Wizardに尋ねる #350

確かに、あなたがおっしゃる理由から、ホッケーでは延長戦に突入するインセンティブがあるようですね。ご質問の答えを見つけるために、データを見てみましょう。以下のデータは、2017/2018シーズンから始まる4シーズンのホッケーのデータです。

以下の表は、4シーズンにわたる7,846試合を、レギュラーシーズンとプレーオフの試合、そして延長戦の有無に分けて分析したものです。この表から、レギュラーシーズンでは11.27%の試合が延長戦に突入したのに対し、プレーオフでは54/544 = 9.03%の試合が延長戦に突入したことがわかります。

問題は、この11.27%と9.03%の差が統計的に有意なのか、それとも正規分散で説明できるのかということです。2つの標本の平均値を検定するために、MedCalc.orgの比率比較計算機のようなカイ二乗検定を行います。全7,846試合のうち、871試合が延長戦に突入し、その確率は11.10%でした。同じ標本で延長戦に突入しない確率は88.90%です。レギュラーシーズンとプレーオフの試合に統計的に有意な差がないと仮定すると、レギュラーシーズンの804.6試合、プレーオフの66.4試合が延長戦に突入するはずでした。

以下の表は、レギュラーシーズンとプレーオフの両方でオーバータイムの真の確率が同じであると仮定した場合の、実際の結果と期待値を比較したものです。右の列はカイ二乗統計値を示しています。これは、実際の合計値と期待値の差を二乗し、期待値で割ったものです。

上の表はカイ二乗検定で2.813628という値を示しています。自由度が1の場合、この値以上に歪んだ結果が出る確率は9.347%です。言い換えれば、レギュラーシーズンとプレーオフの試合で行動に変化がなく、延長戦の確率が全く同じであれば、延長戦に突入する試合数に2.24%以上の差が生じる確率は9.347%です。簡単に言えば、この証拠は、2種類の試合における延長戦発生率に統計的に有意な差があることを示しています。しかし、これが正規分布のランダム分散として説明できる可能性も9.35%あります。

リンク先のMedCalc計算機や他の情報源では、カイ二乗統計値に「N-1」調整が適用されていることを付け加えておきます。具体的には、カイ二乗統計値に(N-1)/Nを掛け合わせます。ここで、Nは観測値の総数です。この場合、調整後のカイ二乗統計値は2.813628 * (7845/7846) = 2.813270となります。自由度1のこのカイ二乗統計値のp値は9.349%です。この些細な調整で議論を紛らわすのは気が進みませんが、もし調整しなかったら、読者はなぜ調整しなかったのかと疑問に思うでしょう。

個人的には、チームはプレーオフよりもレギュラーシーズンの方が延長戦を目指してプレーしていると信じており、データはこれを裏付けているが、合理的な疑いを超えてその主張を裏付けるものではない。

外部リンク

• ジョンズ・ホプキンス大学ブルームバーグ公衆衛生大学院におけるカイ二乗統計の使用。

バーランダーの評価は難しいので、最後に評価することにします。

2019/2020シーズン、ステフィン・カリーのフリースロー成功率は93.10%でした（出典： Basketball Reference ）。

NFLにおける40ヤードのフィールドゴール成功率は平均85.83%です。しかし、タッカーは平均以上だと私は考えています。30ヤードから39ヤードのフィールドゴール成功率では、NFL平均は89.32%ですが、タッカーは96.63%です。このタッカーの成功率をNFL平均に当てはめると、タッカーが40ヤードのフィールドゴールを成功させる確率は85.85% × (96.63%/89.32%) = 92.86%と推定されます。

野球となると話は複雑になります。実際の試合で実際に投げられている球について話しているのか、それとも制御されたデモンストレーションで投げられている球について話しているのか、という疑問が生じます。これが重要なのは、実際の試合では投手が毎回ストライクを投げようとはしないからです。ほとんどの場合、投手はストライクゾーンのギリギリに投げようとします。そのため、打者がクリーンヒットを打つのは難しくなります。

統計的な裏付けはありませんが、マイナーリーグのブルペンで投手がキャッチャーミットにボールを投げ込む場面を、ほぼ毎回、キャッチャーが動くことなく投げているのを目にしてきました。バーランダーのような投手は、コントロールされたテストでは少なくとも95%の確率でストライクを投げられると概算しています。しかし、実際の試合では、バーランダーのストライク率はわずか68.50%です。

疲労要因を無視して 100 回連続して成功する確率を取得するには、1 回の成功する確率を 100 乗するだけです。

つまり、制御された実験について話しているのであれば、私はバーランダーを選び、実際の試合状況ではカリーを選ぶだろう。

この質問は元々 Barstool Sportsで投稿されました。Wizard of Vegasの私のフォーラムでも、この件について多くの議論が行われています。

読者にとって役立つと思われる数式をいくつか示します。

私の回答と解決策については下にスクロールしてください。

「効率的」とは、砲弾間の無駄なスペースが最も少ないものを指していると思います。

物事を単純にするために、ピラミッドの体積を定義するには、ピラミッドの角にある球の中心を使います。そして、ピラミッドの底面の1辺にある砲弾の数をnとします。

まずは四角い底を持つピラミッドを見てみましょう。

ピラミッド全体の砲弾の数は、1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6 です。

次に、底辺がnである四角錐の高さを求めましょう。図からわかるように、（正方形の底辺以外の）辺は正三角形です。したがって、斜高もnです。底辺の一方の角から反対側の角までの距離はn*sqrt(2)です。したがって、底辺の一方の角から底辺の中心までの距離はn*sqrt(2)/2です。高さをhとします。高さ、底辺の一方の角から底辺の中心までの距離、そして斜高によって形成される直角三角形を考えます。

h ² + (n*sqrt(2)/2) ² = n ²
h = n*sqrt(2)/2 です。

ピラミッドの体積は底辺×高さ÷3であることを思い出してください。つまり、ピラミッドの体積は次のようになります。

ボールの体積に対する比率は[n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n ³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )となる。

次に三角形の底面を持つピラミッドを見てみましょう。

ピラミッド全体の砲弾の数は、1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6 です。

次に、底面積を求めましょう。30-60-90の三角形の辺は、1/2、sqrt(3)/2、1に比例することを思い出してください。これより、辺がnの正三角形の高さはn*sqrt(3)/2であることが容易にわかります。つまり、底面積はn ² *sqrt(3)/4となります。

底辺の角から底辺の中心までの距離は、平方根(3)/3です。これとピラミッドの斜辺の高さ1から、ピタゴラス定理を用いてピラミッドの高さを平方根(6)/3と求めることができます。

ピラミッドの体積は、底辺*高さ/3 = (n ² *sqrt(3)/4) * (n*sqrt(6)/3) * (1/3) = n ³ *sqrt(18)/36 = n ³ *sqrt(2)/12 と求められます。

ボールの体積に対する比率は[n*(n+1)*(n+2)/6] / [n ³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ^2となる。

ボールと体積の比率の比較は次のとおりです。

• 平方底: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
• 三角形の底辺: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

両方の比率をsqrt(2)*(n+1)/n ²で割ります。

• 平方底: (2n+1)/2 = n + 0.5
• 三角形の底辺: n+2

nが大きくなるにつれて、どちらのピラミッドでも、砲弾の数と体積の比率はnに近づきます。つまり、砲弾の数が多いほど、効率は等しくなります。

砲弾の体積を考えると、両方のピラミッドの効率は、砲弾の体積と全体の体積の比として定義され、π*sqrt(2)/6 =~ 約 74.05% に近づきます。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。