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Wizardに尋ねる #398

マーチマッドネスが終わった今、完璧なブラケットの確率とシード別の平均勝利数を更新しましたか?

匿名

思い出させてくれてありがとう。ブラケットを埋める際の私の基本戦略は、常にシード順の高いチーム（つまり、シード番号の低いチーム）を選ぶことです。シード順が1対1になった場合は、ランダムに選びます。とはいえ、マーチマッドネスのデータに39年目を加えた結果、完璧なブラケットに至るまでの確率は以下のとおりです。

  • 1シードが16シードに勝つ = 98.72%
  • 2シードが15シードに勝利 = 92.31%
  • 3シードが14シードに勝利 = 85.26%
  • 4シードが13シードに勝利 = 78.85%
  • 5シードが12シードに勝利 = 64.74%
  • 6シードが11シードに勝利 = 60.9%
  • 7シードが10シードに勝利 = 61.54%
  • 8シードが9シードに勝つ = 50%
  • 1シードが8シードに勝つ = 78.75%
  • 4シードが5シードに勝利 = 55.42%
  • 3シードが6シードに勝つ = 60%
  • 2シードが7シードに勝利 = 70.79%
  • 1シードが4シードに勝つ = 71.01%
  • 2シードが3シードに勝利 = 60.66%
  • 1シードが2シードに勝つ = 55.07%
  • 1シードが1シードに勝つ = 50%

プレイヤーは、1対1を除く各対戦で4回勝利しなければなりません。第5ラウンドと第6ラウンドでは、1シード対1シードの対戦が3回あり、これも正しく勝利する必要があります。

つまり、この戦略で 63 ゲームすべてを正しく選択する確率は 70,166,868,878 分の 1 です。

もう一つのご質問にお答えすると、シード別のチーム予想勝利数は以下のとおりです。例えば、シード5位のチームは1.153846勝すると予想されます。

  1. 3.301282
  2. 2.320513
  3. 1.839744
  4. 1.557692
  5. 1.153846
  6. 1.057692
  7. 0.897436
  8. 0.730769
  9. 0.596154
  10. 0.602564
  11. 0.653846
  12. 0.50641
  13. 0.25
  14. 0.160256
  15. 0.108974
  16. 0.012821

素数定理とは何ですか?

匿名

素数定理は、非常に興味深いことをいくつか述べています。

  1. 数 n の周囲の素数間の平均距離は約 ln(n) です。
  2. n 未満の素数の推定値は n/ln(n) です。

2つ目の部分をテストするために、100万、200万、そして1000万までの素数の個数を数えるプログラムを作成しました。次の表は、素数の個数と、上記の式を用いた推定値を示しています。右の列は、推定値と実際の素数の個数の比率です。

素数

最大
番号		合計
素数		見積もり比率
1,000,000 78,498 72,382 0.9220925
2,000,000 148,933 137,849 0.9255754
3,000,000 216,816 201,152 0.9277527
4,000,000 283,146 263,127 0.9292967
5,000,000 348,513 324,150 0.9300950
6,000,000 412,849 384,436 0.9311788
7,000,000 476,648 444,122 0.9317618
8,000,000 539,777 503,304 0.9324303
9,000,000 602,489 562,053 0.9328845
10,000,000 664,579 620,421 0.9335545

ご覧の通り、1000万未満の素数の割合は実数の93.4%です。ただし、素数の範囲が広くなるにつれて、この割合は小さくなります。

詳細については、Wikipedia の素数定理のページを参照してください。

ブラックジャックで最も損失の少ないミスは何ですか?

gunbj

まず、ルールに関するいくつかの仮定から始めましょう。アメリカで最も一般的なルールセットを採用します。

  • 6つのデッキ
  • ディーラーがソフト17をヒット
  • スプリット後のダブルは許可されます
  • 降伏は認められない
  • プレイヤーはエースを含めて最大 4 つのハンドに再分割できます。

とはいえ、次のリストは、プレイヤーの最初の 2 枚のカードとディーラーのアップカードに応じて、最も近いコールのトップ 20 を示しています。

ブラックジャックにおける最も僅差の決断

プレーヤー
カード		ディーラー
アップカード		最高
遊ぶ		2番
ベストプレイ		EV 1位
ベストプレイ		EV 2位
ベストプレイ		違い
9,7 10 H S -0.535392 -0.536809 0.001417
7,A 2 D S 0.116262 0.113110 0.003152
2,A 5 D H 0.141030 0.137618 0.003412
4,A 4 D H 0.065278 0.060757 0.004521
6,A 2 H D -0.000274 -0.004882 0.004608
10,2 4 S H -0.205906 -0.210664 0.004758
7,2 2 H D 0.073913 0.067870 0.006043
10,6 10 H S -0.534676 -0.540954 0.006278
5,4 2 H D 0.075786 0.068039 0.007747
6,3 2 H D 0.075331 0.067378 0.007953
8,4 3 H S -0.233324 -0.241586 0.008262
7.5 3 H S -0.232183 -0.240505 0.008322
9,2あD H 0.115609 0.107036 0.008573
3,3 2 P H -0.129464 -0.139266 0.009802
8,A 6 D S 0.462089 0.452220 0.009869
9,3 3 H S -0.237301 -0.248068 0.010767
8,3あD H 0.118796 0.107445 0.011351
3,3 8 H P -0.219182 -0.230664 0.011482
8,4 4 S H -0.201386 -0.213959 0.012573
9,3 4 S H -0.202651 -0.215698 0.013047

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。