,888,444 | 0.061302 | 0.245207 |
| フルハウス | 4 | 522,030,131,520 | 0.026189 | 0.104756 |
| フラッシュ | 3 | 407,586,633,720 | 0.020448 | 0.061343 |
| 真っ直ぐ | 2 | 1,145,767,137,120 | 0.057480 | 0.114961 |
| スリーオブアカインド | 1 | 5,342,397,992,292 | 0.268015 | 0.268015 |
| 何もない | 0 | 11,090,633,858,724 | 0.556389 | 0.000000 |
| 合計 | 19,933,230,517,200 | 1.000000 | 0.989131 |
次の表は、Not so Ugly Ducksの組み合わせと確率をIllinois Deucesのペイテーブルに使用したリターン表です。右下のセルには、リターンが0.989131と表示されています。
イリノイ デュース -- NSUD 戦略
| イベント | 支払う | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|
| ナチュラルロイヤルフラッシュ | 800 | 458,696,304 | 0.000023 | 0.018409 |
| 4つのデュース | 200 | 3,721,737,204 | 0.000187 | 0.037342 |
| ワイルドロイヤルフラッシュ | 25 | 38,006,962,464 | 0.001907 | 0.047668 |
| 5枚の同じもの | 15 | 61,961,233,656 | 0.003108 | 0.046627 |
| ストレートフラッシュ | 9 | 102,392,435,976 | 0.005137 | 0.046231 |
| フォー・オブ・ア・カインド | 4 | 1,216,681,289,508 | 0.061038 | 0.244151 |
| フルハウス | 4 | 520,566,943,104 | 0.026116 | 0.104462 |
| フラッシュ | 3 | 413,870,908,056 | 0.020763 | 0.062289 |
| 真っ直ぐ | 2 | 1,142,885,476,800 | 0.057336 | 0.114671 |
| スリーオブアカインド | 1 | 5,325,911,611,716 | 0.267188 | 0.267188 |
| 何もない | 0 | 11,106,773,222,412 | 0.557199 | 0.000000 |
| 合計 | 19,933,230,517,200 | 1.000000 | 0.989038 |
エラーのコストは、イリノイ デュースの最適リターン (2 番目の表) から、NSUD 戦略を使用したイリノイ デュースのリターン (3 番目の表) を差し引いた値 = 0.989131 - 0.989038 = 0.000093 です。