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Wizardに尋ねる #333

電球は無数にあり、すべて消灯しています。電球が点灯する間隔は、平均1日の指数分布*に従います。電球が一度点灯すると、その寿命も平均1日の指数分布に従います。

最初の電球が切れるまでの平均時間はどれくらいですか?

*: 指数分布に従うランダム事象は、過去が関係ないという点で記憶のない性質を持ちます。言い換えれば、単一の事象が期限切れになることはなく、発生する確率は常に一定です。

Ace2

答えは e - 1 = 約 1.7182818... です。

[spoiler=解決策]

最初の電球が点灯するまでに平均1日かかります。

そこから、次の重要なイベント（新しい電球が点灯するか、最初の電球が切れるか）まで、平均して半日かかります。そのイベントまでの待ち時間に半日を加えます。つまり、1 + (1/2) = 1.5日となります。

2番目のイベントが2つ目の電球の点灯である確率は1/2です。その場合、次の重要なイベント（最初の2つの電球のどちらかが切れるか、新しい電球が点灯するか）まで1/3日の待機時間があります。したがって、1/2（ここまでの確率）と1/3を掛け合わせた1/6を待機時間に加えます。つまり、1.5 + 1/6 = 5/3 = 1.66667日ではありません。

3番目の重要なイベントが3つ目の電球の点灯である確率は(1/2)*(1/3) = 1/6です。この場合、次の重要なイベント（最初の3つの電球のいずれかが切れるか、新しい電球が点灯するかのいずれか）まで1/4日の待機時間があります。したがって、1/6（ここまでの確率）と1/4を掛け合わせた値である1/24を待機時間に加えます。つまり、5/3 + 1/24 = 41/24 = 1.7083日ではありません。

このパターンに従うと、答えは (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ... となります。

e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ... であることは周知の事実です。

唯一の違いは、答えに1/0! 係数がないことです。したがって、答えは e - 1/0! = e - 1 = 約 1.7182818... となります。

[/ネタバレ]

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

平均して、1 人のプレイヤーが自分の手札の 52 枚のカードをすべて見るために、ハート* のゲームを何回プレイする必要がありますか?

*: ハーツは52枚のカード1組でプレイします。各ハンドは13枚のカードで構成されます。

匿名

52枚のカードすべてを見るのに必要な平均ハンド数は約16.41217418です。

[spoiler=解決策]

この問題を解決するために、Excelのマルコフ連鎖を使用しました。次の表は、4～100回のハンドで52枚すべてのカードを見る確率を示しています。左の列はハンドの数を示しています。中央の列は、プレイヤーが52枚目のカードをこの回数だけ正確に見る確率を示しています。右の列は、プレイヤーが52枚目のカードをこの回数以下で見る確率を示しています。例えば、20回のハンドで52枚すべてのカードを見る確率は4.64%、20回以下で52枚すべてのカードを見る確率は84.63%です。

ハートの質問

手確率
ちょうど
番号		確率
これにより
番号
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
13 0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0.7416558705
19 0.0582992717 0.7999551422
20 0.0463771514 0.8463322937
21 0.0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0.9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
25 0.0125489118 0.9614994539
26 0.0095051901 0.9710046441
27 0.0071815343 0.9781861784
28 0.0054157295 0.9836019079
29 0.0040783935 0.9876803013
30 0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
32 0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
34 0.0009767397 0.9970651521
35 0.0007330651 0.9977982171
36 0.0005500841 0.9983483012
37 0.0004127226 0.9987610238
38 0.0003096311 0.9990706549
39 0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
42 0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
44 0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
47 0.0000232667 0.9999301974
48 0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0。9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000
[/ネタバレ]

カルネバダ州のカジノには、次のルールの古い電子ブラックジャック ゲームがあります。

  • ブラックジャック以外の勝利は2倍の3倍（または1倍）
  • ブラックジャックは1対6（または5対1）で支払われます
  • シングルデッキ
  • ディーラーはソフト17でスタンドする
  • 最初に提示された2枚のカードをダブルする
  • 分割可能
  • 分割後にダブルを行う
  • 再分割不可
  • 降伏なし

Rosebud

面白いですね。プレイヤーが賭け金を倍にして勝ったとしても、賭けた合計金額の1～2倍しか支払われないということでしょうか。

まず、これらのルールの基本戦略は次のとおりです。

  • ハードハンド：ダブルは絶対にしないでください。それ以外の場合は、12対3と16対10の時はスタンドする以外は、従来の基本戦略に従ってプレイしてください。
  • ソフトハンド：ダブルは絶対にしないでください。ソフト17以下、またはソフト18対9の場合はヒットします。それ以外の場合はスタンドします。
  • ペア：6対8の相手には8をスプリットするのみ。エースを2枚揃えてヒットする。それ以外の場合は、ハードトータルの戦略に従う。

これらのルールと戦略では、ハウスエッジは 7.88% になります。

クラップスのパス ライン ベットで勝つために、プレイヤーが 7 を出す前に 2 回ポイントを獲得する必要がある場合、ハウス エッジはどの程度増加するでしょうか。

Gary

この恐ろしいルールにより、ハウスエッジは 1.41% から 33.26% に増加します。