Wizardに尋ねる #400
農家のブラウンさんは、牧草地に柵で囲まれた場所で6頭の羊を放牧しています。牧草地の草を取り除くのに3日かかります。
それから彼は草を元の高さまで再び成長させました。
それから彼は3匹の羊を同じ畑に放ち、畑を耕すのに7日かかりました。
それから彼は草を元の高さまで再び生やし、一匹の羊を畑に放ちます。一匹の羊がそれを刈り取るのにどれくらいの時間がかかるでしょうか？
羊は一定の割合で草を食べ、草もまた一定の割合で成長すると仮定します。
最初の草地が育たなかったと仮定して、i = 1 匹の羊が最初の草地を食べるのにかかる日数とします。
g = 1 日の草の成長とします。
羊6頭が最初の草と3日分の成長分を消費するのに3日かかると仮定します。これを式で表すと次のようになります。
i + 3g = 3*6
また、3頭の羊が最初の草と3日分の成長分を消費するのに7日かかることも分かっています。これを式で表すと、次のようになります。
i + 7g = 7*3
2 つの方程式と 2 つの未知数があります。
i + 3g = 18
i + 7g = 21
i と g を解くのは簡単です:
i = 63/4 = 15.75
グラム = 3/4 = 0.75
問題は、1匹の羊が畑を一掃するのにどれくらいの時間がかかるかということです。その答えをxとしましょう。式は次のようになります。
i + xg = x
(63/4) + (3/4)g = x
63/4 = x/4
x = 63です。
つまり、1 匹の羊が畑を掃除するのに 63 日かかります。
[/ネタバレ]直方体の寸法はx、y、zで、x、y、zの3次元です。x、y、zの立方体で構成されています。誰かが外側の面をすべて塗ります。塗られた立方体の数と塗られていない立方体の数が等しい場合、寸法はいくつになりますか？
20種類の効果的な次元を思いつきました。ここにご紹介します。
[ネタバレ=回答]- 5×13×132
- 5×14×72
- 5×15×52
- 5×16×42
- 5×17×36
- 5×18×32
- 5×20×27
- 5×22×24
- 6×9×56
- 6×10×32
- 6×11×24
- 6×12×20
- 6×14×16
- 7×7×100
- 7×8×30
- 7×9×20
- 7×10×16
- 8×8×18
- 8×9×14
- 8×10×12
あなたは何度も、確率pの事象が発生するために必要な平均試行回数は1/pであると述べてきました。私があなたに課す課題は、それが真実であることを証明することです。
[spoiler=短い解決策]
x を、イベントが発生するまでの予想される試行回数とします。
x = 1*p + (1-p)*(1+x)
x = p + 1 + x - p - px
両辺からxを引くと：
0 = p + 1 - p - px
p と -p をキャンセルします。
0 = 1 - ピクセル
ピクセル = 1
x = 1/p
[/ネタバレ] [spoiler=長い解決策]q = 1-p と定義しましょう。つまり、ある事象が起こらなかった確率です。
x を、イベントが発生するまでの予想される試行回数とします。
x = 1 * pr(必要な試行回数は 1 回) + 2 * pr(必要な試行回数は 2 回) + 3 * pr(必要な試行回数は 3 回) + ...
= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...
x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
y = 1 + q + q^2 + q^3 + ... とします。
y-1 = q + q^2 + q^3 + ...
y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )
(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...
(y-1)/q = y
y/q - y = 1/q
y*(1/q - 1) = 1/q
y*(1/q - q/q) = 1/q
y*[(1-q)/q] = 1/q
y*(1-q) = 1
y = 1/(1-q)
x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))
x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)
x/p - 1 = q * (1+x)/p
x/p - q * (1+x)/p = 1
x/p - qx/p = 1 + q/p
x*(1/p - q/p) = 1+q/p
x*(1-q)/p = 1+q/p
x*p/p = 1+q/p
x = 1+q/p
x = 1 + (1-p)/p
x = p/p + (1-p)/p
x = 1/p
[/ネタバレ]