Wizardに尋ねる #348
フォントルロイとサウスワースという二つの都市が、海峡を挟んで真向かいに位置しています。二つの都市の間を、2隻のフェリーが一日中往復しています。フェリーの速度はそれぞれ異なりますが、同時に出発します。
最初に渡るのはサウスワースから5マイルの地点です。2回目はフォントルロイから3マイルの地点です。荷物の積み下ろしに時間はないものと想定しますが、どちらもすぐにUターンします。また、両列車は直線で進むものと想定します。
二つの都市はどれくらい離れていますか？
t 2 = 2回目の交差点までの時間
r = フォントルロイを最初に出発するフェリーの速度とサウスワースを最初に出発するフェリーの速度の比。
c = 2つの都市間の水路の距離。
最初に横断する地点はサウスワースから5マイルの地点であることが分かっています。これを数式で表すと、次のようになります。
c-5 = r*t 1
5 = t 1
t 1 を等しくすると次のようになります。
c-5 = 5r、またはr = (c-5)/5
2回目の渡河地点はフォントルロイから3マイルの地点であることも分かっています。これを数式で表すと、次のようになります。
3c - 3 = r*t 2
c+3 = t 2
t 2 を等しくすると次のようになります。
2c - 3 = r*(c+3)
r=(c-5)/5を代入する
2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c^2 - 2c - 15
c^2 - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12
つまり、水路の長さは12マイルです。
クラップレス クラップスでファイア ベットが提供された場合、勝つ確率はどれくらいでしょうか?
念のため、クラップレス クラップスでは、2、3、11、12 はパス ライン ベットをすぐに解決するわけではありませんが、4、5、6、8、9、10 と同様にポイントとしてみなされます。
私の解決策の最初のステップでは、パスライン ベットの特定の結果の確率を次のように計算する必要があります。
クラップレスクラップスの可能な結果
| イベント | 式 | 確率 | 分数 |
|---|---|---|---|
| カムアウトロール | 1/6 | 0.166667 | 1/6 |
| ポイント2勝利 | (1/36)*(1/7) | 0.003968 | 1/252 |
| ポイント3勝利 | (2/36)*(2/8) | 0.013889 | 1/72 |
| ポイント4で勝利 | (3/36)*(3/9) | 0.027778 | 1/36 |
| ポイント5勝利 | (4/36)*(4/10) | 0.044444 | 2/45 |
| ポイント6勝利 | (5/36)*(5/11) | 0.063131 | 25/396 |
| ポイント8勝利 | (5/36)*(5/11) | 0.063131 | 25/396 |
| ポイント9勝利 | (4/36)*(4/10) | 0.044444 | 2/45 |
| ポイント10勝利 | (3/36)*(3/9) | 0.027778 | 1/36 |
| ポイント11の勝利 | (2/36)*(2/8) | 0.013889 | 1/72 |
| ポイント12の勝利 | (1/36)*(1/7) | 0.003968 | 1/252 |
| ポイント2の敗北 | (1/36)*(6/7) | 0.023810 | 1/42 |
| ポイント3の敗北 | (2/36)*(6/8) | 0.041667 | 1/24 |
| ポイント4の敗北 | (3/36)*(6/9) | 0.055556 | 1/18 |
| ポイント5の敗北 | (4/36)*(6/10) | 0.066667 | 1/15 |
| ポイント6の敗北 | (5/36)*(6/11) | 0.075758 | 5/66 |
| ポイント8の敗北 | (5/36)*(6/11) | 0.075758 | 5/66 |
| ポイント9の敗北 | (4/36)*(6/10) | 0.066667 | 1/15 |
| ポイント10の敗北 | (3/36)*(6/9) | 0.055556 | 1/18 |
| ポイント11の敗北 | (2/36)*(6/8) | 0.041667 | 1/24 |
| ポイント12の敗北 | (1/36)*(6/7) | 0.023810 | 1/42 |
負ける方法をすべて合計すると、7303/13860 = 約 0.526912 になります。
この問題の解決における次のステップでは、微積分を用います。これは、パスラインベットの解決間隔がランダムな時間間隔であっても、答えは同じになるという事実に基づいています。ベット解決間隔の平均時間を1とし、指数分布に従うものとしましょう。つまり、これは記憶を持たない性質を持つということです。
x は射手がターンを開始してからの時間を表します。
シューターがポイント2の勝利を1回も獲得できなかった確率はexp(-x/252)です。したがって、シューターが少なくとも1回のポイント2の勝利を獲得した確率は1-exp(-x/252)です。
シューターがポイント3の勝利を1回も獲得できなかった確率はexp(-x/72)です。したがって、シューターが少なくとも1回ポイント3の勝利を獲得した確率は1-exp(-x/72)です。
シューターがポイント4の勝利を1回も獲得できなかった確率はexp(-x/36)です。したがって、シューターが少なくとも1回ポイント4の勝利を獲得した確率は1-exp(-x/36)です。
シューターがポイント5の勝利を1回も獲得できなかった確率はexp(-2x/45)です。したがって、シューターが少なくとも1回ポイント5の勝利を獲得した確率は1-exp(-2x/45)です。
シューターがポイント6の勝利を得られなかった確率はexp(-2x/45)です。したがって、シューターが少なくとも1つのポイント6の勝利を得る確率は1-exp(-x/72)です。
これらの確率は 8 から 12 まで同じなので、それらを二乗すると、それぞれ 2 回達成されたことがわかります。
射手が負けなかった確率はexp(-7303x/13860)です。
負ける確率は 7303/13860 です。
この問題は、すべての勝利の要件が満たされ、負けの結果が満たされず、賭けが与えられた場合に負ける確率が解決されたことの積の確率を t = 0 から無限大まで積分することで解決できます。
積分される関数は、exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860)です。
これをintegral-calculator.comのような積分計算機に入力してください。0から無限大までの範囲を入力することを忘れないでください。答えは上記の答えとして表されているものと同じになります。
必須ヒットバイプログレッシブの分析をありがとうございます。質問なのですが、プレイに必要なヒットポイントの計算式は、プレイヤーが即座に有利になることを想定しているのでしょうか、それとも最初はわずかに不利になるものの、プレイヤーがメーターに貢献するにつれてすぐに有利に転じる状況を想定しているのか、どちらでしょうか？
いい質問ですね。以前、「短期」プレイヤー向けの計算式を紹介しましたが、その計算式では1回目のベットでジャックポットがプラスになる必要があるとされていました。
しかし、ジャックポットが出るまでプレイできる長期プレイヤーの場合、ヒットポイントは少なくなります。両方のタイプのプレイヤー向けの計算式を追加してページを更新しました。簡単に言うと、2つの計算式は以下のとおりです。
j (短期) = m × (1-f)/(1-f+r)
j（長期） = m × (1-fr)/(1-f+r)
どこ：
j = 損益分岐ジャックポットサイズ（ハウスエッジ0%）
f = すべての固定勝利の価値にスロット クラブ ポイントとインセンティブを加えた値。
m = 最大ジャックポット（必ずヒットするポイント）
n = 最小ジャックポット（再シードポイント）
r = メーター上昇率
普通の6面ダイスを使うゲームをしたいと思っています。残念ながら、ダイスを失くしてしまいました。しかし、4枚のインデックスカードがあり、好きなように印を付けることができます。プレイヤーは4枚のカードからランダムに2枚を選び、その合計を求めます。
2 枚の異なるカードの合計がサイコロの出目を表すように、カードに番号を付けるにはどうすればよいでしょうか。
0、1、2、4 と番号を付けます。
4 枚のカードから 2 枚を引く方法は、次の 6 通りあります。
- 0+1 = 1
- 0+2 = 2
- 1+2 = 3
- 0+4 = 4
- 1+4 = 5
- 2+4 = 6
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。