Wizardに尋ねる #364
宝くじに当選するために、1週間前に戻ります。当選金額は1000万ドルで、チケットは1枚1ドルです。当選してもチケット代金は返金されませんのでご注意ください。どれも魅力的ですね。
問題は、あなただけではありません。他にも当選番号を知っているタイムトラベラーが10人います。そして、彼らがそれぞれ1枚ずつ宝くじを買うことは間違いありません。さて、宝くじのルールでは、賞金は当選者全員に均等に分配されます（つまり、当選者全員に均等に分配されるわけではないのです）。
利益を最大化するにはチケットを何枚購入すればよいでしょうか?
[ネタバレ=ヒント]
商のルールを覚えておいてください:
[f(x)/g(x)] d/dx = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2
[/ネタバレ]n を、購入するチケットの数とします。
w(n) = n枚のチケットを購入した場合の純利益 = 10,000,000 × (n/(n+10)) - n とします。
チケットを1枚追加しても純利益が変わらない点を見つけるには、w(n)の微分を取ります。ここでは商の法則（ヒントを参照）を用います。分子はn、分母は(n+10)です。
w'(n) = 10,000,000 * (1*(n+10) - n*1)/(n+10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10 / (n + 10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10 / (n + 10)^2 = 1
100,000,000 = (n+10)^2
10,000 = n+10
9,990人
[/ネタバレ]この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
フォーラムで、ブラックジャックで60回連続で勝ちを目撃したという人がいますね。平均して何ハンドプレイすればそんな目に遭うのでしょうか？また、 Ask the Wizardのコラム363で言及されている、クラップスで合計11が18回連続で出たという話と比べてどうでしょうか？
ご質問にお答えするには、まずブラックジャックのルールを前提とする必要があります。ここでは「リベラルストリップルール」と呼ぶルールを採用します。これは以下の通りです。
- 6つのデッキ
- ディーラーはソフト17でスタンドする
- スプリット後のダブルは許可されます
- エースの再スプリットは許可されています
- 降伏許可
これらのルールでは、完璧な基本戦略を前提とすると、純勝ち/負けの確率は次のようになります。
- 純利益: 42.43%
- ネットプッシュ：8.48%
- 純損失: 49.09%
この出来事を目撃した人に尋ねたところ、60ハンドにはプッシュは含まれていないとのことでした。つまり、解決済みのハンドが60ハンドということです。また、プレイヤーがスプリットした場合でも、それは1ハンドとしてカウントされ、スプリットした全てのハンドでネット勝利があったと仮定します。
18 回連続で合計が 11 の場合の質問で説明されているように、予想待ち時間の計算式は次のとおりです。
予想待ち時間 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1、ここで:
n = 連勝数
p = 勝利の確率
この場合、ハンドが解決された場合の1ハンドあたりのネット勝利の確率は、42.43% / (43.43% + 49.09%) = 46.36%となります。より正確には、0.46359564となります。
上記の式を使用すると、このイベントを観察するための予想待機時間は (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 ハンドとなります。
ちなみに、クラップスで18回連続で11が出るまでの待ち時間は41,660,902,667,961,000,000,000回で、これは207倍も長いです。つまり、私の知る限り、この18歳の話は今でもWizard of Vegasフォーラムで最もタラメな話として記録されています。
300ドルの特典があったので、友達をレストランに招待して、その特典を使い切りました。皆で楽しい時間を過ごしていたのですが、結局税金とチップ込みで合計386ドルもかかってしまいました。友達はわざとお金を持ってこず、私が全員分の税金とチップを払ってくれるだろうと勝手に思い込んでいました。私は腹を立て、特典では税金とチップはカバーされないので、みんなで税金とチップを折半すべきだと伝えました。
彼らは、私が彼らを招待し、しかもこれらは私の無料サービスなのだから、税金とチップは私が全額支払うべきだと主張しました。私は、公平な分担で税金とチップを支払うのが一般的なマナーだと主張しました。友人たちはうんざりし、私が理不尽なことをしていると思い、税金とチップを支払うことを拒否しました。友人の誰も税金とチップを払わないのは明らかだったので、私は約86ドルの税金とチップを支払いました。ウェイターは不安そうでした。彼らは、私が無料サービスを使ってくれたこと、そして自分で税金とチップを払ってくれたことに感謝するどころか、税金とチップを払うように頼んだこと自体に腹を立てていました。私が間違っていたのでしょうか？
しばらくエチケットに関する質問はなかったので、ありがとうございます。
税金とチップを払わない友達って、かなりケチな人みたいですね。ちなみに、ネバダ州では無料の食事に税金はかかりませんので、これは別の州で起こったはずです。でも、招待した時点で、自分の期待を明確に伝えるべきでしたね。だから、どちらにも非があると思います。
これは少なくとも教訓になる。私はラスベガスで少なくとも100回は無料の食事に招待されたことがある。私が提供する場合もあれば、誰かが提供する場合もあった。私が守っているエチケットは、招待時に提供上限額の制限について説明してもらうというもので、通常は同意を得ている。そして、招待された全員が、最大額を超えた分とチップを支払う。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。