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Wizardに尋ねる #403

1メートルの長さの輪ゴムがあります。輪ゴムの片端にアリがいます。アリは1秒あたり1センチメートルの速さで反対側の端まで移動します。アリが動き始めてから、輪ゴムは1秒あたり1メートルの速度で伸びていきます。アリが反対側の端に到達するまで、どれくらいの時間がかかりますか？

匿名

答えは e 100 – 1 =~ 26,881,171,418,161,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 秒です。

これが私の解決策です（PDF）。

直径1センチメートルの円上にアリがいます。時刻t=0から、アリは円周に沿って1/(1+t)cm/秒の速度で移動します。1周するのにどれくらいの時間がかかりますか？

Ace2

e^pi -1 =~ 22.140693秒。

アリは円周率の距離を移動することができます。

移動距離を求める一つの方法は、速度を時間で積分することです。答えをTとします。

1/(1+t) dt = pi の 0 から T までの積分。

統合すると次のようになります。

ln(1+T) - ln(1+0) = π

ln(1+T) = π

1+T = e^π

T = e^pi - 1

シャッフルされたデッキのカードは、最初のクイーンが出るまで1枚ずつめくられます。次にめくられるカードは、スペードのクイーンとスペードのキングのどちらでしょうか？

匿名

この質問に対する私の最初の答えが間違っていたことを認めます。

確率は同じです。

次の表は、デッキ内の任意の位置に最初のクイーンがあり、その次にスペードのクイーンが来る確率を示しています。右下のセルは、最初のクイーンの次のカードがスペードのクイーンである確率が0.019231 = 1/52であることを示しています。

次のカード スペードのクイーン

の位置
最初の女王		確率
最初の女王		確率次へ
スペードのQ		製品
1 0.076923 0.014706 0.001131
2 0.072398 0.001086 0.001086
3 0.068054 0.001042 0.001042
4 0.063888 0.000998 0.000998
5 0.059895 0.000956 0.000956
6 0.056072 0.000914 0.000914
7 0.052415 0.000874 0.000874
8 0.048920 0.000834 0.000834
9 0.045585 0.000795 0.000795
10 0.042405 0.000757 0.000757
11 0.039376 0.000720 0.000720
12 0.036495 0.000684 0.000684
13 0.033758 0.000649 0.000649
14 0.031161 0.000615 0.000615
15 0.028701 0.000582 0.000582
16 0.026374 0.000549 0.000549
17 0.024176 0.000518 0.000518
18 0.022104 0.000488 0.000488
19 0.020153 0.000458 0.000458
20 0.018321 0.000429 0.000429
21 0.016604 0.000402 0.000402
22 0.014997 0.000375 0.000375
23 0.013497 0.000349 0.000349
24 0.012101 0.000324 0.000324
25 0.010804 0.000300 0.000300
26 0.009604 0.000277 0.000277
27 0.008496 0.000255 0.000255
28 0.007476 0.000234 0.000234
29 0.006542 0.000213 0.000213
30 0.005688 0.000194 0.000194
31 0.004913 0.000175 0.000175
32 0.004211 0.000158 0.000158
33 0.003579 0.000141 0.000141
34 0.003014 0.000126 0.000126
35 0.002512 0.000111 0.000111
36 0.002069 0.000097 0.000097
37 0.001681 0.000084 0.000084
38 0.001345 0.000072 0.000072
39 0.001056 0.000061 0.000061
40 0.000813 0.000051 0.000051
41 0.000609 0.000042 0.000042
42 0.000443 0.000033 0.000033
43 0.000310 0.000026 0.000026
44 0.000207 0.000019 0.000019
45 0.000129 0.000014 0.000014
46 0.000074 0.000009 0.000009
47 0.000037 0.000006 0.000006
48 0.000015 0.000003 0.000003
49 0.000004 0.000001 0。000001
合計1.000000 0.019231 0.019231

次の表は、デッキ内の任意の位置に、最初のクイーンとそれに続くスペードのキングが来る確率を示しています。右下のセルは、最初のクイーンの次のカードがスペードのキングである確率が0.019231 = 1/52であることを示しています。

次のカード スペードのキング

の位置
最初の女王		確率
最初の女王		確率次へ
スペードのQ		製品
1 0.076923 0.019231 0.001479
2 0.072398 0.019231 0.001392
3 0.068054 0.019231 0.001309
4 0.063888 0.019231 0.001229
5 0.059895 0.019231 0.001152
6 0.056072 0.019231 0.001078
7 0.052415 0.019231 0.001008
8 0.048920 0.019231 0.000941
9 0.045585 0.019231 0.000877
10 0.042405 0.019231 0.000815
11 0.039376 0.019231 0.000757
12 0.036495 0.019231 0.000702
13 0.033758 0.019231 0.000649
14 0.031161 0.019231 0.000599
15 0.028701 0.019231 0.000552
16 0.026374 0.019231 0.000507
17 0.024176 0.019231 0.000465
18 0.022104 0.019231 0.000425
19 0.020153 0.019231 0.000388
20 0.018321 0.019231 0.000352
21 0.016604 0.019231 0.000319
22 0.014997 0.019231 0.000288
23 0.013497 0.019231 0.000260
24 0.012101 0.019231 0.000233
25 0.010804 0.019231 0.000208
26 0.009604 0.019231 0.000185
27 0.008496 0.019231 0.000163
28 0.007476 0.019231 0.000144
29 0.006542 0.019231 0.000126
30 0.005688 0.019231 0.000109
31 0.004913 0.019231 0.000094
32 0.004211 0.019231 0.000081
33 0.003579 0.019231 0.000069
34 0.003014 0.019231 0.000058
35 0.002512 0.019231 0.000048
36 0.002069 0.019231 0.000040
37 0.001681 0.019231 0.000032
38 0.001345 0.019231 0.000026
39 0.001056 0.019231 0.000020
40 0.000813 0.019231 0.000016
41 0.000609 0.019231 0.000012
42 0.000443 0.019231 0.000009
43 0.000310 0.019231 0.000006
44 0.000207 0.019231 0.000004
45 0.000129 0.019231 0.000002
46 0.000074 0.019231 0.000001
47 0.000037 0.019231 0.000001
48 0.000015 0.019231 0.000000
49 0.000004 0.019231 0.000000
合計1.000000 0.019231

正直に言うと、最初の反応はスペードのキングの方が可能性が高いと思いました。最初のクイーンがスペードのクイーンである確率は1/4で、その場合、再びクイーンが現れる可能性はゼロになるからです。しかし、確率が同じである理由は単純で、最初のクイーンが出た時点でデッキにはクイーンがたくさんあったからです。つまり、最初のクイーンが出る前に、キングである可能性はあっても他のクイーンではない、ランダムなカードがいくつか取り除かれたということです。

「Mind Your Decisions」ビデオ（下記リンク参照）で説明されていた内容は次のとおりです。

スペードのクイーン以外のカードの並べ方は51通りあります。スペードのクイーンを最初のクイーンのすぐ前に置くと、51通りの並びになります。これを52通りの並びで割ると、スペードのクイーンが最初のクイーンの次に来る確率は51通り/52通り = 1/52となります。

スペードのキングを省略し、それを最初のクイーンの前に置くことを除いてまったく同じことを行うと、やはり 1/52 になります。

この質問は、Mind Your Decisions YouTube チャンネルから抜粋したものです。