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Wizardに尋ねる #401

バスケットボールでハーフコートからシュートを決める確率が1%だとしましょう。3回連続でシュートを決めるには、平均して何回シュートを打つ必要があるでしょうか？

任意の確率と連続する任意の数字の一般的な公式は何ですか?

seven

では、次のようにしましょう。

  • a = 初期状態または最後のショットがミスだったと仮定して、さらにショットが期待されます。
  • b = 最後のショットが行われたと仮定して、さらにショットが期待されます。
  • c = 最後の 2 回のショットが行われたと仮定すると、さらに多くのショットが予想されます。

状態から状態へ移行する際に、次の方程式を設定できます。

a = 1 + 0.01b + 0.99a
b = 1 + 0.01c + 0.99a
c = 1 + (1-p)a

これで方程式が3つと未知数が3つになったので、解くことができます。私は行列代数の方が好きです。

これ以上詳しく説明する必要はありませんが、解はdeterm(A)/determ(B)と表すことができます。行列の項は上記の3つの式から取られています。

この行列式の比の答えは 101010 です。

2 番目の質問に答えるために、連続成功の確率 p と回数 n に対する答えは次のようになります。

(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1

この問題の場合、一般的な公式は答えを100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100と示します。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

デッキから任意のスートの13枚のカードを取り除きます。アレックスとボブという2人の論理学者にそれぞれ1枚ずつカードが配られます。2はロー、エースはハイです。各論理学者は自分のカードを見ることができます。その後、アレックスはボブにカードの交換を提案します。提案された場合、ボブはそれを受け入れるか拒否するかを選択できます。両プレイヤーにとって最適な戦略は何でしょうか？

匿名

アレックスは2でのみオファーするべきです。ボブは2でのみ受け入れるべきです。

[spoiler=解決策]

この質問に自分自身で答えるために、私は次のようにさまざまな戦略を試しました。

アレックスが 4 以下で切り替えた場合、ボブは 2 で受け入れ、3 で無関心になる必要があります。ボブが勝つ確率は 56.7% です。

アレックスが3以下の数字で交換した場合、ボブは2のみで受け入れるべきです。ボブが勝つ確率は53.3%です。

アレックスが2のみで交換した場合、ボブは常にその申し出を拒否するはずです。ボブが勝つ確率は50.0%です。

パターンとしては、ボブはアレックスよりもスイッチに関してより慎重になるべきです。アレックスが3以上の数字でスイッチした場合、ボブはスイッチの基準を低くすることで有利になります。アレックスがこの方法で負けるのを防ぐ唯一の方法は、2のみでスイッチすることです。これを知っているボブは、もしオファーされても決してスイッチしません。したがって、2人の論理学者がプレイする場合、アレックスは2のみでスイッチすることをオファーするべきです。ボブは必ずそのオファーを拒否するべきです。

しかし、ボブが 2 を持っていて、カードを交換する提案がなされた場合、もちろんボブはそれを受け入れるべきであり、アレックスはカードを読み間違えたか、本当の論理学者ではないと考えます。

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

ルーレットで数字が繰り返されるのを見るには、平均して何回スピンする必要がありますか?

匿名

ホイールの種類は述べていませんが、3 つの方法すべてにおける答えは次のとおりです。

  • シングルゼロ = 8.306669466
  • ダブルゼロ = 8.408797212
  • トリプルゼロ = 8.509594851

次の表は、3 つのホイールすべてについて、各スピンでの最初の繰り返しの確率を示しています。

繰り返し回数の確率

スピンシングル
ゼロ		ダブル
ゼロ		トリプル
ゼロ
1 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
2 0.0270270270 0.0263157895 0.0256410256
3 0.0525931337 0.0512465374 0.0499671269
4 0.0746253924 0.0728240268 0.0711070652
5 0.0914329132 0.0894330154 0.0875163879
6 0.1019353424 0.1000237672 0.0981754352
7 0.1057923554 0.1042352943 0.1027066091
8 0.1034096446 0.1024066049 0.1013898577
9 0.0958236089 0.0954768346 0.0950762036
10 0.0844931146 0.0847985044 0.0850200666
11 0.0710452616 0.0719051646 0.0726667236
12 0.0570282235 0.0582810281 0.0594376534
13 0.0437169674 0.0451747682 0.0465525677
14 0.0320000324 0.0334848063 0.0349144258
15 0.0223534530 0.0237240530 0.0250667672
16 0.0148879175 0.0160538705 0.0172161863
17 0.0094424270 0.0103646041 0.0113008813
18 0.0056941663 0.0063755953 0.0070811612
19 0.0032589823 0.0037306115 0.0042294718
20 0.0017665054 0.0020725619 0.0024039306
21 0.0009046116 0.0010908221 0.0012976683
22 0.0004364140 0.0005425405 0.0006638073
23 0.0001977062 0.0002542733 0.0003209618
24 0.0000837944 0.0001119289 0.0001462658
25 0.0000330845 0.0000461035 0.0000626155
26 0.0000121086 0.0000176932 0.0000250863
27 0.0000040842 0.0000062951 0.0000093656
28 0.0000012609 0.0000020644 0.0000032419
29 0.0000003534 0.0000006197 0.0000010345
30 0.0000000890 0.0000001689 0.0000003022
31 0.0000000199 0.0000000414 0.0000000802
32 0.0000000039 0.0000000090 0.0000000191
33 0.0000000007 0.0000000017 0.0000000040
34 0.0000000001 0.0000000003 0.0000000007
35 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000001
36 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
37 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
38 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
39 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000