Wizardに尋ねる #339
第55回スーパーボウルで、NFL史上かつてないユニークなスコアの組み合わせ（スコリガミ）で試合が終わるかどうかを賭ける賭けを見ました。賭けのラインは以下のとおりです。
はい: +1100
番号: -1400
確率はいくらだと思いますか?
いい質問ですね！幸いなことに、NFLの歴史におけるあらゆるスコアの組み合わせの数を教えてくれるNFL Scorigamiがあります。
頻度主義者たちは私の答えを嫌うだろうと思いますが、一度も起こったことのない出来事の確率を得るためには、いくつかの仮定を立てなければなりませんでした。
まず、各チームのスコアを得るために、過去のNFLの試合を調べました。特に1994年から2018年までの試合です。1994年を選んだのは、2ポイントコンバージョンルールが導入された年であり、これにより各チームのスコア分布が多少平滑化されるはずだからです。2018年を最後にしたのは、利用可能なデータの中で上限が2018年だったからです。これがその分布です。
NFLチーム別スコア（1994～2018年）
| ポイント | カウント | 確率 |
|---|---|---|
| 0 | 170 | 0.013490 |
| 1 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 2 | 0.000159 |
| 3 | 303 | 0.024044 |
| 4 | 0 | 0.000000 |
| 5 | 5 | 0.000397 |
| 6 | 267 | 0.021187 |
| 7 | 420 | 0.033328 |
| 8 | 29 | 0.002301 |
| 9 | 188 | 0.014918 |
| 10 | 706 | 0.056023 |
| 11 | 32 | 0.002539 |
| 12 | 123 | 0.009760 |
| 13 | 646 | 0.051262 |
| 14 | 530 | 0.042057 |
| 15 | 128 | 0.010157 |
| 16 | 434 | 0.034439 |
| 17 | 892 | 0.070782 |
| 18 | 91 | 0.007221 |
| 19 | 282 | 0.022377 |
| 20 | 860 | 0.068243 |
| 21 | 511 | 0.040549 |
| 22 | 189 | 0.014998 |
| 23 | 548 | 0.043485 |
| 24 | 821 | 0.065148 |
| 25 | 118 | 0.009364 |
| 26 | 267 | 0.021187 |
| 27 | 673 | 0.053404 |
| 28 | 382 | 0.030313 |
| 29 | 131 | 0.010395 |
| 30 | 336 | 0.026662 |
| 31 | 578 | 0.045866 |
| 32 | 61 | 0.004841 |
| 33 | 146 | 0.011585 |
| 34 | 394 | 0.031265 |
| 35 | 200 | 0.015870 |
| 36 | 71 | 0.005634 |
| 37 | 163 | 0.012934 |
| 38 | 265 | 0.021028 |
| 39 | 30 | 0.002381 |
| 40 | 50 | 0.003968 |
| 41 | 146 | 0.011585 |
| 42 | 78 | 0.006189 |
| 43 | 25 | 0.001984 |
| 44 | 58 | 0.004602 |
| 45 | 85 | 0.006745 |
| 46 | 7 | 0.000555 |
| 47 | 16 | 0.001270 |
| 48 | 47 | 0.003730 |
| 49 | 35 | 0.002777 |
| 50 | 5 | 0.000397 |
| 51 | 15 | 0.001190 |
| 52 | 14 | 0.001111 |
| 53 | 1 | 0.000079 |
| 54 | 4 | 0.000317 |
| 55 | 6 | 0.000476 |
| 56 | 6 | 0.000476 |
| 57 | 2 | 0.000159 |
| 58 | 3 | 0.000238 |
| 59 | 5 | 0.000397 |
| 60 | 0 | 0.000000 |
| 61 | 0 | 0.000000 |
| 62 | 2 | 0.000159 |
| 合計 | 12602 | 1.000000 |
重要ではありませんが、チームの平均スコアは 21.60165 です。
次に、これまで一度も発生していないスコアxyについて、確率を2×prob(x)×prob(y)として計算しました。なぜ2倍するのでしょうか？スコアxyは2通りの結果になり得るからです。例えば、スーパーボウル55の結果は、カンザスシティx - タンパベイy、あるいはカンザスシティy - タンパベイxとなる可能性があります。スーパーボウルは引き分けにならない可能性が高いため、xxスコアを気にする必要はありません。もし気にするなら、2倍する必要はないでしょう。
例えば、11-15というスコアは一度も出たことはありません。11が出る確率を0.002539、15が出る確率を0.010157とすると、11-15が出る確率は2×0.002539×0.010157 = 0.0000515835となります。
これまで一度も発生していないスコアすべてにこの計算を行うと、合計確率は0.0179251になります。これに賭ける場合の適正ラインは+5479、つまり約55対1です。つまり、11対1に賭けるだけでも素晴らしい賭けになるのです！私もこの方法を試せたらいいのに。
確かに、どちらのチームも1点を取る可能性はゼロです。これは実際には一度も起こりませんでしたが、起こり得ます。確かに、 1点セーフティというものは存在します。どちらのチームも1点を取る可能性は極めて低いと私は感じています。
実際のところ、第55回スーパーボウルのオーバー/アンダーは56.5でした。これほど得点の高い試合であれば、スコリガミの確率は高くなるはずです。もし推定するなら、2%、つまり49対1という妥当なラインになるでしょう。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
15 個のサイコロを振って合計が 53 になる確率はどれくらいでしょうか?
[spoiler=解決策]
スプレッドシートを使えば、このような答えを簡単に得ることができます。例えば、別の問題を考えてみましょう。「サイコロを8個振って、合計が20になる確率はどれくらいでしょうか？」
「1 ダイス」列の場合、明らかに、各合計を 1 から 6 までロールする方法が 1 つあります。
サイコロが2個以上のセルごとに、1つ左のセルに移動し、そのセルの上の6つのセルを合計します。なぜこの式が機能するのかは明らかでしょう。この数式をコピーして、サイコロが8個で合計が20のセルに貼り付けます。
セルの合計は36,688です。6面サイコロを8個振る場合、8 × 6 = 262,144通りの出目があります。つまり、サイコロを8個振って合計が20になる確率は、36688 / 262,144 = 0.139954となります。
同じ論理を使用すると、20 個のサイコロで合計 53 になる確率は 0.059511 です。
サイコロの合計
| 合計 | 1日 | サイコロ2個 | 3つのサイコロ | 4つのサイコロ | 5個のサイコロ | 6個のサイコロ | 7個のサイコロ | 8個のサイコロ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 0 | |
| 8 | 5 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |
| 9 | 4 | 25 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | |
| 10 | 3 | 27 | 80 | 126 | 126 | 84 | 36 | |
| 11 | 2 | 27 | 104 | 205 | 252 | 210 | 120 | |
| 12 | 1 | 25 | 125 | 305 | 456 | 462 | 330 | |
| 13 | 21 | 140 | 420 | 756 | 917 | 792 | ||
| 14 | 15 | 146 | 540 | 1161 | 1667 | 1708 | ||
| 15 | 10 | 140 | 651 | 1666 | 2807 | 3368 | ||
| 16 | 6 | 125 | 735 | 2247 | 4417 | 6147 | ||
| 17 | 3 | 104 | 780 | 2856 | 6538 | 10480 | ||
| 18 | 1 | 80 | 780 | 3431 | 9142 | 16808 | ||
| 19 | 56 | 735 | 3906 | 12117 | 25488 | |||
| 20 | 35 | 651 | 4221 | 15267 | 36688 |
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
あなたは遊園地の夜間花火大会を担当する花火師です。ヨーロッパから新型ロケットを入手し、ショーのBGMに合わせて打ち上げるタイミングをテストしています。
花火ロケットは、化学燃料が尽きるまで4ms^-2の一定加速度で垂直上方に発射されます。その後、重力によって上昇速度が減速され、最高高度138メートルに到達して爆発します。
空気抵抗がなく、重力加速度が毎秒 9.8 メートルであると仮定すると、ロケットが最高高度に到達するまでにどれくらいの時間がかかりますか?
[spoiler=解決策]
させて：
t = ロケット燃料がなくなるまでの時間。
r = ロケット燃料が持続した時間。
加速度を上向きの方向で表します。つまり、ロケット燃料が燃え尽きた後の加速度は-9.8です。
念のため、加速度の積分は速度であり、速度の積分は位置です。位置を地面を基準にしてみましょう。
ロケットが最初に打ち上げられるとき、加速度は 4 であると与えられます。
積分すると、r 秒後のロケットの速度は 4r になります。
速度を積分すると、2r 2の r 秒後のロケットの位置が得られます。
それでは、ロケット燃料が燃え尽きた後に何が起こるかを見てみましょう。
重力加速度は -9.8 であると与えられています。
時刻tにおける重力速度は-9.8tです。しかし、ロケットから4rの上向きの速度も持っています。
v(t) = 時刻tにおける速度とする
v(t) = -9.8t + 4r
ロケットはv(t) = 0のときに最大高度に達します。これを解いてみましょう。
v(t) = 0 = -9.8t + 4r
4r = 9.8t
t = 40/98 r = 20r/49。
言い換えれば、ロケット燃料がどれだけの時間持続したとしても、ロケットはその時間のうち 20/49 の間上昇し続けることになります。
また、達成された最高高度での移動距離は 138 であることが示されています。
v(t) を積分して移動距離の式を取得し、これを d(t) と呼びます。
d(t) = -4.9t 2 + 4rt + c、ここでcは積分定数です。
すでに示したように、燃料が燃え尽きるまでにロケットは2r 2を移動したので、これが積分定数となるはずです。つまり、
d(t) = -4.9t 2 + 4rt + 2r 2
最高高度 138 に到達したのは 20r/49 の時刻であることが分かっています。そこで、t=20r/49 を式に代入して r について解きます。
d((20r/49) = -4.9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138
r 2 * (-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138
r 2 = 49
r = 7
つまり、ロケット燃料は 7 秒間持続しました。
ロケットがその時間のうち 20/49 秒間上昇し続けたことはすでにわかっています。つまり、140/49 = 約 2.8571 秒です。
したがって、打ち上げから最大速度までの時間は7 + 140/49 = 483/49 = 約9.8571秒となる。
[/ネタバレ]この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。