Wizardに尋ねる #382
5 つの赤または 5 つの黒を連続して出すために必要なスピン数の予想値はどれくらいですか?
これが私の解決策です（PDF）。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
5枚以上のカードで合計21を出すと高額賞金がもらえるというブラックジャックのプロモーションがあったとします。21を構成するカードの枚数が多いほど、賞金も大きくなります。もしプレイヤーが「21かバストか」という戦略をとった場合、カードの枚数から21を出す確率はどれくらいでしょうか？
以下の表は、6デッキのシューで605億回以上のハンドをプレイしたシミュレーションの結果を示しています。逆の列は逆確率を示しています。例えば、6枚のカードで21が出る確率は280分の1です。
21か破滅か
| 21のカード | カウント | 確率 | 逆 |
|---|---|---|---|
| バスト | 52,104,124,978 | 0.85994880549 | 1.16 |
| 3 | 4,759,037,984 | 0.07854520216 | 13 |
| 4 | 2,557,594,660 | 0.04221163821 | 24 |
| 5 | 908,819,311 | 0.01499954334 | 67 |
| 6 | 2億1632万6234円 | 0.00357034086 | 280 |
| 7 | 38,049,196 | 0.00062798024 | 1,592 |
| 8 | 5,220,188 | 0.00008615622 | 11,607 |
| 9 | 572,119 | 0.00000944250 | 105,904 |
| 10 | 50,292 | 0.00000083004 | 1,204,760 |
| 11 | 3,487 | 0.00000005755 | 17,375,910 |
| 12 | 192 | 0.00000000317 | 3億1557万1868 |
| 13 | 14 | 0.00000000023 | 4,327,842,761 |
| 合計 | 60,589,798,655 | 1.00000000000 |
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。
8 / 2 * (2+2) =
まず括弧内の 2+2 = 4 を評価します。これを実行した後は次のようになります。
8 / 2 * 4 =
次に、掛け算と割り算を行います。このような演算が複数ある場合は、まず左から、つまり割り算から始めます。つまり、次に8/2 = 4を評価します。その後、次のようになります。
4 * 4 = 16
Facebookでこの質問を見かけたのですが、1が間違って最も多かった回答でした。PEMDAS（Please Excuse My Dear Aunt Sally）ルールのせいだと思います。このルールでは、演算の順序が括弧、指数、割り算、掛け算、割り算、足し算、引き算と間違っています。
実際の順序では、割り算と掛け算、そして足し算と引き算は同等の優先順位になります。同じ式の中に同じ優先順位の演算が2つある場合は、左から右へ進んでください。
100人の数学者が1つのケーキを囲んでパーティーに集まります。数学者たちはケーキ一切れをもらうために列に並びます。
- 最初の数学者はケーキの 1% を獲得します。
- 2 番目の数学者は、最初の数学者が計算した後に残ったものの 2% を取得します。
- 3 番目は、最初の 2 人の数学者が選んだ残りの 3% を取ります。
- 4 番目は最初の 3 人の数学者が選んだ残りの 4% を占めます。
これは、100 人目の数学者が他の 99 人の数学者の残りを 100% 獲得するまで続きます。
一番多くのケーキを手に入れる数学者は誰でしょうか？ 電卓は禁止です！
最初の 5 人の数学者がいくら受け取るか見てみましょう。
- 1%
- 99% * 2%
- 99% * 98% * 3%
- 99% * 98% * 97% * 4%
- 99% * 98% * 97% * 96% * 5%
f(x) = 数学者 x が得るケーキとします。
このパターンから、f(x) = f(x-1) / ((x-1)/100) * (1 - ((x-1)/100)) * (x/100) であることがわかります。
用語を並べ替えると：
f(x) = f(x-1) * (100/(x-1)) * ((101-x)/100) * (x/100)簡素化:
f(x) = f(x-1) * (101-x)/(x-1) * (x/100)y = f(x) とし、f(x) = f(x-1) とする。
y = y * (101-x)/(x-1) * (x/100)
両辺をyで割ります。
1 = (101-x)/(x-1) * (x/100)
100*(x-1) = x * (101-x)
100x - 100 = 101x - x^2
x^2 - x - 100 = 0
ピタゴラスの公式を用いると、x = (1 + sqrt(401))/2 =~ 10.512 となります。
株式は最初は増加し、ある時点で減少するのは明らかです。問題は、前の人よりも多くの株式を受け取った最後の数学者を見つけることです。
上記のxについて解くと、最初の10人の数学者はそれぞれ最後の1人よりも大きな分け前を得ることがわかります。しかし、11 > 10.512なので、11番目の数学者は10番目の数学者よりも少ない分け前を得ます。
したがって、数学者 10 が最大のシェアを獲得します。
最初の 20 のシェアは次のとおりです (計算機を使用)。
- 数学者1 = 0.01
- 数学者2 = 0.0198
- 数学者3 = 0.029106
- 数学者 4 = 0.03764376
- 数学者 5 = 0.045172512
- 数学者 6 = 0.0514966637
- 数学者 7 = 0.0564746745
- 数学者 8 = 0.0600245112
- 数学者 9 = 0.0621253691
- 数学者 10 = 0.062815651
- 数学者 11 = 0.0621874944
- 数学者 12 = 0.0603784037
- 数学者 13 = 0.0575607449
- 数学者 14 = 0.0539299902
- 数学者 15 = 0.0496926338
- 数学者 16 = 0.0450546547
- 数学者 17 = 0.0402112793
- 数学者 18 = 0.0353386184
- 数学者 19 = 0.0305875375
- 数学者 20 = 0.0260799004
この問題は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで質問され、議論されています。
この問題はMind Your Decisionsから抜粋したものです。