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Wizardに尋ねる #356

52枚のカードから1枚のカードを交換して引きます。いずれかのスートの13枚すべてを引き終えるまでに必要なカードの枚数の予想値はいくつですか？微積分を使って答えてください。

匿名

ある出来事が起こると予想される時間は、それがまだ起こっていない時間の合計に等しくなります。これは離散変数と連続変数の両方に当てはまります。

答えは 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258 です

[ネタバレ=解決策]

カードが単位時間あたり 1 回だけ引かれるのではなく、平均時間が平均 1 の指数分布に従う場合、カードの引き分けの間にランダムな期間を設けてカードが引かれると、答えは同じになります。

特定のカードが引かれる間隔の平均は 52 です。指数分布の特性を考慮すると、t 単位時間後にカードが引かれていない確率は exp(-t/52) です。

t 単位時間後に、特定のカードが少なくとも 1 回引かれる確率は 1-exp(-t/52) です。

t 単位時間後に、特定の 13 枚のカードが少なくとも 1 回引かれる確率は (1-exp(-t/52))^13 です。

t 単位時間後に、13 枚の特定のカードのうち少なくとも 1 枚が引かれていない確率は、1-(1-exp(-t/52))^13 です。

t 単位時間後に、すべてのスーツで少なくとも 1 枚のカードが欠けている確率は (1-(1-exp(-t/52))^13)^4 です。

この式を積分計算機に入力し、積分の境界を0から無限大に設定するように注意すると、712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258が得られます。

[/spoiler]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。

ウィザードに聞くコラム355で、イカゲームのガラスの橋問題について質問がありました。この質問では、プレイヤーが安全な階段の位置を覚えていることが前提となっています。もし覚えていなかったら、どのような答えになるのか、というのが私の質問です。

匿名

まず、以前の問題を参照せずに、あなたが尋ねている内容を言い換えさせてください。

16人のプレイヤーがガラスの橋を使ったゲームに挑みます。橋は18組のガラス板に分かれており、各組の片方のガラス板は強化ガラスで、プレイヤーの体重を支えることができます。もう片方のガラス板は普通のガラスで、プレイヤーの体重で割れてしまいます。プレイヤーが普通のガラス板を踏むと、ガラス板が割れて落下し、命を落とします。

プレイヤーは、あらかじめ決められた順番に、一人ずつ進んでいかなければなりません。ペアのパネルのうち片方が壊れているなど、安全なステップがどこにあるかが明らかな場合を除き、プレイヤーは安全なステップの場所を覚えていません。

それぞれのガラスの階段でランダムに推測すると仮定すると、安全に渡れるプレイヤーの予想数はどれくらいでしょうか?

私の回答については下のボタンをクリックしてください。

次の表は、各プレイヤーがプレイ順に生き残る確率を示しています。右下のセルは、期待される生存者数が0.23884892であることを示しています。

記憶のないイカゲームブリッジパズル

プレーヤー
番号		確率
生存
1 0.00000381
2 0.00000763
3 0.00001526
4 0.00003051
5 0.00006094
6 0.00011911
7 0.00023545
8 0.00046159
9 0.00089886
10 0.00175139
11 0.00345091
12 0.00693198
13 0.01418276
14 0.02923634
15 0.05993762
16 0.12152477
合計0.23884892

私の解決策ではマルコフ連鎖を使用しましたが、これを説明するのは難しく、時間がかかります。

この質問は私のコラム「Wizard of Vegas」で取り上げられ、議論されています。

テキサス ホールデムでポケット キングを持っていて、対戦相手が 4 人いる場合、対戦相手の少なくとも 1 人がポケット エースを持っている確率はどれくらいですか。

Anne

答えは1.9565784%、つまり51.1096316分の1です。

4人の対戦相手の8枚のカードのうち4枚がエースである確率は、combin(46,4)/combin(50,8) = 0.000303951です。

そこから、4枚のエースがすべて異なる手札にある確率は、1-2^4*4!*4!/8! = 0.228571429となります。したがって、少なくとも1組のエースが存在するという別の可能性の確率は、1 - 0.228571429 = 0.771428571となります。

4 枚のエースがすべて出ていて、少なくとも 1 つの手札にエースが 2 枚ある確率は、0.000303951 * 0.771428571 = 0.000234477 です。

4 人の対戦相手の 8 枚のカードのうち 3 枚がエースである確率は、combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0.010212766 です。

そこから、それらの 2 つが同じ手札にある確率は、4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0.428571429 となります。

3 枚のエースがアウトで、2 枚のエースが同じ手札にある確率は、0.010212766 * 0.428571429 = 0.0043769 です。

4 人の対戦相手の 8 枚のカードのうち 2 枚がエースである確率は、combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0.104680851 です。

両方が同じ手札にある確率は 1/7 = 0.142857143 です。

2 枚のエースが同じ手札にある確率は、0.104680851 * 0.142857143 = 0.014954407 です。

少なくとも 1 人の対戦相手が 2 つのエースを獲得する方法の合計を計算すると、答えは 0.000234477 + 0.0043769 + 0.014954407 = 0.019565784 になります。

オンラインスポーツブックで、NFLのマネーラインベットで、選択したチームが17点以上リードしている場合、自動的に勝ちと判定されるというプロモーションを見ました。この特典の価値はいくらですか？

匿名

このプロモーションでは、選択したチームが17点以上リードした後に負けた場合、本来なら負けになるはずの賭けが勝ちに変わります。良い例として、第51回スーパーボウルのアトランタ・ファルコンズへの賭けが挙げられます。第3クォーターのある時点で、ファルコンズは28対3と25点リードしていました。しかし、その後28対34で敗れました。

この疑問に答えるために、私は2000年から2015年までのNFLシーズン4,131試合を調査しました。以下の表は、試合中に勝利チームが抱えていた最大の点差を示しています。確率の列は、引き分けに終わった5試合を除外しています。

最大の赤字を克服

赤字ゲーム確率
ネクタイ5 0.000000
0 1804 0.437227
1 100 0.024237
2 29 0.007029
3 560 0.135725
4 235 0.056956
5 23 0.005574
6 131 0.031750
7 622 0.150751
8 39 0.009452
9 34 0.008240
10 195 0.047261
11 84 0.020359
12 14 0.003393
13 49 0.011876
14 104 0.025206
15 10 0.002424
16 6 0.001454
17 36 0.008725
18 14 0.003393
19 2 0.000485
20 4 0.000969
21 22 0.005332
22 0 0.000000
23 2 0.000485
24 5 0.001212
25 1 0.000242
26 0 0.000000
27 0 0.000000
28 1 0.000242
合計4131 1.000000

「引き分け」の行は、16シーズン中5試合が引き分けに終わったことを表すため、カウントしません。「0」の行は、勝利チームが一度も負けていなかった試合の43.7%を表します。

表を見ると、17点差以上で負けた後に勝利した試合が87試合あることがわかります。4126試合（引き分け5試合を除く）を合計すると、この確率は2.11%となります。

これらの状況では負けが勝ちに転じる可能性があるため、この確率を2倍にして4.22%とします。マネーラインベットのハウスエッジはスプレッドベットとほぼ同じ4.76%です。4.22%を差し引くと、このプロモーションではハウスエッジは0.54%と非常に低くなります。