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Wizardに尋ねる #394

最初は空のコーヒーカップがあります。ウェイトレスが一定の速度でコーヒーを注ぎ始めます。通常、質の良いカップであれば、カップを満杯にするには5秒かかります。しかし、このカップは底に漏れがあります。コーヒーはカップ内のコーヒーの量に比例した速度で漏れ出ています。満杯になると、1秒間に0.1杯の速度で漏れ出します。

カップを90%まで満たすにはどれくらい時間がかかりますか?

匿名

10*ln(20/11) =~ 5.9783700075562秒。

[spoiler=解決策]

この解決には微分方程式の基本的な理解が必要です。

させて：
V = カップに入ったコーヒーの量
t = ウェイトレスが注ぎ始めてからの時間
c = 積分定数

dV/dt = (1/5) - (v/10) が与えられます。

dv = (2-V)/10 dt
(10/(2-v)) dv = dt
-10*ln(2-v) = t + c

t=0ではV=0であることが分かっています。これらの値を上の式に代入してcを解きます。

c = -10*ln(2)

したがって、V と t を結び付ける式は次のようになります。

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-V)

v=0.9となるtが何であるかを知りたいので、V=0.9のときのtを解きます。

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-0.9) = 10*(ln(2) - ln(1.1)) = 10*ln(20/11)

[/ネタバレ]

6 面サイコロを使用して、それぞれが均等に出る可能性のある 0 から 36 までのランダムな値を生成するにはどうすればよいでしょうか。

TxGammon

これには様々な方法がありますが、私は全ての方法において再ロールの可能性がなければならないと主張します。以下に紹介する方法は、異なる色のサイコロを4つだけ使い、再ロールの確率が0.08%未満というシンプルな方法だと考えています。仕組みは以下のとおりです。

サイコロをd1、d2、d3、d4と呼びましょう。色が違うので区別できます。

x = (d1-1) + 6*(d2-1) + 36*(d3-1) + 216*(d4-1) と定義します。xの値は0から1,295の範囲になります。

yを、0から36までの37個の値すべてが等確率で出現する乱数とします。xに応じてyの値を以下のように割り当てます。

  • x = 0 ～ 34: y = 0
  • x = 35から69: y = 1
  • x = 70から104: y = 2
  • x = 105から139: y = 3
  • x = 140から174: y = 4
  • x = 175から209: y = 5
  • x = 210から244: y = 6
  • x = 245から279: y = 7
  • x = 280から314: y = 8
  • x = 315から349: y = 9
  • x = 350から384: y = 10
  • x = 385から419: y = 11
  • x = 420から454: y = 12
  • x = 455から489: y = 13
  • x = 490から524: y = 14
  • x = 525から559: y = 15
  • x = 560から594: y = 16
  • x = 595から629: y = 17
  • x = 630から664: y = 18
  • x = 665から699: y = 19
  • x = 700から734: y = 20
  • x = 735から769: y = 21
  • x = 770から804: y = 22
  • x = 805から839: y = 23
  • x = 840から874: y = 24
  • x = 875から909: y = 25
  • x = 910から944: y = 26
  • x = 945から979: y = 27
  • x = 980から1014: y = 28
  • x = 1015 から 1049: y = 29
  • x = 1050 から 1084: y = 30
  • x = 1085から1119: y = 31
  • x = 1120から1154: y = 32
  • x = 1155から1189: y = 33
  • x = 1190から1224: y = 34
  • x = 1225から1259: y = 35
  • x = 1260から1294: y = 36
  • x = 1259: 再ロール

x の値が 1 つだけの場合のみ再ロールが行われることに注意してください。

この質問へのご支援をいただいたWizard of Vegasのメンバー、ThomasKさんとThatDonGuyさんに特に感謝申し上げます。上記はThomasKさんの解答です。フォーラムでは、ThatDonGuyさんが、一部のロールを再ロールにマッピングしなければ解決できないことを証明しました。議論の全文は下記のリンクをご覧ください。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

52枚のデッキから、赤いカードが出るまでカードを引きます。赤いカード1枚を含め、平均で何枚のカードが引かれるでしょうか？

匿名

53/27 =~ 1.962962963

[spoiler=一般的な場合の式]

Wizard of Vegas のメンバー ThatDonGuy によると、カードの合計数が c でブロッカーの数が b の場合、期待されるカードの数は (c+1)/(b+1) です。

たとえば、この質問では c=52、b=26 なので、答えは 53/27 になります。

エースが出るまで車が引かれると、ブロッカーは4人になるので、答えは53/5 = 10.6になります。

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。