Wizardに尋ねる #395
上の図は、4つの直角三角形と、大きな正方形の中に小さな正方形が1つ入っています。大きな正方形の辺の長さは1です。5つの円の直径はすべて同じです。半径はいくらでしょうか？
[ネタバレ=回答]
半径 = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0.183013。
[/ネタバレ] [ネタバレ=解決策]
三角形の一つを考えてみましょう。次のように定義しましょう。- r = 円の半径
- s = 大きな正方形の任意の角と、その角が内接する三角形に最も近い円が接する場所との間の距離。
画像内の三角形を見ると、距離は次のようになります。
- 短い脚 = r+s
- 長い脚 = 3r+s
- 斜辺 = 1
ピタゴラスの公式を使うと：
(r+s) 2 + (3r+s) 2 = 1
r 2 + 2rs + s 2 + 9r 2 + 6rs + s 2 = 1
10r 2 + 2s 2 + 8rs = 1
これを解くには別の方程式が必要です。大きな正方形の長さを見てみましょう。与えられた長さは1です。AB = ACです。AB = 2r+sなので、AC = 2r+sです。大きな正方形の残りの辺はsです。つまり、
2r + 2s = 1 です。
2s = 1-2r
s = 1/2 - r
これをピタゴラスの公式の式に代入してみましょう。
10r 2 + 2(1/2 - r) 2 + 8r(1/2 - r) = 1
10r 2 + 2(1/4 - r + r 2 ) + 4r - 8r 2 = 1
2r 2 + 1/2 - 2r + 2r 2 + 4r = 1
4r 2 + 2r - 1/2 = 0
8r 2 + 4r - 1 = 0
二次方程式を使用します。
r = (-4 +/- sqrt(48))/16
r = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0.183013。
この問題は、YouTubeチャンネル「 Mind Your Decisions」から引用したものです。Presh氏はピタゴラスの定理を必要としない解法を提示しています。
[/ネタバレ]
この問題は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで質問され、議論されています。
「ライト＆ロングウェイシステム」についてどう思いますか？仕組みは、プレイヤーが1ユニットのドントパスベットをします。もし何かが出たら、プレイヤーはその数字に1ユニット賭けます。その数字が当たれば利益が出ますが、7が出れば損益ゼロになります。フリーロールのように見えますが、何か見落としているのでしょうか？
4か10が出た場合、プレイヤーは勝った場合のみ5%の手数料を支払うとしましょう。ラスベガスのルールに従い、カムアウトロールで12が出た場合はドントパスベットでプッシュとなります（ネバダ州北部では2が出た場合プッシュとなります）。とはいえ、考えられる結果は以下のとおりです。
- 2 または 3 が出た場合: プレイヤーはドント パス ベットで 1 ユニットを獲得します。
- 出目が 12 の場合: プレイヤーはドント パス ベットをプッシュします。
- 7 または 11 が出た場合: プレイヤーはドント パス ベットで負けます。
- 4 または 10 のポイントとポイント勝ち: プレーヤーはバイ ベットで 1.95 ユニットを獲得し、パスしないことで 1 ユニットを失い、純利益は 0.95 ユニットになります。
- 5 または 9 のポイントでポイントが勝ち: プレーヤーはプレース ベットで 1.4 ユニットを獲得し、パスしないことで 1 ユニットを失い、純利益は 0.4 ユニットになります。
- 6 または 8 のポイントでポイントが勝ち: プレーヤーはプレース ベットで 7/6 ユニットを獲得し、パスしないことで 1 ユニットを失い、純利益は 1/6 ユニットになります。
- 4 または 10 のポイントでポイントが負けた場合: プレーヤーはバイ ベットで 1 ユニットを失い、ネット プッシュのドント パスで 1 ユニットを獲得します。
- 5 または 9 のポイントで負けた場合: プレーヤーはプレース ベットで 1 ユニットを失い、ネット プッシュのドント パスで 1 ユニットを獲得します。
- 6 または 8 のポイントで負けた場合: プレーヤーはプレース ベットで 1 ユニットを失い、ネット プッシュのドント パスで 1 ユニットを獲得します。
以下の表は、起こり得るすべての結果をまとめたものです。表は、起こり得るすべての結果の確率、勝率、そしてリターンへの寄与を示しています。右下のセルは、期待損失が0.02951ユニットであることを示しています。
正しい道と間違った道のシステム
| イベント | 支払う | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|
| 2つまたは3つ出る | 1 | 0.083333 | 0.083333 |
| 12番が出てくる | 0 | 0.027778 | 0.000000 |
| 7か11が出る | -1 | 0.222222 | -0.222222 |
| ポイント4で勝利 | 0.95 | 0.027778 | 0.026389 |
| ポイント5勝利 | 0.4 | 0.044444 | 0.017778 |
| ポイント6勝利 | 0.166667 | 0.063131 | 0.010522 |
| ポイント8勝利 | 0.166667 | 0.063131 | 0.010522 |
| ポイント9勝利 | 0.4 | 0.044444 | 0.017778 |
| ポイント10勝利 | 0.95 | 0.027778 | 0.026389 |
| ポイント4の敗北 | 0 | 0.055556 | 0.000000 |
| ポイント5の敗北 | 0 | 0.066667 | 0.000000 |
| ポイント6の敗北 | 0 | 0.075758 | 0.000000 |
| ポイント8の敗北 | 0 | 0.075758 | 0.000000 |
| ポイント9の敗北 | 0 | 0.066667 | 0.000000 |
| ポイント10の敗北 | 0 | 0.055556 | 0.000000 |
| 合計 | 1.000000 | -0.029512 |
この戦略の期待値がマイナスになる理由は、カムアウトロールにあります。2または3が出た場合、勝ち方は3通り、7または11が出た場合、負け方は8通りあります。確かに、プレイヤーがカムアウトロールを生き残ればプラスのエクイティが得られますが、カムアウトロールで予想される損失を補うには十分ではありません。
妻は20%の確率で怒っています。「怒っているの？」と聞かれると、怒っている時は90%の確率で「いいえ」と答えます。怒っていない時に同じ質問をすると、95%の確率で「いいえ」と答えます。質問の答えから判断すると、妻が怒っている確率はどれくらいでしょうか？
これは典型的なベイズ確率の問題です。
[ネタバレ=回答]彼女が「いいえ」と答えた場合、彼女が怒っている確率は 9/47 = 19.15% です。
彼女が「はい」と答えた場合、彼女が怒っている確率は 1/3 = 33.33% です。
[/ネタバレ] [spoiler=解決策]「AならばB」と表現される質問に対する答えの式は、確率(AとBの両方)/確率(B)です。
「いいえ」と答えた場合、彼女が怒っている確率は (0.2*0.9)/(0.2*0.9 + 0.8*0.95) = 0.18/0.94 = 9/47 です。
「はい」と答えた場合、彼女が怒っている確率は (0.2*0.1)/(0.2*0.1 + 0.8*0.05) = 0.02/0.06 = 1/3 です。
[/ネタバレ]