Wizardに尋ねる #376
ワインの箱からワインが流れ出る速度は、箱の中に残っているワインの量に比例します。3リットルの箱が3分の1まで満たされている場合、ワインは毎秒0.01リットルの速度で流れ出ます。
3リットル入りのワインの箱がいっぱいあります。2.9リットルを注ぐのにどれくらい時間がかかりますか？
させて：
v = 箱の中のワインの量
t = 時間
c = 積分定数
dv/dt = -0.01v が与えられます
dv = -0.01v dt に並べ替えます
-100/v dv = dt
両辺を統合します。
-100*ln(v) = t + c
t=0、v=3のときが与えられます。これを上の式に代入して積分定数を求めましょう。
-100*ln(3) = c
方程式は次のようになります。
-100*ln(v) = t -100*ln(3)
t = 100*ln(3) - 100*ln(v)
t = 100*(ln(3)-ln(v))
t = 100*ln(3/v)
袋の中に残っているワインが 0.1 のとき、t はいくらかと尋ねられます。
t = 100*ln(3/0.1) = 100*ln(30) =~ 340.119738秒 =~ 5分40秒。
[/ネタバレ]この質問は私のフォーラム「Wizard of Vegas」で尋ねられ議論されています
4と10に20ドル、5、6、8、9に30ドル賭けた場合、ハウスエッジはいくらになりますか？4と10のコミッションは勝利時のみに支払われると仮定してください。以下の場合のハウスエッジを計算してください。
- 賭けは1ロールのみに留める
- 重要なイベントが発生するまで賭けを続ける（4から10までのロールのいずれか）
- すべてが解決されるまで賭けはそのままにしておきます。
最初の表は、賭け金を1ロールだけ残した場合の分析結果を示しています。リターンの列は、勝率×確率／（合計賭け金）として計算されます。右下のセルには、ハウスエッジが0.69%であることを示しています。
ワンロール分析
| ロール | ベット | 純利益 | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 4 | 20 | 39 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 5 | 30 | 42 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 6 | 30 | 35 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.166667 | -0.166667 |
| 8 | 30 | 35 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 9 | 30 | 42 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 10 | 20 | 39 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 11 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 12 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 160 | 36 | 1.000000 | -0.006944 |
2つ目の表は、賭けが決まるまで賭けを続ける場合の分析結果を示しています。つまり、合計が2、3、11、または12になった後に再度サイコロを振る場合です。リターンの列は、勝率×確率/（合計賭け金）として計算されます。右下のセルには、ハウスエッジが0.83%と表示されています。
重要なロール分析
| ロール | ベット | 純利益 | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 20 | 39 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 5 | 30 | 42 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 6 | 30 | 35 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.200000 | -0.200000 |
| 8 | 30 | 35 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 9 | 30 | 42 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 10 | 20 | 39 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 合計 | 160 | 30 | 1.000000 | -0.008333 |
3番目の表は、すべての賭けが決着するまで賭けを続けた場合の分析結果を示しています。リターンの列は、勝率×確率／（合計賭け金）として計算されます。右下のセルには、ハウスエッジが2.44%と表示されています。
すべての賭けが解決されるまでロールする分析
| 勝つ | 4,10 ロール | 5,9 ロール | 6,8 ロール | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -160 | 1 | 0 | 0 | 2,677,114,440 | 0.200000 | -0.200000 |
| -101 | 0 | 1 | 0 | 5億9491万4320円 | 0.044444 | -0.028056 |
| -88 | 0 | 0 | 1 | 8億2372万7520 | 0.061538 | -0.033846 |
| -95 | 2 | 0 | 0 | 1,070,845,776 | 0.080000 | -0.047500 |
| -42 | 0 | 2 | 0 | 74,364,290 | 0.005556 | -0.001458 |
| -16 | 0 | 0 | 2 | 1億4976万8640円 | 0.011189 | -0.001119 |
| -30 | 1 | 1 | 0 | 2億6,771万1,444 | 0.020000 | -0.003750 |
| -29 | 1 | 0 | 1 | 4億2181万2160円 | 0.031512 | -0.005712 |
| -36 | 0 | 1 | 1 | 5億6246万4480円 | 0.042020 | -0.009455 |
| -23 | 1 | 1 | 1 | 800,192,448 | 0.059780 | -0.008593 |
| 36 | 2 | 1 | 0 | 751,055,104 | 0.056109 | 0.012625 |
| 30 | 2 | 0 | 1 | 93,017,540 | 0.006949 | 0.001303 |
| 23 | 1 | 2 | 0 | 1億2794万9276 | 0.009559 | 0.001374 |
| 43 | 0 | 2 | 1 | 1億3609万7920 | 0.010168 | 0.002733 |
| 49 | 1 | 0 | 2 | 2億7637万9776 | 0.020648 | 0.006323 |
| 29 | 0 | 1 | 2 | 2億5,991万7,112 | 0.019418 | 0.003519 |
| 42 | 2 | 1 | 1 | 3億8391万5862 | 0.028681 | 0.007529 |
| 95 | 1 | 2 | 1 | 2億8046万3688 | 0.020953 | 0.012441 |
| 108 | 1 | 1 | 2 | 430,248,448 | 0.032143 | 0.021696 |
| 101 | 2 | 2 | 0 | 6億2600万8276 | 0.046767 | 0.029522 |
| 102 | 2 | 0 | 2 | 48,772,745 | 0.003644 | 0.002323 |
| 88 | 0 | 2 | 2 | 1億1,392,694 | 0.007575 | 0.004166 |
| 114 | 2 | 2 | 1 | 2億4,313万0,194 | 0.018164 | 0.012942 |
| 167 | 2 | 1 | 2 | 2億6366万5646 | 0.019698 | 0.020560 |
| 160 | 1 | 2 | 2 | 409,147,802 | 0.030566 | 0.030566 |
| 173 | 2 | 2 | 2 | 6億7,933万9,612 | 0.050752 | 0.054875 |
| 232 | 0 | 0 | 0 | 832,156,379 | 0.062168 | 0.090144 |
| 合計 | 13,385,573,560 | 1.000000 | -0.024848 |
[spoiler=ウィズ、上の表の確率はどこから得たんだ？] 積分法を使ったんだ。重要なのは、サイコロを振る間隔が1単位であっても、平均1の指数分布に従っていても、確率は同じだということ。
統計の講義で、事象xが起こらない確率はexp(-x)だと説明しました。つまり、事象xが少なくとも1回起こる確率は1-exp(-x)であると簡単に言えます。以下のリストは、任意の時間xにおける、与えられたポイントが振られる確率を示しています。そして、0から無限大までのすべての時間xにわたって積分します。私はwww.integral-calculator.com/にある積分計算機をおすすめします。最後に、これらの確率を類似事象ごとに重み付けすることを忘れないでください。例えば、4が出る確率は10が出る確率と同じです。
- 4 または 10 -- (1-exp(-3x/36))*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 または 9 -- (1-exp(-x/9))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/9)exp(-x/6)/6
- 6 または 8 -- (1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)exp(-x/6)/6
- 4と10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5と9 -- (1-exp(-4x/36))^2*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 6と8 -- (1-exp(-5x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4 と 5 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 4 と 6 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5 と 6 -- (1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-3x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5,6,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 4,5,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^0*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^1*exp(-4x/36)*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
1年は小数点以下5桁まで365.24217日です。ご存知のとおり、閏年かどうかの判定は以下のようになります。
- 年が 4 で割り切れる場合は、うるう年となりますが、次の場合は除きます...
- 年が 100 で割り切れる場合は、閏年ではありませんが、次の場合は例外です...
- 1 年が 400 で割り切れる場合は、閏年となります。
上記のルールに従うと、年間356.2425日となります。正しい365.24217日にかなり近いですが、0.00033の誤差があります。
私の質問は、400 年よりも短い周期で閏年を選択するより正確な方法はあるかどうかです。
はい！
351年周期のうち85回の閏年を選択した場合、平均年は0.242165となります。これは目標の0.24217からわずか0.000005日ずれています。
ある年がうるう年かどうかをテストする方法は次のとおりです。
- 年が 4 で割り切れる場合は、うるう年となりますが、次の場合は除きます...
- 年が 31 で割り切れる場合は、うるう年ではありません。
この質問はWizard of Vegasの私のフォーラムで質問され、議論されています。元のソースは538です。
それはデマだ！
ビデオを見ていない人のために、マジシャンのジェイソンがその仕組みを次のように説明しています。
- ジョーカーを含まない 52 枚の完全なカード デッキを使用します。
- エースから10までのランクを選択してください。
- 選んだランクの3枚目のカードになるまで、カードを1枚ずつ配ります。その時点で配られたカードの合計枚数を記録します。
- 選択したランクの 4 番目のカードは、最初の 3 枚を見つけるのにかかったカードと同じ枚数の残りのカードの上から表示されます。
全部悪ふざけです。彼は自分が選んだランクに合うようにあらかじめ準備されたデッキを使っています。シャッフルしているように見えますが、実は彼は偽のシャッフルを使う、非常に優れたカードメカニックなのです。
YouTubeでは表示するコメントを事前に審査できるのに、彼はファンからの、効果があったと嘘をついたコメントだけを表示している。視聴者をガスライティングするための、とんでもないデマだ。
2022 年 12 月 22 日のニュースレターでは、さらに詳しく説明します。