Wizardに尋ねる #358
フードネットワークの最新ゲーム番組「クランベリー・オア・バスト」では、AとBの2つのドアのどちらかを選ぶことになります。片方のドアの裏には一生分のクランベリーソースが隠されていますが、もう片方のドアの裏には何も隠されていません。さて、クランベリーソース、大好きですよね？
もちろん、ちょっとした仕掛けがあります。司会者がプレイヤーにAとBの両面が書かれたコインを差し出し、それぞれのドアに対応させます。司会者は、コインはクランベリーのドアに有利になるように重み付けされていると伝えますが、どのドアかは明かしません。そして、そのドアの文字は60%の確率で表になります。例えば、ソースがドアAの裏にある場合、コインは60%の確率でA、残りの40%の確率でBになります。
コインを2回投げ、その後、どちらかを選ばなければなりません。戦略を最適化した場合、クランベリーソースのあるドアを選ぶ確率はどれくらいでしょうか？
追加課題：2回ではなく、3回、4回、…10回と回せるとしたらどうでしょう？ クランベリーソースの入ったドアを選ぶ確率はどれくらいでしょうか？
1回投げるケースは比較的簡単です。コインがクランベリーソースの入ったドアに落ちる確率は60%です。プレイヤーの戦略は、コインが落ちるドアを選ぶことです。つまり、正しく選ぶ確率は60%です。
ドアAにはクランベリーソースが入っていて、ドアBには何も入っていないとしましょう。つまり、コインのA面が出る確率は60%です。プレイヤーの戦略は、コインが大抵の場合出るドアを選ぶことです。もし同率だった場合、プレイヤーは有用な情報を持たないため、どちらのドアを選んでも構いません。
起こり得る結果とその確率は次のとおりです。AとBが混在するケースは、順序が不問です。
AA: 60%^2 = 36%
AB: 2*60%*40% = 48%
BB: 40%^2 = 16%
コインが2回ともAに落ちれば、プレイヤーは正しいドアを選びます。AとBにそれぞれ1回ずつ落ちた場合、有用な情報は得られず、確率は50/50です。2回ともBに落ちた場合、プレイヤーは間違ったドアを選びます。
したがって、2 回フリップする場合、プレイヤーが正しいドアを選ぶ確率は 60% + 48%*(1/2) = 60% になります。
例えば、ドアAにはクランベリーソースが入っていて、ドアBには何も入っていないとします。つまり、コインのA面が出る確率は60%です。プレイヤーの戦略は、コインが大抵の場合、どのドアに止まるかを選ぶことです。
起こり得る結果とその確率は次のとおりです。AとBが混在するケースは、順序が不問です。
AAA: 60%^3 = 21.6%
AAB: 3*60%^2*40% = 43.2%
ABB: 3*60%^2*40% = 28.8%
BBB: 40%^3 = 6.4%
コインが少なくとも2回Bに止まれば、プレイヤーは正しいドアを選びます。コインがBに2回以上止まると、間違ったドアを選びます。
したがって、3 回フリップする場合、プレイヤーが正しいドアを選ぶ確率は 21.6% + 43.2% = 64.8% になります。
ドアAにはクランベリーソースが入っていて、ドアBには何も入っていないとしましょう。つまり、コインのA面が出る確率は60%です。プレイヤーの戦略は、コインが大抵の場合出るドアを選ぶことです。もし同率だった場合、プレイヤーは有用な情報を持たないため、どちらのドアを選んでも構いません。
起こり得る結果とその確率は次のとおりです。AとBが混在するケースは、順序が不問です。
AAAA: 60%^4 = 12.96%
AAAB: 4*60%^3*40% = 34.56%
AABB: 6*60^2*40%^2 = 34.56%
ABBB: 4*60%*40%^3 = 15.36%
BBBB: 40%^4 = 2.56%
コインがAに3回以上落ちれば、プレイヤーは正しいドアを選びます。Aに2回、Bに2回落ちた場合、プレイヤーは有用な情報を得ることができず、確率は50/50です。Bに3回以上落ちた場合、プレイヤーは間違ったドアを選びます。
したがって、4 回投げる場合、プレイヤーが正しいドアを選ぶ確率は 12.96% + 34.56% + 34.56%*(1/2) = 64.80% になります。
最初の4つのケースのロジックはすべてのケースに適用されます。y個のアイテムからx個を選ぶ方法の数はy!/(x! * (yx)!)であることを覚えておいてください。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
感謝祭を祝うため、あなたと19人の数学者が円形のテーブルに着席しています。テーブルの全員がクランベリーソースを頼もうとしており、たまたま目の前にクランベリーソースがあります。
まず、自分でソースを取ります。そして、ソースを円を描くように回すのではなく、自分のすぐ左か右に座っている人にランダムに渡します。相手も同じように、自分の左か右に座っている人にランダムに渡します。これを繰り返し、全員がクランベリーソースを受け取るまで続けます。
円の中にいる 20 人のうち、最後にクランベリー ソースを受け取る可能性が最も高いのは誰でしょうか?
数学者の一人に G という名前をつけましょう。G が最後になるには、次の 2 つの条件を満たす必要があります。
- クランベリーはまず G のどちらかの隣に到達する必要があります。
- クランベリーは G に到達することなく、反対方向に 19 位置移動する必要があります。
最後になるには、クランベリーは最終的にどちらかの隣の人に届く必要があります。つまり、その確率は100%です。
すると、2番目の部分の確率が何であれ、それは各人にとって同じです。つまり、各人が最後になる確率は等しいのです。
もし説明が分かりにくかったら、Gialmereはこの問題をfivethirtyeight.comから入手しました。こちらで解決策が説明されています。「先週のRiddler Classicの解答」までスクロールダウンしてください。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
ガウス曲線に向かってダーツをランダムに投げます。ダーツの位置を(x,y)とします。xの絶対値の期待値はいくらですか？
[ネタバレ=答え]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 93413158517986036770025046678146 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916150611 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931。[/spoiler]
これが私の解決策です（PDF）。
この計算の小数点以下の桁を計算するには、私のWiz Calculator を使用してください。
無作為に選ばれた人に、52 枚のカードの中から任意のカードの名前を挙げるように頼んだ場合、どのカードを選ぶ可能性が最も高いでしょうか。
スペードのエースが断然おすすめです。Psychology of Magicによると、スペードのエースが選ばれる確率は24.59%です。上位5つは以下のとおりです。
- スペードのエース: 24.59%
- ハートのクイーン：13.71%
- ハートのエース: 6.15%
- ハートのキング：5.91%
- スペードのジャック：4.26%
明らかに 417 のサンプル サイズの中で選ばれなかったのは、ダイヤの 5、クラブの 6、クラブの 5、スペードの 6、スペードの 4 です。