Wizardに尋ねる #359
こちらがThe Riddlerからのもう一つのパズルです。
袋の中にビー玉が100個入っています。それぞれのビー玉は赤、青、緑のいずれかです。袋からビー玉を3個取り出すと、各色のビー玉が1個ずつ出る確率は20%です。袋の中には各色のビー玉がいくつ入っていますか？ビー玉が交換ありで取り出されるか、交換なしで取り出されるかは特に言及していません。
「復元あり」の仮定のもとで計算してみましょう。r、b、gをそれぞれ赤、青、緑のビー玉の数とします。すると、各色のビー玉が1つずつ出る確率は6*(r/100)*(b/100)*(g/100)となります。これを0.2とすると、以下の式が成り立ちます。
6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0.2
6*r*b*g = 200000
6は200,000を割り切れません。したがって、r*b*g = 33333.333...の整数解は存在しません。したがって、置換による抽出は除外できます。
次に、「無復元」仮定を試してみましょう。この場合、各色を1枚ずつ引く確率はr*b*g/combin(100,3) = 0.2です。これを解いてみましょう…
r*b*g/161700 = 0.2
r*b*g = 32340
32340 を素因数分解すると、2*2*3*5*7*7*11 になります。
r+b+g=100 を維持しながら、これらの因数を r、b、g に分配する必要があります。例えば、次のようにしてみましょう。
r = 2*3*5 = 30
b = 2*11 = 22
グラム = 7 * 7 = 49
これらは素因数をすべて正しく使用していますが、r+b+g = 101 なので有効な解ではありません。
残念ながら、r、b、g の値が任意の順序で 21、35、44 になるという解を得るには、力ずくのループ プログラムを書く必要がありました。
クラップスで5ドルの賭け金を1,200ドルに増やす以下の方法について、どのように分析しますか？まず4に5ドルを賭けます。それが当たったら、その勝ち分を5に賭けます。それが当たったら、その勝ち分を6に賭けます。これを続けて、8、9、そして10に賭けます。プレイヤーは4と8に勝った後、賭け金を端数にならないように1ドル追加すると想定できます。
4で勝つ確率は3/(3+6) = 3/9 = 1/3です。4に賭けた場合、配当は9対5なので、もし勝てば合計$9 + $5 = $14になります。
次に、プレイヤーは5に1ドルを追加して、合計15ドルを賭けます。5で勝つ確率は4/(4+6) = 4/10 = 2/5です。5にプレースベットすると7対5の配当となるため、この賭けが当たれば合計21ドル + 15ドル = 36ドルになります。少なくともここまで勝ち続ける確率は(1/3)*(2/5) = 13.33%です。
次に、プレイヤーは6に36ドルを賭けます。6が当たる確率は5/(5+6) = 5/11です。6に賭けたプレースベットは7対6の配当なので、もし当たれば合計42ドル + 36ドル = 78ドルになります。少なくともここまで進む確率は(1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6.06%です。
次に、プレイヤーは8に78ドルを賭けます。8で勝つ確率は5/(5+6) = 5/11です。8のプレースベットは7対6の配当なので、もし勝てば合計91ドル + 78ドル = 169ドルになります。少なくともここまで進む確率は(1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2.75%です。
次に、プレイヤーはポケットから1ドルを169ドルに加え、9に170ドルを賭けます。9で勝つ確率は4/(4+6) = 2/5です。9へのプレースベットは7対5の配当なので、もし勝てば合計238ドル + 170ドル = 408ドルになります。少なくともここまで勝ち続ける確率は(1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1.10%です。
いよいよ10に賭ける準備が整いました。バイベットのハウスエッジが低いので、プレイヤーが10に賭けると仮定しましょう。プレイヤーが手数料を前払いする必要があるか、勝った時のみ支払う必要があるかは指定されていませんでした。まずは手数料の前払いについて見てみましょう。このルールでは、賭け金は21ドルで割り切れるはずです。プレイヤーが10に380ドルを賭け、5%の手数料として19ドルを前払いし、408ドルのうち残りの9ドルを手にすると仮定しましょう。
4で勝つ確率は3/(3+6) = 3/9 = 1/3です。380ドルの賭けで勝った場合、賞金は760ドルとなり、合計760ドル+380ドル=1,140ドルになります。少なくともここまで進む確率は(1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 272.25分の1です。
プレイヤーは途中で$5+$1+$1を賭けましたが、9で勝った後$9を獲得し、純利益は$1,142になりました。ハウスエッジを元の$5の賭け金に対する期待損失と定義すると、$1.06/$5.00 = 21.16%となります。
次に、10の数字の勝利に対してのみコミッションが支払われる場合を見てみましょう。この場合、10の数字の賭け金は20ドルで均等に割り切れるはずです。プレイヤーが8ドルを手にし、残りの400ドルを賭けると仮定しましょう。
400 ドルの賭けで勝った場合、賞金は 780 ドルとなり、合計は 780 ドル + 400 ドル = 1,180 ドルになります。
プレイヤーは途中で$5+$1+$1を賭けましたが、9で勝った後に$8を獲得し、純利益は$1,181になりました。ハウスエッジを元の$5の賭け金に対する期待損失と定義すると、$0.92/$5.00 = 18.44%となります。
つまり、プレイヤーが9で勝った後、あるいはその途中のどこかでさらにお金を引き出しない限り、1,200ドルに達することはできないということです。この戦略は価値という点では推奨できませんが、楽しさと興奮の要素は高いように思えます。
パナマシティのゴールデンライオンカジノでは、ディーラーが10ポイントのカードを表向きにした場合、インシュランス（保険）を掛けます。ディーラーがブラックジャックを出した場合も、エースが出た場合も、配当は2対1です。カジノでは6デッキを使用します。ディーラーが10ポイントのカードを表向きにした場合、ハウスエッジはいくらですか？
痛い！マカオのMGMでも同じようなひどく無知なルールを見ました。
ホールカードがエースで、10がアップしている確率は(6×4)/(6×52-1) = 7.717%です。期待リターンは0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489です。つまり、ハウスエッジは76.85%です。